Frage zur Realitivität der Zeit

[Nils98]

Guten Morgen!

In der Schule haben wir das Zwillings-Paradoxon durchgenommen.
Mir gingen danach einige Fragen durch den Kopf, die unser Lehrer allerdings nicht so recht beantworten konnte.

Ausgangspunkt ist das Zwillings-Paradoxon:
Zwilling A bleibt auf der Erde, Zwilling B begibt sich auf eine Reise und kehrt anschließend zu Zwilling A zurück - Für Zwilling B ist weniger Zeit als für Zwilling A vergangen = Zwilling B ist nach seiner Rückkehr jünger, Zwilling A älter.

Soweit verstanden.

Jetzt zum eigentlichen Problem:

Unser Universum expandiert.
Bei Beginn der Reise von Zwilling B ist das Universum für beide Zwillinge gleich groß. Nach seiner Rückkehr müsste das ja eigentlich auch wieder der Fall sein.

Zunächst: Ist das richtig? (Sonst gäbe es Widersprüche - Oder?)

Falls "Ja":
Dann müssen sich unterschiedliche Expansionsgeschwindigkeiten für Zwilling A und Zwilling B ergeben - Schließlich vergeht für beide unterschiedlich viel Zeit.

Mir stellen sich in dem Fall diverse Fragen - z.B.:

Solange sich die beiden Zwillinge unbeschleunigt relativ zueinander bewegen sehen beide die Uhr des jeweils anderen langsamer laufen - Wie verhält es sich jeweils hinsichtlich der Expansionsgeschwindigkeit unseres Universums, zu welchen Ergebnissen kommen die Zwillinge unabhängig voneinander?

Wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge könnte - Danke!

Viele Grüße
Nils

[Plankton]

Der Thread strotzt nur so vor Informationen zu dem Thema. Mit mehr kann ich nicht behilflich seien.
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=2781

[TomS]

Der andere Thread kann auch verwirren.

Bevor wir das Zwillings-"Paradoxon" im Kontext eines expandierenden Universums diskutieren, solltest du die normale Argumentation verstanden haben. Ich habe dazu einen längeren Beitrag geschrieben, der die wesentlichen Punkte zusammenfasst:

http://www.physikerboard.de/topic,37...paradoxon.html

Wichtig ist folgendes: die beiden Reisenden bewegen sich entlang beliebiger Weltlinie durch eine vierdimensionale Raumzeit. Auf ihren mitgeführten Uhren beobachten bzw. messen Sie ihre Eigenzeiten, die sie am Ende der Reise beim Zusammentreffen vergleichen.

Diese Eigenzeiten haben i.A. nichts mit einer Koordinatenzeit zu tun. Evtl. hat euch euer Lehrer das anhand von Koordinatenzeiten und Lorentztransformationen zwischen beiden Bezugssystemen erklärt. Das ist m.E. eine didaktische Sackgasse, in die du genau jetzt hineinläuftst: für beschleunigte Bewegungen liegen keine Inertialsysteme vor, und demnach kann die Lorentztransformation nicht angewendet werden; in der ART mit einem nicht-statischen Universum funktioniert das sowieso nicht.

Man kann nun natürlich ein Koordinatensystem einführen, bzgl. dessen die Weltlinien der Zwillinge beschrieben werden; die Koordinaten sind dabei z.B. (t, x(t)). Dieses t fällt jedoch mit keiner Eigenzeit der Zwillinge zusammen. Und das x misst nicht unbedingt direkt einen räumlichen Anstand (gerade in der ART). In meinem oben verlinkten Beitrag versuche ich, diese verschiedenen Zeiten (Eigenzeiten tau, tau' sowie Koordinatenzeit t) außeinanderzuhalten.

Die Expansion des Universums wird ebenfalls in einem Koordinatensystem beschrieben! Und zwar mittels eines sogenannten Skalenfaktors a(t), der beschreibt, wie sich Abstände mit der Zeit t verändern. Dieses t ist eine spezielle Zeitkoordinate (andere sind natürlich möglich) und hat zunächst nichts mit einer der beiden Eigenzeiten zu tun. D.h. nach der Rückkehr der Zwillinge zu einem gemeinsamen Ziel liegen drei Zeiten vor: die Koordinatenzeit t sowie die beiden Eigenzeiten der Zwillinge. Alle drei sind i.A. verschieden.!

Normalerweise verwendet man zur Beschreibung der kosmischen Expansion ein sogenanntes mitbewegtes Koordinatensystem, d.h. man denkt sich einen Koordinatenursprung, der kräftefrei im expandierenden Universum "mitschwimmt" (die Lage dieses Ursprungs ist beliebig). Natürlich kann man sich nun einen Beobachter in diesem Koordinatenursprung vorstellen. Für diesen Beobachter würden dann die Koordinatenzeit t sowie seine Eigenzeit zusammenfallen. Dies wäre z.B. der erste Zwilling. Der zweite Zwilling bewegt sich beschleunigt und definiert somit sicher kein derartiges mitbewegtes Koordinatensystem. Entlang seiner Weltlinie vergeht eine andere Eigenzeit.

Eine letzte Anmerkung zur Koordinatenzeit, Expansion und Expansionsgeschwindigkeit: dies sind zunächst mathematische Begriffe, die nicht direkt mit messbaren Größen in Zusammenhang stehen. Betrachtet man jedoch messbare Größen, so ist sichergestellt, dass die beiden Zwilinge - wenn sie sich am selben Raumzeitpunkt aufhalten und die selbe Beobachtung anstellen - die selben Messergebnisse erhalten, oder diese mittels einer Lorentztransformation ineinander umrechnen können (wenn sie sich relativ zueinander bewegen).

[Nils98]

Danke für die vielen Antworten!

Zitat von TomS

Bevor wir das Zwillings-"Paradoxon" im Kontext eines expandierenden Universums diskutieren, solltest du die normale Argumentation verstanden haben.

Jetzt müsste ich wissen, was Du unter normaler und anormaler Argumentation verstehst:
Beide Zwillinge sind beim Start gleich alt, beide sind mit identischen Uhren ausgestattet die beim Start dieselbe Uhrzeit anzeigen.
Kehrt Zwilling B zu Zwilling A zurück ist Zwilling B jünger als Zwilling A und seine Uhr ist langsamer gelaufen.
In allen Fällen sprechen wir von mitgeführten Uhren = Eigenzeiten.

Zitat von TomS

Normalerweise verwendet man zur Beschreibung der kosmischen Expansion ein sogenanntes mitbewegtes Koordinatensystem, d.h. man denkt sich einen Koordinatenursprung, der kräftefrei im expandierenden Universum "mitschwimmt" (die Lage dieses Ursprungs ist beliebig). Natürlich kann man sich nun einen Beobachter in diesem Koordinatenursprung vorstellen. Für diesen Beobachter würden dann die Koordinatenzeit t sowie seine Eigenzeit zusammenfallen. Dies wäre z.B. der erste Zwilling. Der zweite Zwilling bewegt sich beschleunigt und definiert somit sicher kein derartiges mitbewegtes Koordinatensystem. Entlang seiner Weltlinie vergeht eine andere Eigenzeit.

Nachdem wir erst bei der speziellen RT sind hat unser Lehrer es auch so versucht, zu erklären:
Wir stellen uns vor, die Zwillinge wurden seit dem Urknall nicht beschleunigt, d.h. sie schwammen seitdem ruhend in der Raumzeit mit.

Jetzt beschleunigt Zwilling B und kehrt zurück.
Für ihn ist weniger Eigenzeit vergangen: Seine Uhr weicht sowohl von der Uhr von Zwilling A als auch der "stationär" gedachten Koordinatenuhr ab:
Die Uhr von Zwilling A und die Koordinatenuhr laufen identisch.
Würde nun Zwilling A exakt dieselbe Reise unternehmen wie Zwilling B, würden nach seiner Rückkehr die Uhren der beiden Zwillinge wieder übereinstimmen, sie wären wieder gleich alt - Gegenüber der Koordinatenuhr würden beide dieselbe Abweichung feststellen.

Falls das soweit richtig sein sollte: Auf meine oben gestellten Fragen ist noch keiner direkt eingegangen (?).

Viele Grüße
Nils

[TomS]

Zitat von Nils98

Beide Zwillinge sind beim Start gleich alt, beide sind mit identischen Uhren ausgestattet die beim Start dieselbe Uhrzeit anzeigen.
Kehrt Zwilling B zu Zwilling A zurück ist Zwilling B jünger als Zwilling A und seine Uhr ist langsamer gelaufen.
In allen Fällen sprechen wir von mitgeführten Uhren = Eigenzeiten.

Ja.

Zitat von Nils98

Nachdem wir erst bei der speziellen RT sind hat unser Lehrer es auch so versucht, zu erklären:
Wir stellen uns vor, die Zwillinge wurden seit dem Urknall nicht beschleunigt, d.h. sie schwammen seitdem ruhend in der Raumzeit mit.

Jetzt beschleunigt Zwilling B und kehrt zurück.
Für ihn ist weniger Eigenzeit vergangen: Seine Uhr weicht sowohl von der Uhr von Zwilling A als auch der "stationär" gedachten Koordinatenuhr ab:
Die Uhr von Zwilling A und die Koordinatenuhr laufen identisch.

Ja.

Zitat von Nils98

Würde nun Zwilling A exakt dieselbe Reise unternehmen wie Zwilling B, würden nach seiner Rückkehr die Uhren der beiden Zwillinge wieder übereinstimmen, sie wären wieder gleich alt - Gegenüber der Koordinatenuhr würden beide dieselbe Abweichung feststellen.

Im Allgemeinen nicht.

Das Problem ist, dass es sich nicht um dieselbe Reise handeln kann; dies wäre nur in einem statischen Universum möglich.

Betrachten wir die Koordinatenzeiten t = t0, t1, t2 mit T = t1 - t0 = t2 - t1. Bis t0 sind beiden Zwillinge mitbewegt. Zwischen t0 und t1 ist Zwilling A mitbewegt, Zwilling B unternimmt seine Reise, entlang der er mit einer gewissen Geschwindigkeit v(t) unterwegs ist. Anschließend, zwischen t1 und t2 ist Zwilling B mitbewegt, Zwilling A unternimmt seine Reise, wiederum mit einer Geschwindigkeit v(t). Nun ist es jedoch so, dass sich das Universum ausdehnt, und zwar mit einem zeitabhängigen Skalenfaktor a(t), d.h. dass die Reise von B in einer anderen Raumzeit stattfindet als die von A. Außerdem ist gar nicht klar, ob B mit demselben Geschwindigkeitsprofil v(t) innerhalb der selben Zeit T auch wieder exakt zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Zitat von Nils98

Auf meine oben gestellten Fragen ist noch keiner direkt eingegangen.

Auf welche genau?

Ich denke, wir sollten erst mal die grundsätzlichen Probleme dieser Aufgabenstellung verstehen. Ich werde jedenfalls die beiden Reisen mal in Gleichungen fassen, d.h. diese mathematisch präzise zu formulieren. Vorher sehe ich zunächst mal die von mir genannten Probleme als ungelöst an.

[pauli]

Was für eine Schule ist das eigentlich und welche Klasse, in der Zwillingsparadoxon in bezug auf expandierendes Universum durchgenommen wird?

[TomS]

Hallo Nils,

ich habe mir das Problem nochmal angeschaut. In die Berechnung der Zeitdilatation innerhalb eines expandierenden Universums geht die Größe (av)^2 ein, wobei a(t) den Skalenfaktor und v(t) die Geschwindigkeit in mitbewegten Koordinaten bezeichnet. Bei gleichem v(t) werden die Zeitdilatationen für Reisen zu unterschiedlichen Zeiten also unterschiedlich groß sein.

Wenn dich die Rechnung interessiert, dann lass' es mich wissen. Ich stell' die Formeln dann an andere Stelle ein.

[Timm]

Zitat von TomS

Wenn dich die Rechnung interessiert, dann lass' es mich wissen. Ich stell' die Formeln dann an andere Stelle ein.

Diese Rechnung würde mich interessieren, sie kann doch nur auf die Integration der Eigenzeit hinauslaufen, oder?
Wobei die Expansion auf dem Hinweg des Reisezwillings zum Umkehrpunkt seine Peculiargeschwindigkeit "unterstützt" (würde er kurz innehalten und mitbewegt sein, würde er sich ja immer noch vom Startpunkt entfernen), während sie ihr auf dem Rückweg entgegen wirkt.

[Ich]

Es lässt sich eigentlich relativ leicht zeigen, dass der Gangunterschied zwischen bewegten und mitbewegten Uhren ausschließlich auf die Pekuliargeschwindigkeit zurückzuführen ist. Also Integral über \sqrt{1-v^2}.
In diesem Sinne hat Nils98 recht, wenn man zu verschiedenen Zeiten dasselbe Pekuliargeschwindigkeitsprofil durchfliegt, kommt derselbe Gangunterschied raus.
Das beißt sich nicht mit Toms "(av)^2", weil gilt v_pekuliar = a*v_mitbewegt.
Das Beschleunigungsprofil, das man fährt, ist natürlich vom Expansionszustand des Universums abhängig, in diesem Sinne sind die Reisen der beiden Zwillinge also keineswegs gleich.

Und zu Nils' Fragen:

Bei Beginn der Reise von Zwilling B ist das Universum für beide Zwillinge gleich groß. Nach seiner Rückkehr müsste das ja eigentlich auch wieder der Fall sein.

Zunächst: Ist das richtig?

Ja.

Falls "Ja":
Dann müssen sich unterschiedliche Expansionsgeschwindigkeiten für Zwilling A und Zwilling B ergeben - Schließlich vergeht für beide unterschiedlich viel Zeit.

Diese ganze Universumsexpansionsgeschichte gilt nur in einem einzigen Koordinatensystem, sogenannten "mitbewegten" Koordinaten. In anderen Bezugssystemen sieht die Expansion sehr viel komplizierter aus, von daher hat es wenig Sinn, von einer anderen Expansionsgeschwindigkeit zu reden. Aber das Prinzip stimmt: zwischen Anfangs- und Endzustand ist für den bewegten Zwilling weniger Zeit vergangen als für den "mitbewegten" (ruhenden) Zwilling.

Solange sich die beiden Zwillinge unbeschleunigt relativ zueinander bewegen sehen beide die Uhr des jeweils anderen langsamer laufen - Wie verhält es sich jeweils hinsichtlich der Expansionsgeschwindigkeit unseres Universums, zu welchen Ergebnissen kommen die Zwillinge unabhängig voneinander?

Ganz allgemein "läuft" das Universum für den bewegten Zwilling schneller. Das ist kein Widerspruch dazu, dass der andere Zwilling für ihn "langsamer läuft": ersteres gilt für das Universum am Ort des bewegten Zwillings, letzteres für das Universum am Ort des ruhenden Zwillings. Weger der Relativität der Gleichzeitigkeit sind das nicht dieselben Größen.

Darf ich fragen, ist 98 dein Baujahr und ist das 12. Klasse?

[Nils98]

Korrekt: Wir nehmen gerade die spezielle RT durch.

z.B. diese Aufgabe:
Ein Astronaut startet an seinem 31. Geburtstag zu einer Weltraummission.
Er fliegt konstant mit einer Geschwindigkeit von v= 12/13 c.
Bei seiner Rückkehr ist sein Zwillingsbruder 71 Jahre alt.
Wie alt ist bei ihrem Wiedersehen der Astronaut?

(Nach der Expansion unseres Universums hatte ich gefragt - Unser Lehrer hatte seine Antwort "ein paar UE zurückgestellt")

Zitat von JoAx

Nein. Die "Expansionsgeschwindigkeit" ist ein eigenständiges Ding. Es hat mit den (Eigen-) Zeiten von Zwillingen nichts gemein. Und kann somit auch nicht davon abhängen, wie diese ablaufen.

Verstehe ich nicht: Wenn für den einen Zwilling die Zeit schneller und für den anderen langsamer vergeht
dann expandiert für den einen das Universum schneller und für den anderen langsamer - Oder?

Zitat von TomS

Außerdem ist gar nicht klar, ob B mit demselben Geschwindigkeitsprofil v(t) innerhalb der selben Zeit T auch wieder exakt zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Warum nicht?

Zitat von TomS

In die Berechnung der Zeitdilatation innerhalb eines expandierenden Universums geht die Größe (av)^2 ein, wobei a(t) den Skalenfaktor und v(t) die Geschwindigkeit in mitbewegten Koordinaten bezeichnet. Bei gleichem v(t) werden die Zeitdilatationen für Reisen zu unterschiedlichen Zeiten also unterschiedlich groß sein.

Du meinst, wenn beide nacheinander exakt die gleichen Strecken mit den identischen Geschwindigkeiten zurücklegen (So richtig?), dann würden ihre Uhren am Ende unterschiedliche Zeiten anzeigen - Oder?
Kannst Du es evtl. noch anders erklären? Ich verstehe leider fast nur Bahnhof.

Viele Grüße
Nils