Non-commutativity

[Ed Dellian]

Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

[Hamilton]

Standard Non-commutativity
Wer kann begründen, weshalb quantenmechanische Operatoren nicht kommutieren?

Was für eine Art Begründung stelltst du dir denn vor?
Willst Du sehen, dass das manchmal so rauskommt, wenn man einen nichtverschwindenen Kommutator ausrechnen will? Oder meinst du eine physikalische Interpretation?
Übrigens ist die Aussage falsch: Es kommutieren sehr wohl eine Menge Quantenmechnanischer Operatoren, z.b. [q,L²]=0 oder [H,p]=0

[Uli]

Zitat von Hamilton

Übrigens ist die Aussage falsch: Es kommutieren sehr wohl eine Menge Quantenmechnanischer Operatoren, z.b. [q,L²]=0 oder [H,p]=0

Genau: Observablen kommutieren nur dann nicht, wenn sie nicht simultan scharf messbar sind.

[Ed Dellian]

Danke für die Antwort. Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. Übrigens behauptet meine Frage nicht, dass a l l e ... nicht kommutieren!

[Uli]

Zitat von Ed Dellian

Danke für die Antwort. Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. ...

Nun ja, es gibt auch in der klassichen Mechanik Fälle, in denen a "mal" b ungleich b "mal" a ist. Denk z.B. an Rotationen in 3 Dimensionen. Wenn du ein Objekt erst um einen Winkel um eine Achse drehst und dann um einen anderen Winkel um eine andere Achse, dann bekommst du ein anderes Ergebnis als in dem Fall, in dem du die Reihenfolge dieser Drehungen vertauschst. Tatsächlich werden solche Drehungen durch 3x3 -Matrizen dargestellt, und diese kommutieren i.a. nicht.

Die Nicht-Kommutativität von Operatoren physikalischer Größen in der Quantenmechanik ist erforderlich, wenn diese Größen nicht simultan beliebig genau messbar sind - mit anderen Worten - um die beobachteten Unschärferelationen zu erfüllen. Die Beobachtungen waren also (wie immer) ausschlaggebend: Theorien werden immer so gebaut, dass die experimentellen Beobachtungen herauskommen.

Nicht-kommutierende Größen kann man nun auf verschiedene Weisen konstruieren: Schrödinger wählte Differential-Operatoren, die auf Wellenfunktionen wirken - Heisenberg Matrizen, die Spaltenvektoren transformieren.

Ich fürchte aber, diese Bemerkungen werden dich auch nicht wirklich glücklich machen. Um die Einführung dieser Kommutatoren zu motivieren, muss man sich doch recht eingehend mit theoretischer Physik beschäftigen. Kennt man sich z.B. in klassischer Mechanik aus, so wird man entdecken, dass die Ersetzung der Poisson-Klammern
dort durch Kommutatoren quasi die Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik erzeugt. So ganz unmotiviert vom Himmel fällt das alles also nicht.

Gruß,
Uli

[Hamilton]

Ich stelle mir eine Begründung vor, die auch einem Laien verständlich macht, warum in der QM a mal b nicht gleich b mal a sein soll. ...

Ja, ok-
also zunächst vielleicht eine kurze Bemerkung:
ab=ba gilt für Zahlen wie 3*7=7*3
In der QM stehen diese Buchstaben p, q bzw. r, x nicht für Zahlen!
Das sind Operatoren auf einen ganz anderen, für nichtmathematiker etwas merkwürdigen Raum.
Stell dir unter Operator eine "Aktion" vor und von rechts nach links liest sich die Reihenfolge der Aktionen.
Es gibt Aktionen, wo es egal ist, in welcher Reihenfolge ich sie mache:
z.b. Kaffetrinken und Zeitunglesen
Eine Menge Aktionen ergeben aber völlig unterschiedliche Ergebnisse, wenn man die Reihenfolge vertauscht, z.b.
Autofahren und Saufen

Der Kommutator gibt an, ob sich am Endzustand etwas ändert, wenn man die Aktionen in der Reihenfolge vertauscht.
Ansonsten verweise ich auf Ullis Antwort

[Sino]

Ich persönlich vermute, dass in einer tiefergehenden Theorie, die vielleicht die QM geometrisch erklärt, Rotationen eine grössere Rolle spielen, als man der QM im Moment vielleicht ansieht.

In der Geometrischen Algebra (beruhend auf Clifford/Grassmann) ist das Produkt zweier Elemente die Summe aus einem Inneren und Äusseren Produkt. Das Innere Produkt ist kommutativ, dass äussere anti-kommutativ.
Wobei das geometrische Produkt auch Drehungen beschreiben kann. Die komplexen Zahlen integrieren sich in dieses System auch nahtlos. ( Im zweidimensionalen ist die komplexe Zahl ein Spinor, der einen 2D-Vektor dreht, wenn man beides multipliziert. ) Diese Operationen kann man dann in beliebigen Dimensionen mit beliebig dimensionalen Objekten durchführen.

Man kann die Gleichungen der QM direkt in sowas umschreiben.

Ich vermute mal, dass dahinter eine geometrische Wahrheit steckt.
Wenn ich eine Schraube mit Rechtsgewinde umdrehe, so dass ich nicht auf den Schraubenkopf schaue, sondern auf die Spitze, dann haben sich zwar die Achse umgekehrt, Punkte, die vorne waren, sind nun hinten, aber die Schraube hat immer noch den gleichen Drehsinn.
( edit: Das ist aber natürlich nur ein Bild, das ich gerade im Kopf hab. Also ohne Gewähr !)

Ich denk mal, solche Vorgänge spielen in der QM eine tiefere Rolle.

[Hermes]

Zitat von Sino

Ich persönlich vermute, dass in einer tiefergehenden Theorie, die vielleicht die QM geometrisch erklärt, Rotationen eine grössere Rolle spielen, als man der QM im Moment vielleicht ansieht.

[.......]

Ich denk mal, solche Vorgänge spielen in der QM eine tiefere Rolle.

Ich denke der 'Spin' könnte vielleicht besser verstanden (nicht nur beschrieben!) sein, wenn man gedanklich untersucht, inwiefern ein Spin tatsächlich eine Drehung im Höherdimensionalen sein könnte.
Der Weg dazu führt wohl über Geometrie.
Geometrische Erklärungsansätze von Quantenphänomen sind meiner Meinung nach vielversprechend. Geometrisch gesehen könnte eine 'Verschränkung' beispielsweise als 'Hereinragen' eines höherdimensionalen Objekts in unseren Meßraum gedeutet werden - die perfekte nicht-lokale Synchronität zweier Teilchen ist sehr einleuchtend, wenn man sie als im 'Höherdimensionalen' verbundene Einheit ansieht.

[Ed Dellian]

Vielen Dank für dn Hinweis auf die Geometrie. Siehe meine Antwort an Sino. Ich denke, es gibt in der modernen Physik elementare Proportionen[I], die sich jeweils um "Naturkonstanten" wie c und h gruppieren: z.B. E/mc = c = konstant;
E/v = h = konstant; E/p = c = konstant. In der klassischen Mechanik gibt es ja solche Naturkonstanten nicht, un damit auch keine solchen Proportionen, die m.E. allemal [I]geometrische /I] Proportionen sind, weil die einzelnen Faktoren ja nicht bloß Zahlen sind, sondern geometrisch (durch ihre "Dimension") definierte Objekte. - Sieht man, dass z.B. die Konstante c ein
Quotient aus delta s und delta t ist, d.h. aus Raumelement und Zeitelement, so gewinnt man für E/mc = c mit mc = p die Formel: E/p = delta s/delta t.
Also: Könnte es sein, dass überhaupt der modernen Physik [I]geometrische Proportionen[I] zugrunde liegen?

[Lambert]

Zitat von Hermes

Ich denke der 'Spin' könnte vielleicht besser verstanden (nicht nur beschrieben!) sein, wenn man gedanklich untersucht, inwiefern ein Spin tatsächlich eine Drehung im Höherdimensionalen sein könnte.
Der Weg dazu führt wohl über Geometrie.
Geometrische Erklärungsansätze von Quantenphänomen sind meiner Meinung nach vielversprechend. Geometrisch gesehen könnte eine 'Verschränkung' beispielsweise als 'Hereinragen' eines höherdimensionalen Objekts in unseren Meßraum gedeutet werden - die perfekte nicht-lokale Synchronität zweier Teilchen ist sehr einleuchtend, wenn man sie als im 'Höherdimensionalen' verbundene Einheit ansieht.

Hallo Hermes,

mach meiner Sehensweise stimmt diese Deine Annahme. Es sind Geometrien des imaginaeren Raums. Hmmm, es handelt sich dabei um Stabilitaetskriterien zwischen dem reellen und dem imaginaeren Raum. So steht das wenisgtens in SQT.

Gruss,
Lambert