Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle

[Timm]

Hi,

Die Krümmung der Raumzeit läßt sich u.a. am Verhalten von Geodäten ablesen, positive/negative Krümmung korrespondiert mit sich einnander annähernden/voneinander entfernenden Geodäten. Demnach krümmt eine kugelförmige Masse die Raumzeit positiv und negativ, je nach dem, ob man tangential orientierte oder hintereinander fallende Testpartikel betrachtet.

Meine Frage ist, ob und ev. mit welchen Einschränkungen man sich diese Richtungsabhängigkeit der Krümmungsanteile analog zu der von einer durchgehenden Gravitationswelle verursachten Raumzeitkrümmung vorstellen kann.

Dazu dieses Bildchen aus wiki,

das die periodische Deformation von in der transversalen xy-Ebene kreisförmig angeordneten Testpartikeln anzeigt.
Demnach wäre die Richtungsabhängigkeit der Krümmung je nach Phase der Schwingungsperiode T wie folgt:

T=0: 0
T=1/4: x-> pos., y->neg.
T=1/2: 0
T=3/4: x->neg., y->pos.
T=0: 0

Kritik?

[Ich]

Hi,

das ist alles mit Vorsicht zu genießen. Im Falle dunkler Energie zum Beispiel (mit w<-1/3) haben wir divergierende zeitartige Geodäten, aber positive Raumzeitkrümmung. Im Falle normaler Materie denke ich, dass du richtig liegst.
Die Krümmung von der wir reden, ist diejenige der Ebenen, in denen die entsprechenden Geodäten verlaufen. In deinem Beispiel mit den Gravitationswellen wären das die t,x und t,y - Ebenen.

[Timm]

Danke für die Antwort, soweit klar.

[Timm]

Zitat von Ich

das ist alles mit Vorsicht zu genießen. Im Falle dunkler Energie zum Beispiel (mit w<-1/3) haben wir divergierende zeitartige Geodäten, aber positive Raumzeitkrümmung.

Ich würde hier gerne nochmal nachhaken. Demnach sollte die Raumzeitkrümmung für die Fälle gleichförmige Expansion (w=-1/3; zeitartige Geodäten parallel) Null und verzögerte Expansion (w>-1/3; zeitartige Geodäten konvergieren) negativ sein.

Bei der Raumkrümmung korrespondieren divergierende Geodäten mit negativer und konvergierende Geodäten mit positiver Krümmung. Das ist auch relativ einfach nachvollziebar. Aber nicht - jedenfalls für mich -, daß es bei der Raumzeitkrümmung umgekehrt ist. Kannst Du mir da eine Hilfestellung geben?

[Ich]

Bei der Raumkrümmung korrespondieren divergierende Geodäten mit negativer und konvergierende Geodäten mit positiver Krümmung. Das ist auch relativ einfach nachvollziebar. Aber nicht - jedenfalls für mich -, daß es bei der Raumzeitkrümmung umgekehrt ist. Kannst Du mir da eine Hilfestellung geben?

Tut mir leid, nein. Das war ein Punkt, mit dem ich mich damals noch intensiver auseinandersetzen wollte, weil ich es intuitiv auch nicht verstanden habe. Hab dann aber wieder drauf vergessen.
Was ich noch weiß ist, dass alle raumartigen Ebenen in so einer Raumzeit positive Schnittkrümmung haben. Die anderen drei dann wohl auch, sonst hätte ich das wohl nicht behauptet, aber ich erinnere mich ehrlich gesagt nicht mehr. Vielleicht schau ich da in naher Zukunft nochmal rein.

[Timm]

Im MTW habe ich viel zur Krümmung der Raumzeit durch Massen, aber nichts im Kontext des expandierenden Universums gefunden. Sollte sich hier das Vorzeichen der Krümmung nicht ebenfalls aus dem Paralleltransport eines Vektors um eine geschlossene Kurve (und dessen Vergleich mit dem am Start?) ergeben? Das ist nur geraten.

Der Zusammenhang zwischen der Relativbeschleunigung zweier freier Testpartikel und dem Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit ist im Gravitationsfeld einer Masse analog zum Durchgang einer Gravitationswelle im flachen Raum. Ok, aber letztlich ist natürlich auch da eine wenn auch weit entfernte beschleunigte Masse der Auslöser dieser Relativbeschleunigung. Im andern Fall (Expansion) bestimmt nicht Masse, sondern das Vorzeichen von ä das Verhalten der Testpartikel, wenn ich es richtig sehe. Insofern keine direkte Analogie.
Falls Du das klären kannst, wäre das super.

[Timm]

Zitat von Timm

Im MTW habe ich viel zur Krümmung der Raumzeit durch Massen, aber nichts im Kontext des expandierenden Universums gefunden.

Ein Artikel von Matthias Bartelmann, Uni HD, in SuW 2/2013 geht darauf ein. Darin schreibt er, untermalt mit einer bildlichen Darstellung (divergierende, geradlinig verlaufende und konvergierende Geodäten), daß unabhängig von der Krümmung des Raums die Raumzeit beim beschleunigt/verzögert expandierenden Universum gekrümmt (Vorzeichen läßt er weg) und bei gleichförmiger Expansion flach ist. Wahrscheinlich muß man in die Tensoren insbesondere Riemann einsteigen, um das von Grund auf verstehen zu können, was mir leider nicht gegeben ist. Gibt's da vielleicht eine "einfache" Zusammenfassung?

Zu denken gibt, was da noch im Kontext Winkelmessung -> Raumkrümmung steht:

... So kann aus einer direkten Winkelmessung die räumliche Krümmung des Universums erschlossen werden. Es könnte auch raumzeitlich flach sein, wenn seine Expansionsrate konstant wäre. Dies ist aber nicht der Fall.

'Expansionsrate' ist üblicherweise gleichbedeutend mit 'Hubble Parameter'. Gemeint ist hier aber "lineare Ausdehnung ", wie im Bild auch so bezeichnet. Aber abgesehen davon, scheint aus dem Text zu folgen, daß unser massehaltiges Universum bei linearer Ausdehnung eine flache Raumzeit hätte. Sehe ich das richtig und ist das so?

Gruß, Timm

[Ich]

Darin schreibt er, untermalt mit einer bildlichen Darstellung (divergierende, geradlinig verlaufende und konvergierende Geodäten), daß unabhängig von der Krümmung des Raums die Raumzeit beim beschleunigt/verzögert expandierenden Universum gekrümmt (Vorzeichen läßt er weg) und bei gleichförmiger Expansion flach ist. Wahrscheinlich muß man in die Tensoren insbesondere Riemann einsteigen, um das von Grund auf verstehen zu können, was mir leider nicht gegeben ist. Gibt's da vielleicht eine "einfache" Zusammenfassung?

An den Friedmanngleichungen sieht man, dass beschleunigte/gebremste Expansion eine Ursache haben muss: Im Universum muss "Materie" im weitesten Sinne vorhanden sein: Energie (auch Masse zählt dazu) und evtl. Druck, es ist also nicht leer. Eine kosmologische Konstante zähle ich hier auch zu "Materie" also etwas mit Energiedichte und Druck, genau wie der Wikipedia-Artikel.
Der nächste Schritt sind die Einsteinschen Feldgleichungen, die Krümmung mit Materiegehalt verbinden. Im Prinzip steht da G=T (mal einen Faktor). G und T sind beides Tensoren, hier 4x4 Matrizen. G beschreibt (einen Teil der) Raumzeitkrümmung, T beschreibt den Materiegehalt. Da beides gleich ist, heißt das: wenn Materie vorhanden ist, dann ist T!=0, deswegen G!=0, also Raumzeitkrümmung vorhanden.
Also Beschleunigung -> "Materie" vorhanden -> Krümmung vorhanden.

Im unbeschleunigten Fall gibt es im Prinzip zwei Möglichkeiten, wie man an der Friedmann-Gleichung erkennt:
Entweder ist das Universum leer, also sowohl rho als auf P auf der rechten Seite gleich Null. Dann ist es auch nicht gekrümmt im kosmologischen Sinne (Gravitationswellen oder so dürften schon noch da sein, die interessieren hier aber nicht).
Oder auf der rechten Seite heben sich die Beiträge von rho und P gegenseitig auf. Dann ist Materie vorhanden, die Expansion aber trotzdem unbeschleunigt. In unserem Universum war das vor etwa 7 Mrd. Jahren der Fall. Allerdings folgt aus der Energieerhaltung, dass sich rho und P mit der Expansion auseinanderentwickeln: Die Expansion bleibt also nicht dauerhaft unbeschleunigt.
Also wäre die formal korrekte Aussage für Korinthenkacker: ein immer unbeschleunigt expandierendes Universum ist leer, also nicht gekrümmt. (Zumindest, wenn man nicht - abseits vom Mainstreams bzw. an dessen Rand - ein paar Augen bei Energieerhaltung und Zustandsgleichung zudrückt. Solche Modelle findet man unter "freely coasting universe" oder "freely floating universe".)

Aber abgesehen davon, scheint aus dem Text zu folgen, daß unser massehaltiges Universum bei linearer Ausdehnung eine flache Raumzeit hätte. Sehe ich das richtig und ist das so?

Nein. Der Schluss von flacher Raumzeit auf leeres Universum ist eindeutig:
Raumzeit flach heißt, der Riemanntensor ist in allen Komponenten Null.
R_abcd=0, das gilt auch für den Ricci-Tensor
R_ab=0 und den Ricci Skalar
R=0.
Damit ist auch G=0, und deswegen auch T=0.
Ich weiß nicht genau, was Bartelmann da meint. Vielleicht einfach, dass das Universum nicht leer ist. Oder er bezeichnet alles mit R=0 als "nicht gekrümmt".

[Timm]

Danke für die links und die Erläuterungen.

Bartelmann schreibt im Kontext unseres massehaltigen Universums, daß die Raumzeit bei gleichförmiger Expansion flach wäre. Das ist ihm wahrscheinlich "durchgerutscht", er weiß es natürlich besser. Hat mich etwas verwirrt, aber das soll uns jetzt nicht weiter beschäftigen.

Zitat von Ich

Der nächste Schritt sind die Einsteinschen Feldgleichungen, die Krümmung mit Materiegehalt verbinden. Im Prinzip steht da G=T (mal einen Faktor). G und T sind beides Tensoren, hier 4x4 Matrizen. G beschreibt (einen Teil der) Raumzeitkrümmung, T beschreibt den Materiegehalt. Da beides gleich ist, heißt das: wenn Materie vorhanden ist, dann ist T!=0, deswegen G!=0, also Raumzeitkrümmung vorhanden.
Also Beschleunigung -> "Materie" vorhanden -> Krümmung vorhanden.

Wie hängt der Einsteintensor mit dem Riemann-, Ricci- und Weyltensor zusammen? Letzterer ist mir mal in Zusammenhang mit Gravitationswellen über den Weg gelaufen -> Raumzeit Krümmung im ansonsten flachen Raum.

Der Riemanntensor wird häufig mit der Krümmung der Raumzeit in Verbindung gebracht und ist, wie ich hier, Seite 1 fand, proportional zur relativen Beschleunigung freier Testpartikel. Wie ist das zu verstehen angewandt auf die Epoche, in der das Universum die Phasen verzögerte, gleichförmige und beschleunigte Expansion durchlief? Diese Phasen sind durch das Vorzeichen von ä charakterisiert. Aber sind damit auch bestimmte Charakteristika des Riemanntensors verknüpft?

Ich habe nochmal etwas gründlicher unter Vorzeichen/Raumzeitkrümmung/FRW gesucht, finde aber nichts. Könnte es sein, daß es in diesem Fall eine solche Unterscheidung nicht gibt?

P.S. habe den Artikel, der sich mit Ricci/Weyl beschäftigt wieder gefunden, The Ricci and Weyl Tensors.

The Ricci tensor Rab only keeps track of the change of volume of this ball. Namely, the second time derivative of the volume of the ball is -Rabva vb times the ball's original volume. The Weyl tensor tells the REST of the story about what happens to the ball. More precisely, it describes how the ball changes shape, into an ellipsoid.

Demnach spielt bei der Beschreibung der Krümmung der Volumenerhalt eine Rolle. Für die relative Beschleunigung freier Testpartikel unter Volumenerhalt ist der Weyl Tensor zuständig, sowohl beim freien Fall im Gravitationsfeld einer Masse, wie auch beim Durchgang einer Gravitationswelle. In beiden Fällen ist der Ricci Tensor Null. In beiden Fällen erhält die Raumzeitkrümmung ein Vorzeichen. Das bringt mich auf die Idee, daß die Raumzeitkrümmung dann kein Vorzeichen hat, wenn das Volumen sich ändert, sprich wenn Ricci <> 0. Es würde mich interessieren, was Du davon hältst.

[Ich]

Wie hängt der Einsteintensor mit dem Riemann-, Ricci- und Weyltensor zusammen? Letzterer ist mir mal in Zusammenhang mit Gravitationswellen über den Weg gelaufen -> Raumzeit Krümmung im ansonsten flachen Raum.

Zum Weyl-Tensor lohnt es sich, den Wikipedia-Artikel anzulesen.
Im Prinzip ist es so: Der Riemanntensor beschreibt ganz allgemein die Raumzeitkrümmung. Der Weyl-Tensor ist ein Teil davon (d.h. bestimmte Komponenten werden zu Null gesetzt). Der Ricci-Tensor (nur Stufe 2, also 4x4 statt 4x4x4x4 wie bei Riemann und Weyl) enthält die dann fehlende Information.
Im Vakuum verschwindet der Ricci-Tensor, es bleibt nur der Weyl-Tensor übrig. Die Bedeutung ist, wie in Wikipedia und in "The Meaning of Einstein's Equations" dargestellt, dass im Vakuum ein Testvolumen - z.B. eine Wolke Kaffebohnen in relativer Ruhe - nur verformt wird (Weylkrümmung), während es bei Anwesenheit von Materie innerhalb der Wolke auch in der Größe geändert wird.
Der Einsteintensor ist abgeleitet aus dem Ricci-Tensor; seine große Bedeutung ist eben die Gleichheit mit dem Energie-Impuls-Tensor, was als Feldgleichungen die Grundlage der ART ist.

Wie ist das zu verstehen angewandt auf die Epoche, in der das Universum die Phasen verzögerte, gleichförmige und beschleunigte Expansion durchlief? Diese Phasen sind durch das Vorzeichen von ä charakterisiert. Aber sind damit auch bestimmte Charakteristika des Riemanntensors verknüpft?

Ja, die Beschleunigung ist (bis auf konstante Faktoren) gleich der Spur des Ricci-Tensors (rho+3p). Das heißt, sie ist proportional zu R, dem Krümmungsskalar. Also: Spur der Spur des Riemann-Tensors=0 -> keine Beschleunigung.

Ich habe nochmal etwas gründlicher unter Vorzeichen/Raumzeitkrümmung/FRW gesucht, finde aber nichts. Könnte es sein, daß es in diesem Fall eine solche Unterscheidung nicht gibt?

Da bin ich ein Stückchen weitergekommen: Die De-Sitter-Raumzeit hat in allen Ebenen dieselbe positive Schnittkrümmung, wie ich gesagt hatte.
Das Problem dabei ist offensichtlich, dass das für Raum-Zeit-Ebenen (z.B. x-t) etwas anderes bedeutet wie für Raum-Raum-Ebenen (z.B. x-y).
Wir hatten seinerzeit mal bei Joachim dieses Paper diskutiert. Da schreibt einer, dass die Schnittkrümmung im raumartigen Teil dieser Ebenen positiv sei und im zeitartigen Teil negativ. Ich halte diese Ausdrucksweise aber für maximal verwirrend und dubios.
Im Prinzip läuft's wohl darauf hinaus, dass zeitartige Geodäten bei positiver Schnittkrümmung divergieren, raumartige aber konvergieren. Das muss ich mir aber noch genauer anschauen.