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  #21  
Alt 28.05.07, 03:05
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beitr?ge: 529
Standard AW: Formel(n)erkennung

Weil ich nun gerade dabei bin (Nachts, wenn andere schlafen, habe ich meine beste Zeit dafür), soll abschliessend die Kettenlinie (Katenoide) untersucht werden.

Man hänge eine Kette an ihren Ende so auf, dass ein deutlicher Durchhang resultiert. Die Enden seien auf gleicher Höhe befestigt. Welche Kurve beschreibt die infolge ihres Eigengewichtes durchhängende Kette?

Galilei war noch der Überzeugung, dass es sich um eine Parabel handeln müsse. Was aber nicht richtig ist, wie Huygens im jungen Alter von 17 Jahren (!) zeigen konnte. Eine Normalparabel (Polynom 2. Grades) ist lediglich eine Näherungsfunktion an die gesuchte Kurve.

Gelöst wurde das Problem - wie konnte es auch anders sein - im Jahre 1690 durch Leibniz, Huygens und Joh. Bernoulli. Die Mächtigkeit des neuen Calculus (Differentialrechnung) zeitigte bereits erste Früchte, indem ansonsten unmöglich gewesene Aufgabenstellungen nun rasch und meist erfolgreich gelöst wurden.


Skizze von Leibniz

Leibniz - Universalgelehrter wie er war - bemühte sich 1679 um die Verbesserung des Transportes im Harzer Bergbau durch verbesserte Förderketten. Es ist gut möglich, dass er dadurch zur Beschäftigung mit der Kettenlinie angeregt wurde. Auf den Bergbau im Harz hatte dies leider keine nachhaltigen Auswirkungen.

Es war zudem bewusst, dass die Kettenlinie in erster Linie nicht vom Gewicht der Kette, wohl aber von deren Länge abhing. Solches natürlich im Rahmen der zulässigen Zugfestigkeit der einzelnen Kettenglieder und unter der Voraussetzung, dass die Massenverteilung gleichmässig verlaufe und keine Biegemomente auftreten.

Die Kraft verändert sich in y-Richtung proportional zur durchlaufenen Kettenlänge s:

K(y) = c + q * s

Faktor q := Gewicht/Länge; c ist eine Konstante.

Weil nun Kraftrichtung und Kettenlinie dieselbe Steigung besitzen, ergibt sich als 1. Ableitung:

y'(x) = (c + q * s)/d

Als 2. Ableitung erhält man schliesslich:

y''(x) = k * sqrt(1 + y' * x^2)

Diejenige Stammfunktion (...horum integralia aequantur), welche obiger DGL gerecht wird, lautet dann:

y(x) = (1/a) cosh(a(x + b)) + c

Seilparameter a := H/q

Es führen bekanntlich viele Wege nach Rom, so dass obige Herleitung nicht die alleinig Seligmachende sein kann.

Obwohl die Kettenlinie keine Parabel ist, sollte man wissen, dass ein Seil unter konstanter Linienlast (z.B. bei nur schwachem Durchhang) näherungsweise die Form einer quadratischen Parabel annimmt - somit eine Funktion des Typs:

y(x) = (1/2)a * x^2 + bx + c

Die Tragseile von Hängebrücken besitzen diesen Verlauf.

Die Kettenlinie ist in der Statik auch deswegen bedeutsam, weil eine auf den Kopf gestellte Katenoide der Stützlinie eines freitragenden scherkräftefreien Bogens folgt. Nach diesem Vorbild wurde bspw. der "Gateway Arch" in St. Louis konstruiert.

Dazu der "grauen Zellen" wegen ein paar einfache Aufgaben:

1) Zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten sei ein Seil befestigt. Die Spannweite betrage 10 m.

a) In welcher Höhe ist das Seil befestigt, wenn es am tiefsten Punkt 3 m über Boden verlaufen soll.

b) Wie gross ist der Durchhang (nur Eigengewicht wirksam)?

2) Eine Kette sei zwischen zwei Pfeilern befestigt. Spannweite 5 m. Ein einzelnes Kettenglied habe eine Länge von 1 cm. Wieviele Glieder sind insgesamt nötig?

3) Der Durchhang eines Tragseiles betrage 1 m (Seilenden auf gleicher Montagehöhe). Wie lang ist das Seil?

Gr. zg

Ge?ndert von zeitgenosse (29.05.07 um 10:34 Uhr)
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