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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #51  
Alt 20.10.14, 13:39
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JoAx JoAx ist offline
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Standard AW: Raumschwingungen

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
LaTeX funktioniert hier ja nicht, d.h. ich muss entweder Bilder hochladen oder ein PDF verlinken.
Das könnte weiter helfen, TomS:
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1949

Musst nur noch berücksichtigen, dass es maximal 6 Bilder pro Beitrag geben darf. Ein Teil des Textes vlt. im LaTeX schreiben.
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Gruß, Johann
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Eine korrekt gestellte Frage beinhaltet zu 2/3 die Antwort.
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E0 = mc²
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  #52  
Alt 20.10.14, 23:30
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TomS TomS ist offline
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Standard AW: Raumschwingungen

Ich fasse zunächst die wesentlichen Formeln zusammen:

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #53  
Alt 20.10.14, 23:52
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Standard AW: Raumschwingungen

Nun zu den Details der Rechnung sowie der Interpretation.

Zunächst gebe ich den vollständigen Hamiltonoperator der Pauli-Gleichung für ein quantenmechanisches Teilchen im Magnetfeld B, erzeugt durch ein Vektorpotential A an. A und B sind Felder, also x-abhängig.

Dann betrachte ich jedoch nur noch einen Quantenpunkt, also sozusagen einen an einem Ort festgefrorenen Spin. Dadurch kann ich den ersten Term in H weglassen und im zweiten Term ein konstantes B annehmen. Ich unterdrücke die Ortsabhängigkeit und die Bewegung des Teilchens im Feld!

Ich betrachte das Übergangsmatrixelement zwischen zwei Spinzuständen s und s' zu zwei verschiedenen Zeiten t=0 und t=dt, d.h. ich beschränke mich auf infinitesimale Zeiten dt.

Wenn ich speziell s im +1/2 Zustand festlege, dann ergibt sich ein nicht-verschwindendes Übergangsmatrixelement in den Zustand -1/2, wobei hier die x- und die y-Komponente des B-Feldes eingehen. Wenn beide identisch Null sind, bleibt der Spin im +1/2 Zustand bzgl. der z-Achse = parallel zum Magnetfeld und das Übergangsmatrixelement verschwindet; andernfalls verschwindet das Matrixelement nicht, d.h. die Wahrscheinlichkeit, nach der Zeit dt den Spin -1/2 zu messen, ist ungleich Null.

Zuletzt betrachte ich noch den zeitabhängigen Erwartungswert für den Spinoperator. Dabei beschränke ich mich wieder auf infinitesimale Zeiten dt.

Wenn ich wiederum s im +1/2 Zustand festlege, dann folgt eine Drehung des Erwartungswertes des vektorwertigen Spinoperators, in der das Vektorprodukt aus B-Feld und Einheitsvektor in z-Richtung auftritt. Wiederum ist klar, dass die Drehung verschwindet, wenn das B-Feld in z-Richtung weist.

Zusammenfassend:
1) ein in z-Richtung weisender Spin wird nur dann nicht gedreht, wenn das B-Feld ausschließlich in z-Richtung weist
1') ein in z-Richtung weisender Spin wird immer gedreht, wenn das B-Feld nicht-verschwindende Komponenten in der xy-Ebene hat
2) die Drehung des Spinvektors erfolgt kontinuierlich
3) die Stärke des B-Feldes bestimmt lediglich die Rotationsfrequenz des Spinvektors (nicht die Tatsache, ob er überhaupt rotiert)
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  #54  
Alt 21.10.14, 00:48
Jogi Jogi ist offline
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Standard AW: Raumschwingungen

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
2) die Drehung des Spinvektors erfolgt kontinuierlich
Das bedeutet, zumindest für diese Betrachtungsweise, die WW zwischen Feld und Elektron ist nicht quantisiert.

Wenn ich fossilium richtig verstanden habe, ging es ihm (u. A.) um diese Erkenntnis.
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Die Geschichte wiederholt sich, bis wir aus ihr gelernt haben.
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  #55  
Alt 21.10.14, 07:23
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Standard AW: Raumschwingungen

Zitat:
Zitat von Jogi Beitrag anzeigen
Das bedeutet, zumindest für diese Betrachtungsweise, die WW zwischen Feld und Elektron ist nicht quantisiert.
Die Formulierung verstehe ich nicht so ganz.

Das System ist quantisiert, ich verwende der Formalismus der QM insbs. Hamiltonian H und Spin-Zustände.

Das Spektrum des Spinoperators sowie das jeder Komponente (x,y,z) ist diskret; Eigenwert ist jeweils +1/2 und -1/2.

Aber natürlich gibt es auch in der QM kontinuierliche Größen (insbs. ist die Energie in nicht-gebundenen Zuständen nicht diskret). Im vorliegenden Fall ist das Spektrum des Hamiltonians H, d.h. die Energieeigenwerte, diskret: man legt das Koordinatensystem so fest, dass B in z-Richtung weist; die Energieeigenwerte sind dann -eB und +eB. Aber (!) niemand zwingt uns, das System in einem Energieeigenzustand zu präparieren. Üblagerungszustände sind zulässig und weisen kontinuierliche Energie auf. In einem derartigen Überlagerungszustand findet dann die o.g. Rotation statt (Spin und B-Feld sind nicht parallel), d.h. die Spinausrichtung rotiert kontinuierlich; trotzdem ist die Energie erhalten, d.h. mit der Rotation des Spins ist keine Energieänderung verbunden.
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Geändert von TomS (21.10.14 um 07:26 Uhr)
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  #56  
Alt 21.10.14, 10:47
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TomS TomS ist offline
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PS.: Ich habe die Diskussion mit der Pauli-Gleichung begonnen. Natürlich kann und muss man i.A. diese Gleichung verwenden, insbs. immer dann, wenn die Näherung des ortsfesten Quantenpunktes nicht mehr zutrifft. Das Problem ist, dass für inhomogene B-Felder die beiden Terme im Hamiltonoperator nicht mehr vertauschen. Insbs. resultiert daraus nicht nur eine Rotation des Spins, sondern i) eine Deformation des Wellenpaketes und ii) eine ortsabhängige Rotation des Spins. D.h. dass ein zu Beginn global in z-Richtung ausgerichteter Spin ortsabhängig rotiert werden kann.
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  #57  
Alt 21.10.14, 11:59
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Ich fasse zunächst die wesentlichen Formeln zusammen:
Mal 'ne blöde Frage: zur Einführung der elm. WW in eine Wellengleichung der QM reicht ja die sog. minimale Ersetzung.



aus http://de.wikipedia.org/wiki/Minimale_Kopplung


Diese Ersetzung sehe ich in deiner 2. Gleichung

p -> p -eA

Das sollte es dann aber doch gewesen sein, oder nicht? Wie ist der 2. Term auf der rechten Seite 2eSB noch zu motivieren?

Gruß,
Uli
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  #58  
Alt 21.10.14, 12:15
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Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Wie ist der 2. Term auf der rechten Seite 2eSB noch zu motivieren?
Die minimale Kopplung liefert dir eine Kopplung einer skalaren Wellenfunktion an ein el.-mag. Feld, jedoch keinen Spin.

Den kannst du auf verschiedene Weise einführen:
1) phänomenologisch: du identifizierst Spin (allg. Drehimpuls) mit Kreisstrom, ordnest dem ein magnetisches Moment zu, koppelst das klassisch an ein B-Feld und suchst dann eine Quantisierung; das führt letztlich auf den Spinoperator bzw. die Paulimatrizen.
2) nicht-rel. Näherung an die Dirac-Gleichung: du setzt die "Antiteilchen-Terme" im Vierer-Spinor als "klein" an bzw. integrierst diese sukzessive aus. Das Ergebnis ist die Pauli-Gleichung (plus rel. Korrekturen, die ich hier weggelassen habe) mit einem Zweier-Spinor.
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  #59  
Alt 21.10.14, 13:01
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Die minimale Kopplung liefert dir eine Kopplung einer skalaren Wellenfunktion an ein el.-mag. Feld, jedoch keinen Spin.

Den kannst du auf verschiedene Weise einführen:
1) phänomenologisch: du identifizierst Spin (allg. Drehimpuls) mit Kreisstrom, ordnest dem ein magnetisches Moment zu, koppelst das klassisch an ein B-Feld und suchst dann eine Quantisierung; das führt letztlich auf den Spinoperator bzw. die Paulimatrizen.
2) nicht-rel. Näherung an die Dirac-Gleichung: du setzt die "Antiteilchen-Terme" im Vierer-Spinor als "klein" an bzw. integrierst diese sukzessive aus. Das Ergebnis ist die Pauli-Gleichung (plus rel. Korrekturen, die ich hier weggelassen habe) mit einem Zweier-Spinor.
Es ist anscheinend so, wenn du gleich von der relativistischen Diracgleichung (statt Pauligleichung) ausgehst, dann genügt die erwähnte mininmale Ersetzung komplett, um die elm. WW winzuführen. Beim Übergang zum nichtrel. Grenzfall (so etwa wie du das in (2) beschreibst), resultiert dann dieser "Extraterm" auf der rechten Seite. Ist also richtig, was du da machst.

Siehe z.B. Kap. 5 hier, aber du kennst das wahrscheinlich eh schon alles
http://theory.gsi.de/~friman/rel-quant-mech-rev-07.pdf
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  #60  
Alt 21.10.14, 17:10
Ich Ich ist offline
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Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
1) ein in z-Richtung weisender Spin wird nur dann nicht gedreht, wenn das B-Feld ausschließlich in z-Richtung weist
1') ein in z-Richtung weisender Spin wird immer gedreht, wenn das B-Feld nicht-verschwindende Komponenten in der xy-Ebene hat
2) die Drehung des Spinvektors erfolgt kontinuierlich
3) die Stärke des B-Feldes bestimmt lediglich die Rotationsfrequenz des Spinvektors (nicht die Tatsache, ob er überhaupt rotiert)
Das ist Spinpräzession. In meinem Szenario passiert das nicht, weil ich den Spin mit dem Magnetfeld ausrichte. Was passiert stattdessen?
Ich habe an die Wasserstofflinie gedacht, oder an NMR, wie hier beschrieben. Du sagst, diese Relaxation passiert nicht im idealen homogenen Feld, habe ich das richtig verstanden?
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