Non-commutativity

[Ed Dellian]

Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

[Hamilton]

Standard Non-commutativity
Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

Was für eine Art Begründung stelltst du dir denn vor?
Willst Du sehen, dass das manchmal so rauskommt, wenn man einen nichtverschwindenen Kommutator ausrechnen will? Oder meinst du eine physikalische Interpretation?
Übrigens ist die Aussage falsch: Es kommutieren sehr wohl eine Menge Quantenmechnanischer Operatoren, z.b. [q,L²]=0 oder [H,p]=0

[Lambert]

Zitat von Ed Dellian

Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

Vielen Dank fuer die Nachfrage.

Die Antwort ist:
Die Begruendung liegt eindeutig im Anstoss beim Anfang der Rauminflation bei der Geburt einer Galaxie. Sie ist mehr oder weniger ein Beweis fuer jenen Anstoss.

Gruss,
Lambert

[Gandalf]

Hallo Ed Dellian!
(Willkommen im Forum)

Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

imo liegt es daran, dass Quantensysteme nicht die 'Summe ihrer Teile' sind, sondern deren 'Produkt'. Subtrahiert man aus einem Produkt - unzulässigerweise - an unterschiedlichen Operatoren erhält man unterschiedliche Ergebnisse. Dieses "unzulässigerweise" rührt daher, weil wir immer noch die Welt als aus "Teilchen" zusammengesetzt 'sehen' und daher regelmäßig nicht wahrnehmen, wenn wir eine Ganzheit vor uns haben, die eigentlich gar nicht teilbar ist, bzw. geteilt werden darf.

Wir hatten das Thema übrigens hier schon mal angefangen:

http://www.quanten.de/forum/showthre...mmutativit%E4t

Viele Grüße

[Gandalf]

Hallo Lambert

Zitat von Lambert

Die Antwort ist:
Die Begruendung liegt eindeutig im Anstoss beim Anfang der Rauminflation bei der Geburt einer Galaxie. Sie ist mehr oder weniger ein Beweis fuer jenen Anstoss.

.. und wer ist war der "eindeutige Anstosser"

[Uli]

Zitat von Hamilton

Übrigens ist die Aussage falsch: Es kommutieren sehr wohl eine Menge Quantenmechnanischer Operatoren, z.b. [q,L²]=0 oder [H,p]=0

Genau: Observablen kommutieren nur dann nicht, wenn sie nicht simultan scharf messbar sind.

[Ed Dellian]

Danke für die Antwort. Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. Übrigens behauptet meine Frage nicht, dass a l l e ... nicht kommutieren!

[Ed Dellian]

Vielen Dank für die Antwort. Aber die Erklärung, was passiert, wenn man "aus einem Produkt ... subtrahiert", sagt mir nicht, weshalb a mal b in der QM nicht gleich b mal a sein soll.

[Uli]

Zitat von Ed Dellian

Danke für die Antwort. Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. ...

Nun ja, es gibt auch in der klassichen Mechanik Fälle, in denen a "mal" b ungleich b "mal" a ist. Denk z.B. an Rotationen in 3 Dimensionen. Wenn du ein Objekt erst um einen Winkel um eine Achse drehst und dann um einen anderen Winkel um eine andere Achse, dann bekommst du ein anderes Ergebnis als in dem Fall, in dem du die Reihenfolge dieser Drehungen vertauschst. Tatsächlich werden solche Drehungen durch 3x3 -Matrizen dargestellt, und diese kommutieren i.a. nicht.

Die Nicht-Kommutativität von Operatoren physikalischer Größen in der Quantenmechanik ist erforderlich, wenn diese Größen nicht simultan beliebig genau messbar sind - mit anderen Worten - um die beobachteten Unschärferelationen zu erfüllen. Die Beobachtungen waren also (wie immer) ausschlaggebend: Theorien werden immer so gebaut, dass die experimentellen Beobachtungen herauskommen.

Nicht-kommutierende Größen kann man nun auf verschiedene Weisen konstruieren: Schrödinger wählte Differential-Operatoren, die auf Wellenfunktionen wirken - Heisenberg Matrizen, die Spaltenvektoren transformieren.

Ich fürchte aber, diese Bemerkungen werden dich auch nicht wirklich glücklich machen. Um die Einführung dieser Kommutatoren zu motivieren, muss man sich doch recht eingehend mit theoretischer Physik beschäftigen. Kennt man sich z.B. in klassischer Mechanik aus, so wird man entdecken, dass die Ersetzung der Poisson-Klammern
dort durch Kommutatoren quasi die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik erzeugt. So ganz unmotiviert vom Himmel fällt das alles also nicht.

Gruß,
Uli

[Hamilton]

Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. ...

Ja, ok-
also zunächst vielleicht eine kurze Bemerkung:
ab=ba gilt für Zahlen wie 3*7=7*3
In der QM stehen diese Buchstaben p, q bzw. r, x nicht für Zahlen!
Das sind Operatoren auf einen ganz anderen, für nichtmathematiker etwas merkwürdigen Raum.
Stell dir unter Operator eine "Aktion" vor und von rechts nach links liest sich die Reihenfolge der Aktionen.
Es gibt Aktionen, wo es egal ist, in welcher Reihenfolge ich sie mache:
z.b. Kaffetrinken und Zeitunglesen
Eine Menge Aktionen ergeben aber völlig unterschiedliche Ergebnisse, wenn man die Reihenfolge vertauscht, z.b.
Autofahren und Saufen

Der Kommutator gibt an, ob sich am Endzustand etwas ändert, wenn man die Aktionen in der Reihenfolge vertauscht.
Ansonsten verweise ich auf Ullis Antwort