Quanten.de Diskussionsforum  

Zur?ck   Quanten.de Diskussionsforum > Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest.

Hinweise

Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
  #1  
Alt 20.05.13, 16:54
piet piet ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 20.05.2013
Ort: Bielefeld
Beitr?ge: 1
Standard Vergleich der Bewegungsgleichungen (klassisch vs. quantenmechanisch)

Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben:
Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4

zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert:

dx/dt = i/h(quer) ([H, x])

dp/dt = i/h(quer) ([H, p])
"Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den
Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im
Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2."

Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse:
Für den Kommutator [H, x] = 0
Für den Kommutator [H, p] = -i/h(quer)(m * w^2 *x + 4 alpha * x^3)

Folgende Erwartungswerte der Bewegungsgleichung habe ich ausgerechnet
Für d<p>/dt = -mw^2 * xdt

Integriert bekomme ich dann:

<p> = -m * w^2 * x * t

für den Ort bekomme ich <x> = 0 raus.

Mir ist nicht ganz klar wie x(t) definiert ist. Ich sehe auch keinen Zusammenhang mit dem Potential.

Könnt ihr mir helfen?
Mit Zitat antworten
  #2  
Alt 20.05.13, 19:16
Hawkwind Hawkwind ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 22.07.2010
Ort: Rabenstein, Niederösterreich
Beitr?ge: 3.057
Standard AW: Vergleich der Bewegungsgleichungen (klassisch vs. quantenmechanisch)

Zitat:
Zitat von piet Beitrag anzeigen
Ich möchte folgende Aufgaben lösen.
Folgende Gleichungen sind gegeben:
Hamiltonoperator H = p^2/(2m) +1/2 m*w^2 * x^2 +alpha*x^4

zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen Erwartungswert:

dx/dt = i/h(quer) ([H, x])

dp/dt = i/h(quer) ([H, p])
"Betrachten sie den Spezialfall alpha = 0. Vergleichen sie die Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte <x> und <p> mit den klassischen Bewegungsgleichungen für den Ort x(t) und den
Impuls p(t) = m d/dt x(t) eines Teilchens im
Potential V(x) = 1/2 m*w^2 * x^2."

Für die Kommutatoren habe ich folgende Ergebnisse:
Für den Kommutator [H, x] = 0
Das stimmt doch nicht: x kommutiert zwar mit den x-Termen im Hamiltonian, aber natürlich nicht mit dem 1. Term ~p^2.

[p^2,x] = ppx - xpp =
= pxp - pxp +ppx -xpp =
= pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp - xpp + pxp +p[p,x] -xpp =
= xpp + [p,x]p + p[p,x] -xpp = [p,x]p + p[p,x]

wegen [p,x]=-i*hquer

= 2*i*hquer*p

oder du setzt für p explizit d/dx ein und verwendest die Produktregel beim Durchschieben von x auf die linke Seite. Kommt natürlich dasselbe raus.

... die 2m im Nenner weggelassen.

Wenn dieser Kommutator verschwände, dann wären Energie und Ort simultan scharf, oder - anders gesagt - dann hätten die Energieeigenfunktionen dieses Problems (harmonischer Oszillator) scharfe x-Werte. Die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators kennt man ja,
siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...tenmechanik%29

Der Grundzustand z.B. ist


Man erkennt leicht, dass es eine endliche Breite in x gibt. x und E sind also nicht zugleich scharf!

Den Rest habe ich mir nicht angeguckt, muss jetzt joggen bevor der nächste Regenguss kommt.
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist Ihnen nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, auf Beitr?ge zu antworten.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Anh?nge hochzuladen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Ihre Beitr?ge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.

Gehe zu


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 10:47 Uhr.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm