Kleines Geometrierätsel

[Lorenzy]

Zitat von Marco Polo

Zudem wird die optische Täuschung durch die etwas dickeren grauen Linien unterstützt. Das ganze Raster ist nämlich gar nicht exakt symmetrisch, gell?

Ja, die dicken Linien vertuschen das wesentliche. Aber das Raster ist symetrisch. Ich hab beide Dreiecke mal mit Photoshop transparent übereinander gelegt. Das Raster stimmt haargenau überein, aber man erkennt die überstehende Linie (grau, habs leider nicht besser hinbekommen) der ca. 180° Ecke.

[Lorenzy]

Ich habs jetzt mit Paint nochmals rekonstruiert. Zeichnet einfach mal zwei 5x13 Raster. Ihr müsst dann nur einmal ein Viereck mit dem blauen Schnittpunkt zeichnen und einmal ein Viereck mit dem roten Schnittpunkt.

Legt man es übereinander erhält man die fehlende/zusätzliche Fläche.

[Marco Polo]

Zitat von Lorenzy

Ich habs jetzt mit Paint nochmals rekonstruiert. Zeichnet einfach mal zwei 5x13 Raster. Ihr müsst dann nur einmal ein Viereck mit dem blauen Schnittpunkt zeichnen und einmal ein Viereck mit dem roten Schnittpunkt.

Legt man es übereinander erhält man die fehlende/zusätzliche Fläche.

Damit scheint bewiesen zu sein, dass es sich um zwei Vierecke mit unterschiedlichen Winkeln zwischen den beiden Dreiecken (blau/rot) handelt.

[MCD]

-Die Kathetenlängen sind bei beiden Dreiecken gleich.

-Die Hypotenuse ist im oberen Dreieck deutlich durchgebogen (also keine Gerade). Kann man einfach sehen, wenn man z.B. ein Lineal daran legt.

-Resultierend ist die Höhe (Abstand Ankathete zu Hypot.) resp. die Gesamtfläche des unteren Dreiecks größer als die des oberen. Den Höhenunterschied kann man ebenfalls mit einem Lineal ausmessen.

-Das Flächenintegral zwischen oberer und unterer Hypotenuse (wie auf Exmod Lorenzys Darstellung prima zu erkennen) ergibt genau die Fläche des Lochs.

-Durch Vertauschung der Farben sowie das z.T. verschwommene und verzerrte Raster im Hintergrund der Farben, fällt nicht/kaum auf, dass das Raster hinter den Farben bei beiden Dreiecken versch. groß (inhomogen) bzw. beim unteren leicht geschrumpft ist und so insg. Platz für ein zus. Quadrat oder Rechteck entsteht.

Oder so ähnlich

Gr.
MCD

[Marco Polo]

Zitat von MCD

-Die Kathetenlängen sind bei beiden Dreiecken gleich.

-Die Hypotenuse ist im oberen Dreieck deutlich durchgebogen (also keine Gerade). Kann man einfach sehen, wenn man z.B. ein Lineal daran legt.

-Resultierend ist die Höhe (Abstand Ankathete zu Hypot.) resp. die Gesamtfläche des unteren Dreiecks größer als die des oberen. Den Höhenunterschied kann man ebenfalls mit einem Lineal ausmessen.

-Das Flächenintegral zwischen oberer und unterer Hypotenuse (wie auf Exmod Lorenzys Darstellung prima zu erkennen) ergibt genau die Fläche des Lochs.

-Durch Vertauschung der Farben sowie das z.T. verschwommene und verzerrte Raster im Hintergrund der Farben, fällt nicht/kaum auf, dass das Raster hinter den Farben bei beiden Dreiecken versch. groß (inhomogen) bzw. beim unteren leicht geschrumpft ist und so insg. Platz für ein zus. Quadrat oder Rechteck entsteht.

Yep, so ist es.

[richy]

Als Test ob ein Fake vorliegt kann man sich fragen :
Haben die beiden Dreiecke in der suggerierten Darstellung die selben Winkel ?
8/3 <> 5/2. Die Winkel sind also leicht unterschiedlich.
So glatt wie es die Grafik sugerriert kann der Sachverhalt also gar nicht sein.

Aber wirkt sich das so krass aus ? Darum geht es wohl.
Die Flaechen von Rechteck A und B sind gleich wenn gilt :
a1*h2=h1*a2
=>
a1/h1=a2/h2

Naja expliziter kann es nicht dastehen :
Denn cot(alpha)=a1/h1=a2/h2
Wenn die Winkel der Dreiecke uebereinstimmen und in einer korrekten
Zeichnung wuerden sie uebereinstimmen waeren auch die Flaechen A und B
gleich.
Das Raetsel ist also tatsaechlich ein Fake. (Schade :-)
Vielleicht soll es zeigen wie sich kleine Ungenauigkeiten auswirken koennen.
Oder Rubrik: Optische Taeuschung.
(Meine Version stellt im selben Fake Raster sehr wohl den selben Sachverhalt dar.)

Zur Probe noch folgende kleine Rechnung :

Berechnen der Flaeche durch Abziehen der Flaeche der Dreiecke:
((a1+a2)*(h1+h2)-(a1*h1)-(a2*h2))/2=

(a1*h1+a1*h2+a2*h1+a2*h2)-(a1*h1)-(a2*h2))/2=
(a1*h2+a2*h1)/2
*************

Das ist formal erstmal nicht das selbige Ergebnis wie Rechteck A oder B
in der Zeichnung. Sondern deren Mittelwert.
Da deren Flaecheninhalt aber gleich ist passt es natuerlich :-)

@Lorency MCD MP
Gute Detektivarbeit ;-)
BTW: Es gibt keine grauen Linien. Diese werden durch die Darstellung im
Webrowser verursacht. Drueckt man im Firefox auf die Lupe hat die Grafik
ein ganz normales Koordinatenraster.

Vielleicht noch eine Fehlerrechnung :
Ein Quadrat der Seitenlaenge 4 besitzt den Flaecheninhalt 16.
Jetzt moechte ich diesen auf den Flaecheninhalt 15 reduzieren.
Die Seitenlaenge muss dann 3.87298335 betragen.
Um dies in einem optischen Fake zu implementieren muss ich die Skalierung um
den Faktor 4 / 3.87298335 = 1.03279556 aendern.
Gerade mal 3%
Vertraue also keinem Geodreieck :-)

[George]

Hallo Zusammen:

Man fügt einfach mal mit einem Bildbearbeitungsprogramm das eine Bild auf das andere und schon sieht man den Trick :



Also: Die Steigung des ursprünglich roten (3/8) und blauen(2/5) Dreieckes ist ungleich. Durch das vertauschen geht der Flächeninhalt des ganzen Dreiecks ein wenig nach außern. Dieser Flächeninhalt ist dann gleich dem ausgelassenen Kasten. Eine genaue Berechnung ist an dieser stelle glaub ich nicht mehr notwendig.

Gruß

[richy]

Den Unterschied der Steigungen 3/8 und 5/8 ist natuerlich gegeben, aber auf den ersten Blick minimal. Und die ganzzahligen Werte sind ja suggeriert und nicht explizit angegeben.
Man koente sich fragen. Stimmt das Ganze prinzipiell doch.Dass die Flaechen nicht gleich sind.
Natuerlich nicht.

Ich meine meine Zeichnung zeigt am besten den Fake.
(In der ist der Fake eingebaut)


Rechteck A und B sind Flaechengleich wenn gilt ;
a1*h2=h1*a2
<=>
a1/h1=a2/h2
Daran gibt es nichts zu ruetteln !

Beide Proportionen repraesentieren den Winkel der Dreiecke.
Und wenn die Dreiecke winkeltreu sind, sind die Flaechen gleich !
Das Ganze ist damit ein Fake

Doof von mir, dass ich das nicht gleich gesehen habe.

Damit scheint bewiesen zu sein, dass es sich um zwei Vierecke mit unterschiedlichen Winkeln zwischen den beiden Dreiecken (blau/rot) handelt.

Das ist auch schon damit bewiesen dass 8/3 ungleich 5/2 ist :-)

[Marco Polo]

Zitat von richy

Das ist auch schon damit bewiesen dass 8/3 ungleich 5/2 ist :-)

Bewiesen scheint auch zu sein, des i a bisserl dusselig bin...

[richy]

Das gemeine an dem Raetsel ist, dass es einfach ein Betrug ist.
Auch die Randbemerkungen sind in gewissem Sinne einfach erlogen.

Ich habe mich fuer eine kurze Zeit tatsaechlich mit der Frage beschaeftigt,
ob die intuitive Loesung, eine Betrachtung ueber Flaecheninhalte vielleicht
einen Fehler aufweisen koennte. Das haette ich selber nicht verstanden.

So hat sich ja aber alles in Wohlgefallen aufgeloest,
Die Gleichung a1/h1=a2/h2 ist gegenueber dem Auszaehlen irgendwelcher unserioes angebrachter Kaestchen natuerlich vorzuziehen.
Die Rechtecke A und B sind flaechengleich wemm die Winkel gleich sind.
Und in der Zeichnung sind sie das nicht.