SRT als Spezialfall der ART

[TomS]

OK, verstanden; ja, das war unpräzise meinerseits

[Timm]

Rindler beschreibt hier S. 236 die radiale Radar Distanz in der Schwarzschild Raumzeit. In flacher Raumzeit erhält man mittels round-trip Zeit die raumartige Eigendistanz. Hat denn die Radar Distanz in der Schwarzschild Raumzeit (weder Eigen Distanz noch Koordinatendistanz) irgend eine Bedeutung?

[Plankton]

Zitat von Ich

Das passt alles nicht.
Wir haben wenigstens eine statische Raumzeit und von daher eine Idee, in welche Richtung Raum und Zeit zeigen sollen. Dann kann man lokal die Koordinatenzeiten und-abstände in Eigenzeiten und -abstände umrechnen. Also:
dT=sqrt(1-rs/r)*dt (Eigenzeit)
dR=1/sqrt(1-rs/r)*dr (Eigenabstand).
Der Punkt ist, dass das Verhältnis von Eigengröße zu Koordinatengröße an jedem Ort anders ist.
Von daher ist es egal, ob ich die Koordinatenzeit dt direkt verwende oder stattdessen die Eigenzeit dT(x) eines statischen Beobachters am Ort x: die Lichtgeschwindigkeit ist in keiner dieser Zeiteinheiten konstant, und aus der Laufzeit ergibt sich nie ein Eigenabstand.
[...]

Was TomS geschrieben hat, stimmt aber so?
Koordinatenzeiten t(ABA) = t(BAB) (Die Zeit des Lichts hin und zurück war das in 2 Fällen.)
Sind die Koordinatenabstände für beide gleich?
+ Wenn ich die Koordinatenzeit *c nehme, komme ich dann direkt zu den "Koordinatenabständen"?

Ist der Eigenabstand für beide gleich?
["Beobachter/Sener stationär. ca. 1 km vor dem EH"] A->B ["Beobachter/Spiegel, weit weg vom SL und auch stationär"]
bzw. B->A

Mein Ausgangsbeispiel mit dem Sender und dem Spiegel war ja anfangs so gedacht, dass der Sender nur anhand seiner Eigenzeit den Abstand berechnen soll, um herauszufinden wo der Spiegel ist. Das ist mit der ART möglich, wenn er zumindest die Masse des SL kennt und wir die "statische Schwarzschild-Raumzeit" haben?

BTW: Also zumindest halte ich mal für mich fest: Einfach *c rechnen, wie in einer flachen Raumzeit mit der SRT, ist in der ART nicht ganz so leicht möglich.

[TomS]

Wir haben eine Gleichung mit vier Variablen Δτ, rA, rB, rS = 2GM/c². Nun sei M bekannt, Δτ wird gemessen, es verbleiben also zwei Unbekannte rA und rB. Ein Beobachter A (oder B) muss zunächst seine eigene Radialkoordinate anderweitig ermitteln, um dann die Radialkoordinate des anderen Beobachters B (oder A) zu bestimmen.

[Ich]

Zitat von Timm

Hat denn die Radar Distanz in der Schwarzschild Raumzeit (weder Eigen Distanz noch Koordinatendistanz) irgend eine Bedeutung?

Radar-Abstand vermengt immer Raum und Zeit, von daher ist das nur in Näherung oder Spezialfällen ein vernünftiges räumliches Abstandsmaß. So ist z.B. der Radarabstand zum Horizont von außen immer unendlich groß, nicht jedoch der mit Maßstäben vermessene Abstand.

Zitat von Plankton

Was TomS geschrieben hat, stimmt aber so?
Koordinatenzeiten t(ABA) = t(BAB) (Die Zeit des Lichts hin und zurück war das in 2 Fällen.)
Sind die Koordinatenabstände für beide gleich?
+ Wenn ich die Koordinatenzeit *c nehme, komme ich dann direkt zu den "Koordinatenabständen"?

Die Koordinatenzeiten und die Koordinatenabstände sind eindeutig, d.h. für beide gleich. Die Koordinatenlichtgeschwindigkeit ist aber nicht c, sondern dr/dt=(1-rs/r)c. Also ist Koordinatenzeit mal c nicht der Koordinatenabstand (und auch nicht der Eigenabstand).

Ist der Eigenabstand für beide gleich?
["Beobachter/Sener stationär. ca. 1 km vor dem EH"] A->B ["Beobachter/Spiegel, weit weg vom SL und auch stationär"]
bzw. B->A

Das ist eine statische Situation, man könnte den Eigenabstand also in aller Ruhe durch Aneinanderlegen von Maßstäben ausmessen. Die Anzahl hineinpassender Meterstäbe ist natürlich auch nicht vom Beobachter abhängig, also für beide gleich.

Mein Ausgangsbeispiel mit dem Sender und dem Spiegel war ja anfangs so gedacht, dass der Sender nur anhand seiner Eigenzeit den Abstand berechnen soll, um herauszufinden wo der Spiegel ist. Das ist mit der ART möglich, wenn er zumindest die Masse des SL kennt und wir die "statische Schwarzschild-Raumzeit" haben?

Wenn ich rs kenne und mein r, dann kann ich aus der Laufzeit exakt auf die Position des Spiegels zurückschließen. Allerdings mit einer komplizierten Formel.

BTW: Also zumindest halte ich mal für mich fest: Einfach *c rechnen, wie in einer flachen Raumzeit mit der SRT, ist in der ART nicht ganz so leicht möglich.

Ja. Selbst wenn man einen vernünftigen Abstand mit Meterstäben ausmessen kann, wird man aufgrund von Zeitdilatation immer eine veränderliche Lichtgeschwindigkeit haben, wenn man die Zeit einer einzigen Uhr zugrundelegt.

[Timm]

Zitat von Plankton

Sind die Koordinatenabstände für beide gleich?
+ Wenn ich die Koordinatenzeit *c nehme, komme ich dann direkt zu den "Koordinatenabständen"?

Ist der Eigenabstand für beide gleich?

Für 2 statische Beobachter ist der Eigenabstand und der Koordinatenabstand jeweils gleich. Sie unterscheiden sich aber, worauf 'Ich' hingewiesen hat:
"Der Punkt ist, dass das Verhältnis von Eigengröße zu Koordinatengröße an jedem Ort anders ist."

Man sieht das anschaulich anhand des Flamm'schen Paraboloids.
Dieses stellt eine Hyperfläche dar, also eine Fläche zu einem festem Zeitpunkt. Daher sind Abstände auf ihr raumartig. Solche Abstände nennt man Eigenabstände. Du kannst dir z.B. den radialen Eigenabstand zwischen 2 Kreisen als Maßstab vorstellen. Den zugehörigen Koordinatenabstand stellst du dir auf der nicht eingezeichneten x-Achse vor (waagrecht). Nun ist klar. daß das Verhältnis Eigenabstand/Koordinatenabstand mit Annäherung an den EH (also nach rechts) zunimmt. Darauf wollte 'Ich' hinweisen.

P.S. ich sehe gerade, daß 'Ich' bereits geantwortet hat.

[Marco Polo]

Zitat von Ich

Wenn ich rs kenne und mein r, dann kann ich aus der Laufzeit exakt auf die Position des Spiegels zurückschließen. Allerdings mit einer komplizierten Formel.

Die da wäre?

Selbst wenn man einen vernünftigen Abstand mit Meterstäben ausmessen kann, wird man aufgrund von Zeitdilatation immer eine veränderliche Lichtgeschwindigkeit haben, wenn man die Zeit einer einzigen Uhr zugrundelegt.

Bezüglich der veränderlichen LG. Was misst ein stationärer Beobachter für die LG, wenn er sich tief im Gravitationstrichter befindet für die LG weitab des Gravitationstrichters, also weiter oben? Tatsächlich ÜLG? Nö, oder? Aber täte mich mal interessieren.

[Nicht von Bedeutung]

Zitat von Marco Polo

Bezüglich der veränderlichen LG. Was misst ein stationärer Beobachter für die LG, wenn er sich tief im Gravitationstrichter befindet für die LG weitab des Gravitationstrichters, also weiter oben? Tatsächlich ÜLG? Nö, oder? Aber täte mich mal interessieren.

Die Lichtgeschwindigkeit wird im Ruhesystem immer als Lichtgeschwindigkeit gemessen -> Invarianz der LG in allen Inertialsystemen.
Das heisst aber nicht, dass die LG grundsätzlich konstant ist, sondern nur, dass Uhren, die für Geschwindigkeitsmessungen nun mal erforderlich sind, evtl. durch Eigenbewegung oder Gravitationsfelder korrumpiert sind.
Ein Beobachter innerhalb eines Gravitationstrichters misst sicher auch für die entfernte LG den selben Wert, wie für die lokale LG, allerdings schätzt er auch Entfernungen bzw. Strecken anders ein. Das ist der Haken an der SRT.
Wenn gar nichts mehr hilft, dann evtl. die Vorstellung, dass nicht Zeit relativ ist, sondern lediglich Zeitmessung. Oder evtl. auch, dass Strecken (in Maßstäben) konservierbar sind, Zeiteinheiten (in Uhren) jedoch nicht.

[Marco Polo]

Zitat von Nicht von Bedeutung

Ein Beobachter innerhalb eines Gravitationstrichters misst sicher auch für die entfernte LG den selben Wert, wie für die lokale LG, allerdings schätzt er auch Entfernungen bzw. Strecken anders ein. Das ist der Haken an der SRT.

Jetzt würfelst du SRT und ART durcheinander. Gravitation und SRT haben nichts miteinander zu tun. Mir ging es eigentlich um so eine Art umgekehrte Shapiro-Verzögerung.

[Nicht von Bedeutung]

Auf den ersten Blick magst du recht haben, aber auf den zweiten nicht...

Die Uhren in einem Gravitationstrichter laufen Aufgrund der Gravitation darin langsamer, aber trotzdem messen sie Lichtgeschwindigkeit nun mal mit Lichtgeschwindigkeit, zumindest solange ihnen keine weiteren Bezugs- oder Inertialsysteme bekannt sind. Dazu ist nur die SRT erforderlich.
Erst wenn sich der Beobachter mit einer Uhr von außerhalb des Gravitationstrichters in diesen hinein fliegt, wird er ÜLG messen. Erst hier wird die ART fällig, wenn er merkt, dass Uhren, die Gravitation ausgesetzt werden, langsamer gehen und deshalb in gleichen angezeigten Zeiträumen mehr Lichtlaufstrecke zählen.