Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Die basiert auf Pythagoras, richtig?

Ist das eine Frage oder eine Feststellung?

So hübsch deine Grafik auch ist: In meinen Augen hast du es bisher nicht richtig verstanden. Der metrische Tensor muss spezifische Angaben zu den raumzeitlichen Abständen enthalten, nichts anderes.

Nehmen wir zur Einführung (um es dir verständlich zu machen) ein besonders einfaches Beispiel in der x,y-Ebene. Dadurch benötigen wir für den metrischen Tensor g_ik lediglich eine 2 x 2 Matrix.

Deren Zeilen und Spalten erhalten die übliche Bezeichnung:

g11, g12
g21, g22

Bei einem räumlichen Abstand r(x,y,z) hätten wir eine 3 x 3 Matrix mit den Elementen:

g11, g12, g13
g21, g22, g23
g31, g32, g33

Für den infinitesimalen Abstand zweier Punkte der Ebene gilt:

ds² = dx² + dy²

Das ist in der Tat Pythagoras für Anfänger.

In drei Dimensionen hätten wir:

ds² = dx² + dy² + dz² (die Quadratwurzel musst selbst ziehen)

usw. usw.

Durch Umformung erhält man im Beispiel der Ebene:

ds² = 1 * dx² + 1 * dy² + 0 * dxdy

In Index-Notation (und nach den Regeln des dyadischen Produktes):

ds² = g_11 * dx² + g_12 * dxdy + d_21 * dydx + g_22 * dy²

Folglich beinhalten die Tensor-Komponenten die Einträge:

1 0
0 1

Es ist evident, dass:

g_11 = g_22 = 1

und

g_12 = g_21 = 0

Diese Tensorelemente bleiben also leer und besitzen keine weitere Bedeutung.

In adäquater Weise gilt das obige Vorgehen zur Errichtung des metrischen Tensors auch für Räume beliebiger Dimensionszahl. Bem Metrik-Tensor des Herrn Minkowski besteht der Unterschied zu den euklidischen Beispielen lediglich darin, dass auch eine Zeitkoordinate -(ct)² vorkommt.

Bevor du dich nun in die elementare Differentialgeometrie verbeisst, empfehle ich dir ein besonders verständlich geschriebenes Buch, nämlich:

Hoffmann, Einsteins Idee (Spektrum Akademischer Verlag)

Hoffmann war in Princeton wissenschaftlicher Assistent Einsteins. In seinem an den interessierten Laien gerichteten Buch werden die Grundzüge beider Relativitätstheorien gut nachvollziehbar dargestellt. Ich kann es dir daher wärmstens ans Herz legen.

Gr. zg

[SCR]

Hallo zg,

Danke - dann hatte ich das doch schon in etwa richtig verstanden.

Zitat von SCR

Die SRT basiert rein auf dem Fundamentaltensor - Korrekt?

(+ natürlich dem diskuitierten Wegelement)

[Uli]

Zitat von SCR

Hallo zg,
Die SRT basiert rein auf dem Fundamentaltensor - Korrekt?
Danke - dann hatte ich das doch schon in etwa richtig verstanden.

(+ natürlich dem diskuitierten Wegelement)

Die SRT basiert auf den Prinzipien:
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
und
Gleichberechtigung aller inertialen Bezugssysteme.

Irgendwelche Tensoren sind nicht Basis der SRT, sondern Tools der mathematischen Physik, die man nutzt, um die beiden obigen Beobachtungen auf sehr elegante Weise in der Theorie zu implementieren. Niemand hindert dich jedoch daran, die SRT ohne Tensoren zu formulieren. Braucht man in der SRT weit weniger dringend als in der ART.

Gruß,
Uli

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Danke - dann hatte ich das doch schon in etwa richtig verstanden.

Wenn du es richtig verstanden hättest, hätte der Herr doch nicht zu fragen brauchen. Oder sehe ich das falsch?

Gr. zg

[zeitgenosse]

Zitat von zeitgenosse

Wenn du es richtig verstanden hättest, hätte der Herr doch nicht zu fragen brauchen.

Lass dich jedoch nicht abschrecken durch meine zuweilen sarkastischen Worte. Solange die Fragerei keine kindischen Züge annimmt, ist es o.k. für mich.

Ansonsten...

Gr. zg

[SCR]

Hi Uli,

Zitat von EMI

ds² = dx1²+dx2²+dx3²+dx4²
dx4² = (i c dt)² = -c²dt²

(1) ds² = - dx1² - dx2² - dx3² + c²dt²
(2) v = ((dx1/dt)² + (dx2/dt)² + (dx3/dt)²)^0,5
(3) ds² = c²dt'²
-> dt'/dt = (1 - (v²/c²))^0,5
Woher leitet sich aber eigentlich (3) her (Ich lese immer nur "Es gilt ...")?

Hi zg,

Zitat von zeitgenosse

Lass dich jedoch nicht abschrecken durch meine zuweilen sarkastischen Worte.

Iwo - Ich selbst bin zuweilen diesbezüglich doch auch nicht von schlechten Eltern.

Zitat von zeitgenosse

Wenn du es richtig verstanden hättest, hätte der Herr doch nicht zu fragen brauchen. Oder sehe ich das falsch?

Das siehst Du gar nicht falsch. Ich hatte von der Intention her nur eigentlich etwas anderes gefragt (Mir ging's rein um Pythagoras = Die als vorliegend unterstellten Geometrie).

[Uli]

Zitat von SCR

Hi Uli,

(1) ds² = - dx1² - dx2² - dx3² + c²dt²
(2) v = ((dx1/dt)² + (dx2/dt)² + (dx3/dt)²)^0,5
(3) ds² = c²dt'²
-> dt'/dt = (1 - (v²/c²))^0,5
Woher leitet sich aber eigentlich (3) her (Ich lese immer nur "Es gilt ...")?

Folgt unmittelbar aus den Lorentz-Transformationen, welche wiederum eine Konsequenz der beider Basispostulate der SRT sind (Invarianz von c und Relativitätsprinzip).

Gruß,
Uli

[Marco Polo]

Hallo SCR,

du gehst die Sache imho gänzlich falsch an. Bevor du dich mit differentialgeometrischen Gedanken im Bezug zur RT beschäftigst, solltest du erst mal die Grundlagen der SRT verstanden haben.

Das ist in etwa vergleichbar mit einem KFZ-Mechaniker im 1. Lehrjahr, der meint, er könne Vorlesungen über neuartige Antriebstechniken halten.

Ist leider genauso zum Scheitern verurteilt wie dein zugegeben kühner Versuch, den Tensorformalismus zu verstehen. Da müssen andere mehrere Semester für studieren.

Ein bischen Wikipedia und ein wenig blabla hier im Forum taugen nicht, um derart komplexe Zusammenhänge zu verstehen.

zg weiss das. Und daher auch seine bisweilen sarkastischen Kommentare.

Ich halte dich auch nicht für zu dumm dafür, falls dieser Eindruck entstanden sein sollte.

Aber du sollstest das Pferd nicht von der falschen Seite her aufzäumen. Vergiss also erst mal die Tensoren.

Mach ich übrigens auch.

Grüsse, Marco Polo

[SCR]

Hi Marco Polo,

Zitat von Marco Polo

zg weiss das. Und daher auch seine bisweilen sarkastischen Kommentare.

Ehrlich: Ich liebe sie.

Zitat von Marco Polo

Aber du sollstest das Pferd nicht von der falschen Seite her aufzäumen.

Das ist eine relative Betrachtungsweise: Das kommt darauf an wie herum das Pferd und ich aus Sicht eines Beobachters zueinander stehen - Ich denke eben schräg.

Zitat von Marco Polo

Vergiss also erst mal die Tensoren.

Nö. Wenn's gewünscht ist unterlasse ich das Posten hier - Die haben aber nun einmal mein Interesse geweckt und da lasse ich sicher nicht die Finger davon. Und die ART selbst ist ja auch schon zumindest ein halbes "Tensor-Rechen-Lernbuch".
Es ist zwar noch zu früh: Die auf den Fundamentaltensor "korrigiernd wirkenden" Christoffelsymbole könnten IMHO womöglich "überflüssig" sein (im Sinne von Symptom- statt Ursachen-Bekämpfung) ... Aber wie gesagt: Erübrigt sich vermutlich von alleine wenn ich etwas tiefer drinstecke.

Zitat von Marco Polo

Mach ich übrigens auch.

Deine Entscheidung. Verstehe ich aber ehrlich gesagt nicht - Bei Deinen Voraussetzungen.

Zitat von Marco Polo

Da müssen andere mehrere Semester für studieren.

Das ist mir wurscht - Dann dauert's eben ein bißchen länger.

EDIT: Was heißen soll: Man sollte nie schon aufgeben bevor man es nicht wenigstens versucht hat.
Schließlich hätte Alexander bei Gaugamela auch nicht gewinnen dürfen:

Hat er aber.
Im Moment beschäftige ich mich im Übrigen erst einmal mit dem hyperbolischen Pythagoras ;-).

[Marco Polo]

Hi SCR,

Zitat von SCR

Das ist eine relative Betrachtungsweise: Das kommt darauf an wie herum das Pferd und ich aus Sicht eines Beobachters zueinander stehen - Ich denke eben schräg.

das mag ja sein. Aber in den meisten Lehrbüchern zur SRT werden erst mal die Grundlagen dieser Theorie vermittelt. Bestimmt nicht grundlos.

Der Tensorformalismus ist dafür gar nicht nötig und würde bestimmt die meisten abschrecken. Damit kann man sich dann später immer noch beschäftigen, wenn einem danach ist.

Desweiteren birgt der Tensorformalismus meines Wissens auch keine neuen Erkenntnisse, sondern ist eher eine elegantere Vorgehensweise. Allerdings ist dieser in der ART unverzichtbar.

Es bringt auch nix, hier irgendwelche abgeschriebenen Rechenregeln, die Tensoren betreffend, hinzuschreiben. Da wird dann erklärt, warum irgendwelche Indizees hoch oder tiefgestellt werden usw. blabla. Na super. Bringt einen aber nicht weiter.

Und wenn irgendeiner hier (egal wer) von sich behauptet, er habe die ART und den dazugehörigen Tensorformalismus vollumfänglich verstanden, dann möge dieser bitte umgehend vortreten. Es wird mir ein Vergnügen sein ihn eines Besseren zu belehren.

Nicht weil ichs besser weiss. Aber zurückgreifend auf ein paar Lehrbücher mit Übungsaufgaben, stellt sich schnell heraus, ob jemand Experte ist oder nicht. Du siehst also, du bist in bester Gesellschaft.

Es ist zwar noch zu früh: Die auf den Fundamentaltensor "korrigiernd wirkenden" Christoffelsymbole könnten IMHO womöglich "überflüssig" sein (im Sinne von Symptom- statt Ursachen-Bekämpfung)

Ne, is klar. Dass ich da nicht schon selber drauf gekommen bin.

Deine Entscheidung. Verstehe ich aber ehrlich gesagt nicht - Bei Deinen Voraussetzungen.

Und welche wären das deiner Meinung nach?

Das ist mir wurscht - Dann dauert's eben ein bißchen länger.

Ein bißchen ist gut.

EDIT: Was heißen soll: Man sollte nie schon aufgeben bevor man es nicht wenigstens versucht hat.
Schließlich hätte Alexander bei Gaugamela auch nicht gewinnen dürfen

Der Vergleich mit Alexander dem Großen erscheint mit jetzt aber doch ein wenig größenwahnsinnig.

Im Moment beschäftige ich mich im Übrigen erst einmal mit dem hyperbolischen Pythagoras

Aha. Und wozu soll das gut sein?


Gruss, Marco Polo