Math - Gauss Approximation

[richy]

Hi Jogi
Doch hab ich gelesen. Aber ich koennte dir da auch nur die entsprechenden Seiten eines pdf's zu Heim zeigen.Meines Wissens gibt es bei Heim auch verschiedene Formen von Gravitationsfeldern. Und es gibt auch ein G-Feld mit einer Ausbreitungsgechwindigkeit groesser Co. Und so wie es aussieht haben Gravitonen nach Heim eine Ruhemasse. Wenn auch eine geringe.
Wobei dies ncht auf einer offiziellen Berechnung beruht.
Ich antworte dir noch, bin aber momentan an der Gauss Approximation dran und hab da einen Erfolg.
ciao

[richy]

Sodele
Die Fib-Reihen Approximation funktioniert. Und zwar in allen Varianten.
Zur Erinnerung nochmals die Loesung der Fib DZGL, die die Fibonacci Zahlen geschlossen darstellt :


Der Term A laesst sich ueber C0=1/2(sqrt(5)+1) C1=-1 kompensieren.
Dies habe ich modifizierte Fib Folge genannt. Fib_mod
Es laesst sich aber auch mit der gewoehnlichen Fib Folge approximieren.
Allerdings ist die Rechenzeit dann hoeher.

Nochmals einige wichtige Punkte :

- Die Fibfolgen fib(k*x) sind nicht orthogonal
- Die original Fibfolgen stellen monoton wachsende Funktionen dar
- Die modifizierten Fibfolgen stellen monoton fallende Funktionen dar
- Alle Funktionen sind fuer unganzzahlige Werte komplex.
Wie es auch diese Grafik zeigt :


Der dabei auftretende Term exp(j*k*t) stellt zwar die orthogonale Basis der Fouriertransformation dar, aber macht wenig Sinn fuer die Analyse reeler Zahlenfolgen.

Dies ist ueber folgende zwei Schritte moeglich :

1) Formulieren einer nichtkomplexwertigen Fibfunktion Fib_re, die fuer ganzzahlige Werte mit der original Fib Funktion Fib uebereinstimmt.
2) Ueber fib(k*x) koennen nur monoton wachsende Funktionen approximiert werden.
Trick um diese Einschraenkung zu beseitigen :
Man verwendet als Synthesefunktion
a[(k-M)]*fib((k-M)*x)+....a[-1]*fib((k-1)*x)+a[0]*fib(x))+a[1]*f((k+1)*x)...+a[(k+M)]*fib((k+M)*x)

Ueber diese Summe koennen nun beliebige Funktionen einer Fib Reihenanalyse in einem Intervall [alpha..beta] unterzogen werden.
Guenstige Grenzen sind zum Beispiel [-5..5] oder [0..10] bei einer Ordnung von 11. (Dazu ist eine 11*11 Matrix zu loesen)
Fuer noch hoehere Ordnungenmuss man die Rechengenauigkeit auf 20-30 Digits erhoehen.

Fuer exponential steigende fallende Funktionen gelingt die Analyse besonders gut. Fuer Periodische Funktionen natuerlich am schlechtesten.

Varianten:
a) Vermeiden eines Imaginaerteiles durch Realteilbildung
b) Vermeiden eines Imaginaerteiles durch Betragsbildung

Ueber beide Varianten laesst sich eine exakte Funktion der Fib Zahlenangeben.

Hier zunaechst ein Beispiel-Ergebnis

Funktion und Approximation :


Fib_Spektrum


Funktion und Approximation :


Fib_Spektrum


Damit koennte man schon versuchen die Fib Wellen in Aktienkursen zu detektieren.
Ich moechte aber zunaechst noch die Varianten weiter untersuchen
Das Ganze ich im Grunde eine exp(k*x) Approximation.
Der Sinus oben ist aus reellen Exponentialfolgen zusammengesetzt.
Auch ohne den Fib Aspekt interessant.

[richy]

Zwischenergebnis :

Die Formel von Binet stellt die Fibonaccifunktion dar :

Fuer nichtganzzahlige Argumente wird die Funktion komplex.
Term A,B,C zeigen dies fuer beliebige Anfangswerte.

Eine relle Funktion erhaelt man ueber
Realteilbildung : fib=A+B
Betragsbildung : fib=sqrt( (A+B)^2 + C^2)

Fuer ganzzahlige Werte erhaelt man ebenfalls exakt die Fibonaccizahlen.
Bei der Betragsbildung jedoch nur deren Betrag.



re_teill:=(2/5*5^(1/2)*exp(x*ln(2/(5^(1/2)+1)))*cos(x*Pi)/(5^(1/2)+1)-2/5*5^(1/2)/(-5^(1/2)+1)*(-2/(-5^(1/2)+1))^x);

im_teil:=2/5*5^(1/2)*exp(x*ln(2/(5^(1/2)+1)))*sin(x*Pi)/(5^(1/2)+1);

abs_teil:=sqrt(re_teil^2+im_teil^2);



Der Realteil ist formal einfacher, stellt im negativen Bereich jedoch eine exponentiell gedaempfte harmonische Schwingung dar. Dafuer stimmt das Vorzeichen.
Welche Funktion geeigneter ist moechte ich im naechsten Thread untersuchen.

[richy]

Problematik :
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a) Die Fib Zahlen oszillieren fuer negative Argumente zwischen positiven und negativen Werten.
Benutzt man den Betrag der Fib Zahlen, so geht diese Eigenschaft verloren.

b) Verwendet man die komplette Fib Funktion A+B+C, so erhaelt man sehr unhandliche Integrale.

c) Bildet man lediglich den Realteil der Fib-Funktion, so kann das Residuum Null betragen und Maple dieses teilweise numerisch nicht mehr auswerten.

Loesung fuer c)
Da eine analytische Loesung der Integrale keinen Vorteil bringt (nichtorthogonale Funktionalbasis) und die numerische Loesung der Maple Routinen teilweise fehlerhaft ist, benutzt man am besten eine eigene numerische Integrationsroutine.
Analytische Signale tatstet man dazu einfach ab.

Morgen mehr dazu :-)

[richy]

Hi
Vielleicht noch als Zwischenergebnis :
Zur Verarbeitung von Messdaten als Analysefunktion muss auf jeden Fall einen numerische Integration verwendet werden.
Dazu muss man die Synthesefunktion geeignet Skalieren.
Dieses Problem konnte ich bisher nicht befriedegend loesen.
Auch sind die Rechenzeiten recht erheblich.

Besonders gespannt war ich auf das Verhalten einer nichtlinearen Approximation. Bei der Methode der kleinsten Quadrate kann die Synthesefunktionvon beliebigen Parametern abhaengen.
So habe ich z.B. auch eine Funktion der Form
a[(k-M)]*fib((k-M)*x/a0) .... verwendet.
Wobei der Parameter a0 ebenfalls ueber Gauss approximiert wird.
Eine numerische Integration ist in dem Fall nicht mehr moeglich.
Und die Ergebnisse waren leider enttaeschend.
Schade :-)