Matrixelemente eines Operators

[DarkReality]

Hallo,

Ich habe eine kleine Anfängerfrage, die anscheinend kein Buch so richtig erklären möchte. Was ist die eigentliche Bedeutung eines Matrixelements einer Variable? Ich lerne momentan für eine QMech Prüfung und bin an der/einer (so nennt sie zumindest unser Professor) Superauswahlregel angelangt, die besagt, dass die Matrixelemente zwischen einem Zustand mit ganzzahligem Drehimpuls und einem Zustand mit halbzahligem Drehimpuls gleich null ist. Das leuchtet ein.

Als Folgerung hieß es, jedoch, dass deswegen keine lineare Superpositionen zwischen besagten Zuständen existieren kann. Es gab zwar ein Beweis, den ich mehr oder weniger verstehe (mit Projektoren auf die jeweilgen Unterräume und physikalische Ununterscheidbarkeit), aber so richtig kausal erscheint mir das ganze nicht. Das liegt wiederum daran, dass ich keine Ahnung habe, was ich mir unter dem Matrixelement einer Variable vorstellen darf, außer eben dass es ein Matrixelement ist.

Vielen Dank schon mal!

[Hamilton]

Hm, also
wenn du eine Basis hast z.b. |n> n = 0,1,2,3,...
und einen Operator A, dann kannst Du den darstellen als
Matrix mit den Matrixelementen A_nm = <n|A|m>
Wenn |n> Eigenfunktionen von A sind, dann ist A_nm diagonal und die Matrixelemente sind die Eigenwerte

[Uli]

Zitat von DarkReality

Hallo,

Ich habe eine kleine Anfängerfrage, die anscheinend kein Buch so richtig erklären möchte. Was ist die eigentliche Bedeutung eines Matrixelements einer Variable? Ich lerne momentan für eine QMech Prüfung und bin an der/einer (so nennt sie zumindest unser Professor) Superauswahlregel angelangt, die besagt, dass die Matrixelemente zwischen einem Zustand mit ganzzahligem Drehimpuls und einem Zustand mit halbzahligem Drehimpuls gleich null ist. Das leuchtet ein.

Als Folgerung hieß es, jedoch, dass deswegen keine lineare Superpositionen zwischen besagten Zuständen existieren kann. Es gab zwar ein Beweis, den ich mehr oder weniger verstehe (mit Projektoren auf die jeweilgen Unterräume und physikalische Ununterscheidbarkeit), aber so richtig kausal erscheint mir das ganze nicht. Das liegt wiederum daran, dass ich keine Ahnung habe, was ich mir unter dem Matrixelement einer Variable vorstellen darf, außer eben dass es ein Matrixelement ist.

Vielen Dank schon mal!

Hi DarkReality,

will mal eine Antwort versuchen. Weiss aber nicht, ob ich es wirklich gut beschreiben kann ...

In der Quantenmechanik werden ja physikalische Variablen (auch gerne "Observablen" genannt) durch Operatoren dargestellt. Diese Operatoren wirken auf Zustände (bei Schrödinger "Wellenfunktionen") und verändern diese.
Eine besondere Bedeutung spielen dabei die "Eigenzustände" dieser oben erwähnten Operatoren; diese können immer als Basis verwendet werden, um den kompletten Raum der Zustände ("Hilbert-Raum" sagt man) aufzuspannen.
Ein Eigenzustand zu einer Observablen - nehmen wir mal den Drehimpuls L - hat die Eigenschaft, dass die Anwendung des Operators dieser Observablen den Eigenzustand - bis auf einen Vorfaktor - reproduziert. Den Vorfaktor nennt man Eigenwert.

L |l> = l |l>

L ist der Drehimpulsoperator, l der Eigenwert (Messwert dieses Zustandes) und |l> der Eigenzustand zum Eigenwert l.

Du weisst sicher, dass es die QM erlaubt, Erwartungswerte (wahrscheinlichster Messwert) von Observablen in Zuständen zu berechnen. Dies schreibt man symbolisch als

EW = <l|L|l>

das ist der Erwartungswert der Observablen im Zustand |l>; das ist natürlich l.
Nun kann man sich vorstellen, dass man eine vollständige Darstellung so eines Operators in der Basis |l> durchführen kann. Diese besteht dann aus der Angabe aller Elemente

<l1|L|l2>

wobei l1 und l2 die möglichen Eigenwerte durchlaufen.
Dies kann man nun als eine Matrix interpretieren; die Erwartungswerte sind dabei gerade die diagonalen Elemente dieser Matrix. Die nichtdiagonalen Elemente aber charakterisieren Übergänge zwischen den Basiszuständen.

Wenn also - wie du oben sagst - das
"Matrixelemente zwischen einem Zustand mit ganzzahligem Drehimpuls und einem Zustand mit halbzahligem Drehimpuls gleich null ist"
so bedeutet das, dass keine Übergänge zwischen diesen Zuständen möglich sind. Gäbe es nun eine physikalische Zustandsfunktion (eine Lösung der Schrödingergleichung=Eigenzustand des Hamilton-Operators), die eine Superposition von Eigenzuständen ganzzahligen und halbzahligen Spins ist, so würde dies unmittelbar implizieren, dass Übergänge zwischen ganz- und halbzahligen Spin-Eigenzuständen möglich wären, denn die Projektion so eines Zustand auf die halbzahligen Eigenzustände wären ungleich 0 und gleiches gilt für die Projektion des superponierten Zustandes auf die ganzzahlige Basis. Der Hamilton-Operator würde also Übergänge induzieren, die die Superauswahlregeln verletzen.

Gruß,
Uli

PS. Was sagt denn unser User "Hamilton" dazu ? Vielleicht kann das wer besser erklären als ich.
Edit: oh, er hat mich schon überholt. ;(