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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
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#11
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Zitat:
Bedeutet positive Schnittkrümmung nicht Sphäre? Wir sprechen hier also von Raumkrümmung, nicht Raumzeit Krümmung, oder? Geht es um Geodäten in einer expandierenden Sphäre? Kannst Du nochmal etwas weiter ausholen?
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#12
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Zitat:
Das mit der relativen Beschleunigung würde ich auch als eine allgemeine Defininition von "Gezeitenkraft" sehen. Vielleicht wird der Begriff meistens spezieller gebraucht. Zitat:
Mein Beispiel von damals war die de Sitter Raumzeit, das exponentiell beschleunigt expandierende Universum. Der FRW-Raum für diese Raumzeit ist flach. Der statische Raum ist positiv gekrümmt. Diesen Unterschied habe ich in meinem Gamsbart.Beispiel versucht zu erklären. Raumzeitkrümmung hat nun mit der exakten Koordinatenwahl nichts zu tun. Es gibt für die Gesamtkrümmung eine (oder zwei) Zahlen, und die sind positiv: diese Raumzeit ist positiv gekrümmt, egal wie man darin den Raum definiert. Wenn man genauer hinschauen will kommt man zum Begriff der Schnittkrümmung. Dazu sucht man sich an einem bestimmten Punkt zwei Vektoren aus. Dann nimmt man die Ebene, die durch Geodäten erzeugt wird, die irgendwie als Linearkombination dieser beiden Vektoren vom Ursprung ausgehen. Auch das ist koordinatenunabhängig, also eine Raumzeitgröße, und nicht von der speziellen Definition des Raumes abhängig, die man verwendet. Als solche Vektoren kann man der Übersichtlichkeit halber gerne die Basisvektoren irgendeines Orthogonalsystems wählen. Im Falle einer FRW-Raumzeit idealerweise mit der kosmologischen Zeit als "Zeitrichtung". Dann gibt es vier Basisvektoren t,x,y,z und sechs Ebenen tx,ty,tz,xy,xz,yz. Für jede dieser Ebenen kann man die Schnittkümmung ausrechnen, und für jede kommt bei de Sitter derselbe Wert raus: +1/4a² (a ist eine frei wählbare charakteristische Länge). Also ist der "Normalraum" (siehe Gamsbart) positiv gekrümmt, das sind die Ebenen xy,xz,yz. Ebenso sind die Zeit-Raum-gemischten Ebenen tx,ty,tz positiv gekrümmt. Jetzt ist es aber innerhalb dieser Ebene offensichtlich so, dass raumartige Geodäten konvergieren (wie auch in der Raum-Raum-Ebenen), aber zeitartige Geodäten divergieren. Wie das genau ausieht weiß ich nicht, da muss ich mich noch tiefer einarbeiten. Zusammenfassend: Der "natürliche" Raum des exponentiell beschleunigt expandierenden Universums hat positive Krümmung und ist in der Tat deswegen eine Sphäre. Die Raumzeitebenen sind auch positiv gekrümmt, werden aber deswegen nicht zur Sphäre. Für zeitartige Vektoren kommt effektiv nämlich (anscheinend) negative Krümmung raus. Insgesamt ist die Raumzeit zwar positiv gekrümmt, aber keine 4-Sphäre, sondern unendlich ausgedehnt. |
#13
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Zitat:
der "natürliche" Raum (du meinst vermutlich unseren dreidimensionalen Anschauungsraum) hat also eine positive Krümmung und ist wegen dieser positiven Krümmung eine in sich zurückgeschlossene dreidimensionale Sphäre, richtig? Wie kann nun die Raumzeit positiv gekrümmt und trotzdem keine in sich zurückgeschlossene vierdimensionale Sphäre sein? M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#14
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Zitat:
Mir ist noch nicht klar, wie man zur Raumzeitkrümmung kommt. Diese 6 Ebenen sind doch wohl (?) eine Momentaufnahme. Bedarf es dann nicht einer zeitlichen Stapelung, was ich mir bei Zeit-Raum Ebenen noch vorstellen kann. Was aber, wenn die Zeit keine Koordinate ist? Die Kümmung der Raum-Raum-Schnitte ist ja wohl zeitunabhängig? Hm, wenn egal, wie man's bei einem Modell-Universum macht (Schnitt durch Raum-Raum oder Zeit-Raum) immer derselbe Krümmungswert herauskommt, dann sollte das eigentlich heißen, daß man doch keinen Zeit-Stapel braucht. Andererseits verbinde ich den Begriff Raumzeit mit dem Verhalten von zeitartigen Geodäten. Lt. Wikipedia hat die Schnittkrümmung den Wert null (Raum euklidisch), 1/R² (Sphäre mit Radius R) und -1/R² (Raum hyperbolisch). Insofern hatte ich Schnittkrümmung mit Raumkrümmung identifiziert. P.S.By Mark Trodden | April 15, 2012 6:08 am : Pure de Sitter space – the solution to the Einstein equations with a positive cosmological constant and no other matter sources – is, indeed, a maximally symmetric space. There exist a number of particularly useful coordinate choices for this space. In some cases, these consist of picking a useful time choice, and thus defining a family of spacelike surfaces (the spatial part of the spacetime at a constant value of this time choice). This is referred to as a slicing of the space, and it is, actually, possible to slice the space in three different ways that correspond to cosmologically expanding spaces with flat, positively-curved and negatively curved spatial parts, respectively. These are the ways of describing de Sitter space that are useful when considering inflation. However, there also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time at all, and the mere existence of such a choice is enough to tell us that there is no fundamental sense in which this is an expanding cosmological spacetime. In fact, from what I just wrote, you might have a related question: even in the cosmological coordinates, what decides if the universe is flat, positively, or negatively curved? Sind hier mit "spacelike surfaces " die von Dir erwähnten Zeit-Raum-Ebenen (Schnitte) gemeint? Und damit :"... also exists a choice of coordinates in which the metric does not depend on time ?" die Raum-Raum-Ebenen?
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus Ge?ndert von Timm (17.03.13 um 17:46 Uhr) Grund: P.S. |
#15
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Hallo Bauhof,
Zitat:
Man kann in jeder Raumzeit verschiedenste dreidimensionale Räume definieren, da ist die Auswahl fast unbegrenzt. Mit "natürlichem Raum" meine ich das, was ich im Gamsbartbeispiel mit "Normalkoordinaten" bezeichnet habe. Man legt an einem beliebigen Ereignis fest, in welche Richtung die Zeit geht - normalerweise die Vierergeschwindigkeit eines Beobachters -, und der Rest ergibt sich automatisch. Das ist nicht der Raum, der in FRW-Koordinaten benutzt wird; dieser wäre nämlich flach. Zitat:
Ich hab auf die Schnelle dazu noch dieses Paper gefunden, leider nur auf Englisch. Dort wird meine Sichtweise Zitat:
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#16
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Hallo ICH,
Zitat:
Zitat:
Ob nun unser "Anschauungsraum" in Wirklichkeit euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch ist, wissen wir noch nicht, denn z.B. ein in sich zurückgeschlossener sphärischer dreidimensionaler Raum mit einem 4-D-Radius von 13 Milliarden Lichtjahren ist messtechnisch sehr schwer von einem euklidischen Raum zu unterscheiden. Ich wäre dankbar, wenn du zur Beantwortung meiner Frage Zitat:
M.f.G. Eugen Bauhof
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#17
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Hi Bauhof,
Zitat:
Wie auch immer, in der ART kommt dem "Raum" keine spezielle Bedeutung zu, nur der Raumzeit. Den "Raum" kann man sich da fast beliebig reinlegen, das liefert nur unterschiedliche Beschreibungen derselben Sache. Zitat:
Zitat:
Die Formulierung im englischsprachigen Artikel ist dagegen ziemlich genau die, die ich auch gewählt habe - und die mir naturgemäß auch besser gefällt. Mit "sigma" = Wert der Schnittkrümmung: Zitat:
Zitat:
Zitat:
Zitat:
Ge?ndert von Ich (19.03.13 um 20:45 Uhr) |
#18
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Hallo Timm,
Zitat:
Zitat:
Mal mit meinen Worten erklärt, wovon ich zu reden glaube: "Raumkrümmung" (= Riemannsche Krümmmung) wie auch "Schnittkrümmung" beschreiben die Krümmung der Raumzeit lokal an einem einzigen ausgewählten Ereignis. Der Riemanntensor gibt dabei an, wie sich Vektoren beim Verschieben drehen. Die Schnittkümmungen geben an, wie die 6 möglichen - hier aufeinander senkrecht stehenden - Ebenen, die durch dieses Ereignis verlaufen, gekrümmt sind. Die Ebenen werden erzeugt, indem man 2 der 4 orthogonalen Basisvektoren festhält und für alle möglichen Kombinationen der beiden anderen die Geodäten nimmt, die in diese Richtung starten. Beides beinhaltet dieselbe Information, nämlich die Krümmung der Raumzeit an genau diesem Ereignis. Zitat:
Die Schnittkrümmungen der 4D-Raumzeit aber schneiden sich ihren Raum selber heraus, unabhängig von der Koordinatenwahl (du musst nur angeben, welcher Vektor auf allen Ebenen senkrecht stehen soll). In den 3 reinen Raumebenen geben sie dann auch wie oben die Krümmung an. In den 3 gemischten Ebenen sind sie etwas vorsichtiger zu interpretieren. Zitat:
In Zeit-Raum Ebenen gibt es sowohl raumartige als auch zeitartige Abstände (Beispiel: x-t-Ebene des klassischen Raum-Zeit-Diagramms). Zitat:
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#19
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Zitat:
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor Zitat:
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#20
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AW: Raumzeitkrümmung <- Masse <- Gravitationswelle
Hi 'Ich',
Zitat:
Wie ist das nun im Fall Schwarzschild? Wir hatten ja schon gesehen, daß das Vorzeichen der Krümmung der Raumzeit hier von der betrachteten Ebene abhängt. Kann oder muß man hier nicht auch die Schnittkrümmung heran ziehen? Allerdings, hmm, bleibt im Vakuum von den Komponenten des Riemann Tensors nur die Weyl Krümmung übrig. Wie interpretierst Du das?: Hier steht S. 9 Zitat:
Gruß, Timm
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