Funktion eines Beobachters

[Quantenmechaniker]

Zitat von Eyk van Bommel

geschrieben, was fälschlicher weise nur für „gebundene“ ETs gilt. Bei ungebunden stellt es den Ort der größten WW dar.

Hallo Eyk,

zurück zum Thema: Durch obiges Zitat meine ich zu verstehen. Du betrachtest das Atom in einem äußeren Feld. Daher die Zweitstärkste WW. Die Stärkste WW ist die Anziehung zwischen Kern und Elektron. Befindet sich das Elektron bereits im 1s-Orbital, ist ist die Lage im Atom ausgeglichen, das Elektron hat keinen Anlass seine Wellenfunktion zu ändern. Gibt es nun aber einen weiteren, äußeren Einfluss, so wird dieser durch ein Feld beschrieben und in diesem Feld verändert die Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons ihre Lage. Habe ich das richtig verstanden? In dem Fall ist es nicht weit von davon entfernt, wie man in der Atomphysik Viel-Teilchen-System berechnet.

Gruß,
Joachim

[Eyk van Bommel]

Zitat von Quantenmechaniker

Hallo Eyk,

zurück zum Thema: Durch obiges Zitat meine ich zu verstehen. Du betrachtest das Atom in einem äußeren Feld. Daher die Zweitstärkste WW. Die Stärkste WW ist die Anziehung zwischen Kern und Elektron. Befindet sich das Elektron bereits im 1s-Orbital, ist ist die Lage im Atom ausgeglichen, das Elektron hat keinen Anlass seine Wellenfunktion zu ändern.

Hmm: Also was ich meine ist das e-, besitzt selbst eine AH. Sieht also aus wie eine Wolke, deren dicht (AH) in der Mitte zunimmt. Nur in der Mitte (~mindest dichte ~HauptAH), kann es seine WW zeigen mit der wir es messen können. Im H-Atom bewegt sich für uns also nur die HauptAH des e-, die selber durch die Wellenfunktion eine AH besitzt.

Gibt es nun aber einen weiteren, äußeren Einfluss, so wird dieser durch ein Feld beschrieben und in diesem Feld verändert die Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons ihre Lage.

Ja so meinte ich es!

[rene]

Das ist die Ladungsdichteverteilung des 1s-Elektrons pro Volumenelement in Abhängigkeit vom Kernabstand. Die Ladungsdichteverteilung des 1s-Elektrons in einem Volumenelement ist in der Nähe des Kerns am grössten, sie wird mit zunehmender Entfernung vom Kern immer kleiner; den Wert Null erreicht die Kurve erst im Unendlichen:



Nun denken wir uns das 1s-Orbital aufgeteilt in viele Kugelschalen von geringer Dicke, die alle konzentrisch um den Atomkern angeordnet sind. Bestimmt man dann in jeder dieser Kugelschalen die Dichteverteilung des Elektrons und trägt sie gegen den Abstand der Kugelschale vom Atomkern auf, dann erhält man die Kurve der Elektronenverteilung:


http://img2.freeimagehosting.net/ima...e75eeaee76.jpg (grössere Darstellung)

Die 2. Kurve hat anders als die 1. in der Nähe des Atomkerns sehr kleine Werte, dann steigt sie rasch zu einem Maximum an und fällt langsam wieder ab, bis sie im Unendlichen den Wert Null erreicht. Aufgrund des 2. Kurvenverlaufs kann man sagen:

In der dem 1s-Elektron entsprechenden Ladungswolke gibt es eine Kugelschale, in der die Elektronendichte grösser ist als in jeder anderen Schale. Das ist der Bohrsche Radius. In Kernnähe ist zwar die Ladungsdichteverteilung des Elektrons pro Volumenelement am grössten, dort ist jedoch das Volumen einer Kugelschale sehr klein, d.h. sie enthält sehr viel weniger Volumenelemente als eine Kugelschale in grösserem Abstand vom Kern. Auf diese Weise ergibt sich ein Maximum für einen Kugelradius, bei dem die Kugelschale eine genügend grosse Zahl von Volumenelementen enthält und jedes dieser Volumenelemente noch eine ziemlich grosse Dichteverteilung des Elektrons aufweist.

Grüsse, rene

[Eyk van Bommel]

Zitat von rene

den Wert Null erreicht die Kurve erst im Unendlichen:

Und jetzt stell dir vor das e- trifft auf sie Sonne! Die ist nicht annähernd “im Unendlichen”! Wenn es dort WW, wandert das ganze s-Orbital (die AH) zur Sonne und nimmt den Atomkern als folge einfach mit! Einfache Version (!) und natürlich etwas drastischer ausgedrückt, aber genau dies ist Gravitation!

[Quantenmechaniker]

Zitat von rene

In der dem 1s-Elektron entsprechenden Ladungswolke gibt es eine Kugelschale, in der die Elektronendichte grösser ist als in jeder anderen Schale.

Entschuldige, aber das wird auch durch Wiederholung nicht richtig. Was du hier darstellst ist nicht die Elektronendichte, die ist proportional zur Ladungsdichte. (wo soll die Ladung sonst herkommen?) Du stellst eine Wahrscheinlichkeit pro Abstand dar. Diese Kurve gibt an, welcher Abstand welche Wahrscheinlichkeit aufweist. Da es nun aber (r_1^2/r_2^2) mehr Punkte im Abstand r_1 gibt als im Abstand r_2, stellt die Kurve auch nur die Elektronendichte mal 4pi r^2 dar und nicht die Elektronendichte selbst.

Es ist wie gesagt, ein häufiger Fehler zum Beispiel in Diplomprüfungen zur Atomphysik, den Wahrscheinlichsten Radius (r_b) mit dem Wahrscheinlichsten Ort (r=0) zu verwechseln.

Gruß,
Joachim

P.S: An dem Ersten Graphen steht doch sogar das richtige: "Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumenelement"

[Eyk van Bommel]

Zitat von rene

Das ist die Ladungsdichteverteilung des 1s-Elektrons pro Volumenelement in Abhängigkeit vom Kernabstand. Die Ladungsdichteverteilung des 1s-Elektrons in einem Volumenelement ist in der Nähe des Kerns am grössten, sie wird mit zunehmender Entfernung vom Kern immer kleiner

Die Ladungsdichteverteilung des 1s-Elektrons in einem Volumenelement ist in der Nähe des Kerns am grössten,

Und jetzt stelle dir vor die Ladungsdichteverteilung, hat “nichts” mit der eigentlichen AH des e- zutun sondern beschreibt eine“ ET-Dichteabhängigen” Funktion der EM-WW. Das bedeutet je dichter die AH des e-, desto wahrscheinlicher ist eine Wechselwirkung über die EM-WW. Die Schwache und Starke WW sind ähnliche ET-dichteabhängige Funktionen von WW.

Anders als bei der Ladungsdichteverteilung nimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte des ET mit r^2 ab. Könntest du in die erste Kurve eine r^2 abhängige Abnahme der AH noch dazu machen?

[rene]

Es ist klar, dass die Elektronendichte mit der Ladungsdichte proportional ist und ihr Maximum im Kern hat.

Ich frage mich nun, wie der energetisch ungünstige Fall eines Elektrons in Kernnähe - trotz maximaler Ladungsdichte - die Wahrscheinlichkeit seines grössten Aufenthaltsorts repräsentieren soll. Dazu eine einfache quantenmechanische Rechnung, die von der Unschärferelation ausgeht und das Plancksche Wirkungsquant mit der kinetischen Energie verknüpft:

E = h²/2ma² - e²/a mit a=Abstand, e=elektr. Elementarladung

Durch Differentation und Gleichsetzung mit Null wird a mit 0.528 Ångström aufgelöst.

dE/da=-h²/ma³+e²/a²

Dort beim Bohrschen Radius findet das Elektron sein Energieminimum und demzufolge seine grösste Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Erst die Unbestimmtheit lässt das Elektron den Energiezustand "spüren" und dem Universalgesetz des geringsten Energiezustandes folgen.

Mit anderen Worten hindert die Unschärfe das Elektron daran, den Zustand grösster Ladungsdichte im Kern anzunehmen. Wäre ja auch mehr als nur eigenartig, sich das Elektron vorwiegend im Kern vorzustellen.

Grüsse, rene

[Eyk van Bommel]

Zitat von rene

Es ist klar, dass die Elektronendichte mit der Ladungsdichte proportional ist und ihr Maximum im Kern hat.

Aber dass ist doch, des Pudels Kern! Nicht die Elektronendichte ist proportional sondern seine Hauptaufenthaltswahrscheinlichkeit! (HauptAH)! Außerhalb der Ladungsdichte kann es aber nicht als geladenes Teilchen WW (da seine „Dichte“/Energiedichte nicht mehr für diese WW ausreicht) sondern nur noch mit andern HauptAH WW kann. Wir würden es nur noch als gravitative Kraft messen können! Die Energie des e- ist jedoch so gering, dass es praktisch kaum aus dem Bereich heraus kommt indem es nicht mehr über seine Ladung WW kann!(= geringe Masse) das sieht bei Protonen anders aus(=besitzen mehr Energie)! Die können deutlich weiter aus den Bereich der LadungsWW heraus kommen, und wirken daher stärker gravitativ! Du musst die Grundkräfte abhängig von der Energiedichte/AH des Teilchen sehen!
Wenn du die 3. GrundWW von der Teilchendichte/Wahrscheinlichkeitsdichte abhängig machst, dann siehst du, das je höher die Energie des Teilchen wird nur die gravitative Wirkung zunimmt!

Bei deiner ersten Grafik, würde bei steigender Energie des ET der Anfangspunkt immer höher auf der y-Achse beginnen! Damit würden die gravitative WW und damit auch die Masse steigen!

[rene]

Zitat von Eyk van Bommel

Aber dass ist doch, des Pudels Kern! Nicht die Elektronendichte ist proportional sondern seine Hauptaufenthaltswahrscheinlichkeit! (HauptAH)! Außerhalb der Ladungsdichte kann es aber nicht als geladenes Teilchen WW (da seine „Dichte“/Energiedichte nicht mehr für diese WW ausreicht) sondern nur noch mit andern HauptAH WW kann. Wir würden es nur noch als gravitative Kraft messen können...

Die Gravitation können wir glaube ich zur Standortbestimmung eines nicht angeregten 1s-Orbitalelektrons ausschliessen. Beschränken wir uns stattdessen doch lieber auf das Wesentliche:
Wir haben auf der einen Seite die Coulomb-Kraft, die das Elektron zu sich an den Kern zieht und dort seine Ladungs/Elektronendichte maximiert (nach der klassischen Elektrophysik müsste dabei das Elektron unter Abgabe elektromagnetischer Schwingungsenergie zerstrahlen). Nun wissen wir aber alle ganz genau, dass dies eben nicht der Fall ist. Und weshalb wohl nicht? Genau, jetzt kommt die berüchtigte Unschärferelation ins Spiel, die alles ein bisschen anders und vor allem komplizierter macht.

Die Erhöhung der kinetischen Energie (durch die Coulomb-Kraft) führt zu einer überverhältnismässigen Impulserhöhung durch die Unschärferelation, so dass sich das lokale Energieminimum im Abstand zum Bohrschen Radius befindet. D.h. dass sich das Elektron vorzugsweise dort aufhält wo man es auch erwartet: im lokalen Energieminimum. Jede Abweichung davon erfordert einen Energiebetrag, der die Wahrscheinlichkeit sich dort aufzuhalten verringert.

Jetzt mal im Ernst: Glaubst du tatsächlich, dass das Elektron fast die ganze Zeit hindurch in der Kernzone herumlungert und das Proton "belästigt"? Die Wahrscheinlichkeit dafür kannst du dir ja nochmal in meiner Tabelle anschauen.

Grüsse, rene

[Quantenmechaniker]

Zitat von rene

Es ist klar, dass die Elektronendichte mit der Ladungsdichte proportional ist und ihr Maximum im Kern hat.

Richtig, aber warum bezeichnest du das im nächsten Satz als ungünstigen Fall:

Zitat von rene

Ich frage mich nun, wie der energetisch ungünstige Fall eines Elektrons in Kernnähe - trotz maximaler Ladungsdichte - die Wahrscheinlichkeit seines grössten Aufenthaltsorts repräsentieren soll. Dazu eine einfache quantenmechanische Rechnung, die von der Unschärferelation ausgeht und das Plancksche Wirkungsquant mit der kinetischen Energie verknüpft:

E = h²/2ma² - e²/a mit a=Abstand, e=elektr. Elementarladung

Wie kommst du auf den mit 1/a^2 abstoßenden Term? Die Schrödingergleichung ist eine Eigenwertgleichung:

(p^2/2m-e^2/r) Psi(r)= E Psi(r)

Das heißt, die Energie E ist für jeden Vektor r gleich. Das ist ganz Analog zu den klassischen Kepplerbahnen. Ein Planet, der um die Sonne kreist hat überall die selbe Energie. Im sonnennächsten Punkt ist die kinetische Energie maximal, im sonnenfernsten ist die potentielle Energie maximal. Die Summe ist überall gleich. Energie ist erhalten. So ist es auch bei der Elektronenwellenfunktion: Für große |r| ist die potentielle Energie groß, für r=0 ist die kinetische Energie Maximal, aber das Potential minimal. Auch hier kann die Gesamtenergie nicht davon abhängen, wo man das Elektron gerade antrifft.

Im klassischen Fall würde ein Teilchen ohne Drehimpuls einfach am Kern kleben. Je näher desto besser. In der Quantenmechanik muss man bedenken, dass der Operator für die kinetische Energie (p^2/2m) um so grössere Werte gibt, je grösser die Krümmung der Wellenfunktion ist, deshalb kann die Welle nicht beliebig komprimiert werden. Unter den Randbedingungen ergibt sich dann aus der Eigenwertgleichung eine Wellenfunktion, die für jeden Punkt die gleiche Energie ergibt

Zitat von rene

Dort beim Bohrschen Radius findet das Elektron sein Energieminimum und demzufolge seine grösste Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Erst die Unbestimmtheit lässt das Elektron den Energiezustand "spüren" und dem Universalgesetz des geringsten Energiezustandes folgen.

Mit anderen Worten hindert die Unschärfe das Elektron daran, den Zustand grösster Ladungsdichte im Kern anzunehmen. Wäre ja auch mehr als nur eigenartig, sich das Elektron vorwiegend im Kern vorzustellen.

Aber die Amplitude der Wellenfunktion ist am Kern am grössten. Rechne das doch gerne mal durch. Das kann man doch nicht leugnen. Selbstverständlich heißt das nicht, dass das Elektron meistens im Kern ist. Der Kern hat halt eine sehr viel kompaktere Wellenfunktion als das Elektron (die Masse steht bei der kinetischen Energie im Nenner). Dennoch ist der Mittelpunkt der Ort mit der grössten Wahrscheinlichkeitsdichte.

Potentialminima bei bestimmten Radien gibt es bei höheren Orbitalen (p,d,f,...) dort kommt ein Term durch die Zentrifugalkraft hinzu und man erhält die "Donut-Orbitale".



Gruß,
Joachim