Unendlichkeit

[antaris]

Zitat von Geku

Ich könnnte mir vorstellen, wenn es für das Universum eine größte Länge und Dauer gibt, dann wird es auch für die kleinste Länge und Intervall zutreffen. Somit gäbe es praktisch keine Unendlichkeit.

Ok, sehe ich auch so. Jedenfalls solange man über den für uns "fassbaren" reellen Raum spricht.

Bezügl. der Nackommastellen der reellen Zahlen mein ich ja auch nur, dass mathematisch natürlich unendlich viele Nachkommastellen vorkommen aber erstens braucht man ja schon praktisch nur eine Genauigkeit von ein paar Nachkommastellen und theoretisch nicht genauer, als es von der Geometrie möglich wäre.
Ist nur ein Gedanke in der Plauderecke.





Ich habe viel über die euklidische Geometrie nachgedacht.
Die Genauigkeit der Länge einer Küstenlinie kann ja lt. Benoit Mandelbrot mithilfe z.B. der Koch Kurve modelliert werden.
Da ist es auch so, dass mathematisch die Koch Kurve unendlich iteriert werden kann aber die Küstenlinie eben in der Realität begrenzt ist.
Modell und Realität passen eben nicht zu 100% übereinander.


Mal ein anderes Beispiel:

Würfel, massiv aus einem Metall. Euklidisch dreidimensional, Dimension = 3:



Sierpinski Würfel bzw. Menger-Schwamm, nicht euklidisch, Dimension ~2,727, im allgemeinen würde aber jeder erstmal sagen die Würfel sind euklidisch dreidimensional aber das sind sie nur in Annäherung richtig, denn durch die "Lücken" vergrößert sich die Gesamtfläche und das Volumen wird geringer. Man könnte das mit der Dichte im Zusammenhang bringen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Menger-Schwamm:


Die fraktale Dimension beim abgebildeten Menger-Schwamm ist rund 2,727 und unendlich exakt selbstähnlich.


Und jetzt stellt man sich den obigen Würfel aus Metall als das vor, was er ist. Eine Atomgitterstruktur, in der Elektronen zwischen den Atomen als "Elektronengas" auftreten, also wo "jede Menge Raum" zwischen den Atomen vorhanden ist.
Ist der makroskopische Metallwürfel, wenn man es ganz genau nach Mandelbrot nimmt und auf Ebene der Atome schaut, ein endlicher, nicht-exakt selbstähnlicher Menger-Schwamm?
Wenn das Beispiel mit der Atomgitterstruktur zu "ausschweifend" ist, wie verhält es sich bei z.B. porösen Basalt? Den kann man ohne Frage mit einem Menger-Schwamm vergleichen.

Die Erhöhung der Fläche eines Körpers hat ja ganz normale praktische Anwendungen und zumindest in unseren Breiten fast jeder in Form fon Heizkörper zuhause. Selbes Prinzip bei Kühlkörper.



Ist die gesamte euklidische Geometrie möglicherweise als Grenzfall der fraktalen Geometrie anzusehen? Ich mein wo in der Natur kommen exakt euklidische Körper vor?

Überträgt man das z.B. auf die Erde, so ist diese ja nur in Annäherung eine euklidische Kugel. Schaut man wieder auf die Dichte, so kommt bei der Erde unweigerlich dazu, dass die Dichte umso größer wird, je näher man sich dem Erdmittelpunkt nähert. Das hat also etwas mit der Topologie UND der Dichte von physikalischen Körpern zu tun. Die fraktale Dimension der Erde ändert sich dementsprechend, da die Erde "lebt", also ständigen Änderungen der Struktur unterlegen ist. Die des Mond hingegen bleibt dagegen seit langer Zeit fast gleich.

Auch das nur Gedanken in der Plauderecke aber in meinem Weltbild ein wichtiger Punkt.

[antaris]

Ein ganz verwegener Gedanke aber ob man bei Untersuchung der fraktalen Dimensionen von Wasserdampf, flüssiges Wasser und Eis(kristalle) nicht möglicherweise eines der ältesten wissenschaftlichen Rätsel lösen kann?
Nämlich warum sich Wasser unter 0°C wieder ausdehnt...

[Geku]

Zitat von antaris

Ein ganz verwegener Gedanke aber ob man bei Untersuchung der fraktalen Dimensionen von Wasserdampf, flüssiges Wasser und Eis(kristalle) nicht möglicherweise eines der ältesten wissenschaftlichen Rätsel lösen kann?
Nämlich warum sich Wasser unter 0°C wieder ausdehnt...

https://studyflix.de/chemie/anomalie-des-wassers-2618

[antaris]

Zitat von Geku

https://studyflix.de/chemie/anomalie-des-wassers-2618

Schon klar aber wie ich oben geschrieben habe, hat die Dichte eines Materials/Körpers Einfluss auf die fraktale Dimension des selbigen Materials/Körpers. Man kann die Aggregatzustände mittels genau dieser fraktalen Dimensionen mathematisch beschreiben (bzw. verallgemeinern), muss man aber nicht.
Kristalle sind halt eben "mehr fraktal", als Wassermoleküle in flüssigen oder gasförmigen Aggregatzustand.

[Jakito]

Zitat von Eyk van Bommel

Ich möchte zum Themenbereich zunächst auf die Videobeiträge von Prof. Weitz verweisen Alle Videos / Edmund Weitz. Ich kenne niemanden der mathematische Themen, zu Pi, Unendlichkeiten, Zahlen/Mengen klarer/besser darstellt.

Nachdem ich dort dieses Video
2013-12-20 Goodstein-Folgen (Weihnachtsvorlesung 2013, Teil 2 von 2) [HAW] X
gefunden habe, entstand bei mir die Lust, noch eine weitere Antwort zu geben auf:

Zitat von Jakito

Die Frage wäre vielleicht, ob es auch mehr als eine Art gibt, in der etwas endlich sein kann.

Die Zahl g_i(4) mit i:=3 . 2^402.653.209, also die i-te Zahl in der Goldstein-Folge zum Startwert 4, ist zwar endlich, und auch gut endlich beschreibbar. Aber weil i so gewählt ist, dass gilt g_i(4) = max_b (g_b(4)), ist es auch die 4-te Zahl in der Folge G(n) := max_b (g_b(n)). Dies ist zwar eine Folge natürlicher Zahlen, aber um das zu beweisen, muss man die Wohlordnung von \epsilon_0 vorraussetzen. Und diese Wohlordnung lässt sich nicht in der Peano Arithmetik beweisen. Diese Wohlordnung ist zwar wahr, und zwar genauso wahr wie die Konsistenz der Peano Arithmetik, aber "absolut" beweisbar sind beide nicht.

Zitat von antaris

Ok per mathematische Definition.
Man kann die Zahl sqrt(2) geometrisch konstruieren. Ist schwierig in Genauigkeiten der Planck-Skala die Zeichnung zu erstellen aber undenkbar ist es nicht. Warum aber sollte sqrt(2) unendlich sein, wenn man sie theoretisch exakt und endlich bestimmen kann? Wozu sollte sie genauer bestimmt werden, als wie sie konstruiert werden kann, selbst wenn eine genauere Bestimmung mittels Berechnung möglich wäre?
Es ist egal ob ich 1 m oder sqrt(2) m abmessen will. Beide haben an der Planck-Skala ihre maximale Genauigkeit.

Ursprünglich fand ich noch die Idee ganz nett, statt sqrt(2) eine Lösung von x^5 + 4 x^4 =1 zu betrachten. Irgendwie dachte ich, es wäre "schwer", aus den "Lösungen" x?-3.99608, x?-0.744465, x?0.030325 - 0.702483 i, x?0.030325 + 0.702483 i, und x?0.679894 eine bestimmte auszuwählen. Ist es aber nicht, man kann ja z.B. x?-0.744465 einfach durch die Forderung -0.8 < x < -0.6 auswählen. Und diese Art der Auswahl klappt immer.

[antaris]

Zitat von Jakito

Die Zahl g_i(4) mit i:=3 . 2^402.653.209, also die i-te Zahl in der Goldstein-Folge zum Startwert 4, ist zwar endlich, und auch gut endlich beschreibbar. Aber weil i so gewählt ist, dass gilt g_i(4) = max_b (g_b(4)), ist es auch die 4-te Zahl in der Folge G(n) := max_b (g_b(n)). Dies ist zwar eine Folge natürlicher Zahlen, aber um das zu beweisen, muss man die Wohlordnung von \epsilon_0 vorraussetzen. Und diese Wohlordnung lässt sich nicht in der Peano Arithmetik beweisen. Diese Wohlordnung ist zwar wahr, und zwar genauso wahr wie die Konsistenz der Peano Arithmetik, aber "absolut" beweisbar sind beide nicht.

Oha mir wird etwas schwindlig. Ich hatte doch extra die Plauderecke ausgewählt.
Ich habe bei Wikipedia herausgelesen, dass 3*2^402.653.209 das Maximum der Folge ist, diese dann wieder auf 0 abfällt und die Schritte dazwischen eine Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist. Leider aber nicht viel mehr.
Klicke ich mich durch die Begriffe, wird es wieder eher schlechter.

Ursprünglich fand ich noch die Idee ganz nett, statt sqrt(2) eine Lösung von x^5 + 4 x^4 =1 zu betrachten. Irgendwie dachte ich, es wäre "schwer", aus den "Lösungen" x?-3.99608, x?-0.744465, x?0.030325 - 0.702483 i, x?0.030325 + 0.702483 i, und x?0.679894 eine bestimmte auszuwählen. Ist es aber nicht, man kann ja z.B. x?-0.744465 einfach durch die Forderung -0.8 < x < -0.6 auswählen. Und diese Art der Auswahl klappt immer.

Gut für mich, dass die Wahl auf sqrt(2) gefallen ist.
Wie kommt die Forderung -0.8 < x < -0.6 zustande, ohne vorher zu rechnen?
Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

[antaris]

Zitat von antaris

Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

Auf folgender Seite kann man Gleichungen lösen und die genauen Gleichungen, nach X umgestellt, anzeigen lassen. Ich denke das wäre wohl zu aufwändig hier im Forum um das durchzurechnen. Allein schon weil man hier nicht übersichtlich Gleichungen schreiben kann.
https://www.wolframalpha.com/widgets...94d298e97c00c5

Dabei ist die Gleichung selbst so unscheinbar.
Alle Lösungen sind also unendlich in den Nachkommastellen?

[Jakito]

Zitat von antaris

Auf folgender Seite kann man Gleichungen lösen und die genauen Gleichungen, nach X umgestellt, anzeigen lassen. Ich denke das wäre wohl zu aufwändig hier im Forum um das durchzurechnen. ...

Dabei ist die Gleichung selbst so unscheinbar.
Alle Lösungen sind also unendlich in den Nachkommastellen?

Das mit dem Durchrechnen klappt so nicht, zumindest nicht in symbolischer Form. Numerisch lassen sich aber robust und genau die Lösungen berechnen. Die Gleichung ist also fast so unscheinbar, wie sie aussieht.

Zitat von antaris

Wie kommt die Forderung -0.8 < x < -0.6 zustande, ohne vorher zu rechnen?
Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

Die Forderung entsteht, indem man zuerst "numerisch" rechnet, und dann ein hinreichend kleines Interval auswählt, in dem nur eine einzige Lösung liegt.
Generell kann man alle Lösungen solcher Gleichungen tatsächlich "auch" mit dem Newtonverfahren berechnen (mit hinreichend vielen komplexen Startwerten), ist aber wohl nicht die effizienteste Lösungsmethode. Sturm'sche Ketten werden gerne verwendet, aber frag mich lieber nicht nach den Details.

Zitat von antaris

Ich habe bei Wikipedia herausgelesen, dass 3*2^402.653.209 das Maximum der Folge ist, diese dann wieder auf 0 abfällt und die Schritte dazwischen eine Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist. Leider aber nicht viel mehr.

Stimmt, 3*2^402.653.209 ist tatsächlich das Maximum der Folge. Ich dachte, das Maximum wäre viel grösser. Die Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist schlicht 3*2^402.653.209 (weil 400 Millionen / 3,3219 ~= 120 Millionen mit 3,3219... = log_2(10)).

[antaris]

Zitat von Jakito

Das mit dem Durchrechnen klappt so nicht, zumindest nicht in symbolischer Form. Numerisch lassen sich aber robust und genau die Lösungen berechnen. Die Gleichung ist also fast so unscheinbar, wie sie aussieht.

Fast unscheinbar aber nur wenn man weiß wovon man redet.
Numerisch bedeutet man nähert sich mittels Berechnung am Computer schrittweise der bzw. den Lösungen an?

Die Forderung entsteht, indem man zuerst "numerisch" rechnet, und dann ein hinreichend kleines Interval auswählt, in dem nur eine einzige Lösung liegt.
Generell kann man alle Lösungen solcher Gleichungen tatsächlich "auch" mit dem Newtonverfahren berechnen (mit hinreichend vielen komplexen Startwerten), ist aber wohl nicht die effizienteste Lösungsmethode. Sturm'sche Ketten werden gerne verwendet, aber frag mich lieber nicht nach den Details.

Die genaue Lösung auf der oben genannten Webseite, scheint auch via Ketten berechnet zu sein.

Stimmt, 3*2^402.653.209 ist tatsächlich das Maximum der Folge. Ich dachte, das Maximum wäre viel grösser. Die Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist schlicht 3*2^402.653.209 (weil 400 Millionen / 3,3219 ~= 120 Millionen mit 3,3219... = log_2(10)).

Zahlen und Mathematik sind schon sehr faszinierend. Ist schon fast eine Kunst sowas zu können und macht mich demütig. Vielleicht im nächsten Leben.


Aber eine Frage. Deine Beispiele sind rein mathematisch oder sind diese auch so in der Natur, in der praktischen Anwendung zu finden? Dass Reihenentwicklungen und Polynome in den Naturwissenschaften Anwendungen haben weiß ich. Ich meine gerade die Wahl deiner Beispiele bzw. Gleichungen/Ergebnisse ist ja nicht "einfach so" gefallen.


Nebeneffekt war gestern Abend, dass ich mir seit ein paar Monate wieder mit den komplexen Zahlen beschäftigt habe. Immer wieder verrückt, wie einem dann doch nach längerem "drüber schlafen", die Thematik oft einfacher vorkommt. So "hangel" ich mich irgendwie immer durch die verschiedenen Themen.

[Jakito]

Zitat von antaris

Aber eine Frage. Deine Beispiele sind rein mathematisch oder sind diese auch so in der Natur, in der praktischen Anwendung zu finden? Dass Reihenentwicklungen und Polynome in den Naturwissenschaften Anwendungen haben weiß ich. Ich meine gerade die Wahl deiner Beispiele bzw. Gleichungen/Ergebnisse ist ja nicht "einfach so" gefallen.

Genau, bei meinen Beispielen ging es um "Zahlen", die in einer Darstellung eine definitiv endliche Representation haben, aber in anderen "intuitiveren" Darstellungen weniger eindeutig endlich erscheinen.

Und eine Darstellung einer Zahl wie \pi als unendlich langer Dezimalbruch verdeutlich ja schön, wie man sich etwas "echt" Unendliches vorstellen kann: Man kann immer weiter gehen, und es kommen immer neue Ziffernfolgen, die sich nie wirklich wiederholen. Findet sich sowas auch in der Natur, in der praktischen Anwendung? Vermutlich ja. Deterministisches Chaos erzeugt ja auch immer neue Bahnen, die sich nie wiederholen.

Und was ist mir der Quantenmechanik? Die ist doch gerade die Methode der Natur, dieser Art der Unendlichkeit eben doch zu entkommen, oder? Das schon, aber das Zusammenbauen aus endlich vielen Grundbausteinen erfolgt hier nach einer "anderen" Logik. Hier gibt es auf einmal Ununterscheidbarkeit, und fast Ununterscheidbarkeit, sowie fast Unterscheidbarkeit, und Unterscheidbarkeit. Trotzdem ist auch hier die Representation immer noch wichtig, und je nach Darstellung wirkt es mehr oder weniger endlich und vorhersehbar.