Unendlichkeit

[Jakito]

Zitat von Eyk van Bommel

Ich möchte zum Themenbereich zunächst auf die Videobeiträge von Prof. Weitz verweisen Alle Videos / Edmund Weitz. Ich kenne niemanden der mathematische Themen, zu Pi, Unendlichkeiten, Zahlen/Mengen klarer/besser darstellt.

Nachdem ich dort dieses Video
2013-12-20 Goodstein-Folgen (Weihnachtsvorlesung 2013, Teil 2 von 2) [HAW] X
gefunden habe, entstand bei mir die Lust, noch eine weitere Antwort zu geben auf:

Zitat von Jakito

Die Frage wäre vielleicht, ob es auch mehr als eine Art gibt, in der etwas endlich sein kann.

Die Zahl g_i(4) mit i:=3 . 2^402.653.209, also die i-te Zahl in der Goldstein-Folge zum Startwert 4, ist zwar endlich, und auch gut endlich beschreibbar. Aber weil i so gewählt ist, dass gilt g_i(4) = max_b (g_b(4)), ist es auch die 4-te Zahl in der Folge G(n) := max_b (g_b(n)). Dies ist zwar eine Folge natürlicher Zahlen, aber um das zu beweisen, muss man die Wohlordnung von \epsilon_0 vorraussetzen. Und diese Wohlordnung lässt sich nicht in der Peano Arithmetik beweisen. Diese Wohlordnung ist zwar wahr, und zwar genauso wahr wie die Konsistenz der Peano Arithmetik, aber "absolut" beweisbar sind beide nicht.

Zitat von antaris

Ok per mathematische Definition.
Man kann die Zahl sqrt(2) geometrisch konstruieren. Ist schwierig in Genauigkeiten der Planck-Skala die Zeichnung zu erstellen aber undenkbar ist es nicht. Warum aber sollte sqrt(2) unendlich sein, wenn man sie theoretisch exakt und endlich bestimmen kann? Wozu sollte sie genauer bestimmt werden, als wie sie konstruiert werden kann, selbst wenn eine genauere Bestimmung mittels Berechnung möglich wäre?
Es ist egal ob ich 1 m oder sqrt(2) m abmessen will. Beide haben an der Planck-Skala ihre maximale Genauigkeit.

Ursprünglich fand ich noch die Idee ganz nett, statt sqrt(2) eine Lösung von x^5 + 4 x^4 =1 zu betrachten. Irgendwie dachte ich, es wäre "schwer", aus den "Lösungen" x?-3.99608, x?-0.744465, x?0.030325 - 0.702483 i, x?0.030325 + 0.702483 i, und x?0.679894 eine bestimmte auszuwählen. Ist es aber nicht, man kann ja z.B. x?-0.744465 einfach durch die Forderung -0.8 < x < -0.6 auswählen. Und diese Art der Auswahl klappt immer.

[antaris]

Zitat von Jakito

Die Zahl g_i(4) mit i:=3 . 2^402.653.209, also die i-te Zahl in der Goldstein-Folge zum Startwert 4, ist zwar endlich, und auch gut endlich beschreibbar. Aber weil i so gewählt ist, dass gilt g_i(4) = max_b (g_b(4)), ist es auch die 4-te Zahl in der Folge G(n) := max_b (g_b(n)). Dies ist zwar eine Folge natürlicher Zahlen, aber um das zu beweisen, muss man die Wohlordnung von \epsilon_0 vorraussetzen. Und diese Wohlordnung lässt sich nicht in der Peano Arithmetik beweisen. Diese Wohlordnung ist zwar wahr, und zwar genauso wahr wie die Konsistenz der Peano Arithmetik, aber "absolut" beweisbar sind beide nicht.

Oha mir wird etwas schwindlig. Ich hatte doch extra die Plauderecke ausgewählt.
Ich habe bei Wikipedia herausgelesen, dass 3*2^402.653.209 das Maximum der Folge ist, diese dann wieder auf 0 abfällt und die Schritte dazwischen eine Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist. Leider aber nicht viel mehr.
Klicke ich mich durch die Begriffe, wird es wieder eher schlechter.

Ursprünglich fand ich noch die Idee ganz nett, statt sqrt(2) eine Lösung von x^5 + 4 x^4 =1 zu betrachten. Irgendwie dachte ich, es wäre "schwer", aus den "Lösungen" x?-3.99608, x?-0.744465, x?0.030325 - 0.702483 i, x?0.030325 + 0.702483 i, und x?0.679894 eine bestimmte auszuwählen. Ist es aber nicht, man kann ja z.B. x?-0.744465 einfach durch die Forderung -0.8 < x < -0.6 auswählen. Und diese Art der Auswahl klappt immer.

Gut für mich, dass die Wahl auf sqrt(2) gefallen ist.
Wie kommt die Forderung -0.8 < x < -0.6 zustande, ohne vorher zu rechnen?
Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

[antaris]

Zitat von antaris

Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

Auf folgender Seite kann man Gleichungen lösen und die genauen Gleichungen, nach X umgestellt, anzeigen lassen. Ich denke das wäre wohl zu aufwändig hier im Forum um das durchzurechnen. Allein schon weil man hier nicht übersichtlich Gleichungen schreiben kann.
https://www.wolframalpha.com/widgets...94d298e97c00c5

Dabei ist die Gleichung selbst so unscheinbar.
Alle Lösungen sind also unendlich in den Nachkommastellen?

[Jakito]

Zitat von antaris

Auf folgender Seite kann man Gleichungen lösen und die genauen Gleichungen, nach X umgestellt, anzeigen lassen. Ich denke das wäre wohl zu aufwändig hier im Forum um das durchzurechnen. ...

Dabei ist die Gleichung selbst so unscheinbar.
Alle Lösungen sind also unendlich in den Nachkommastellen?

Das mit dem Durchrechnen klappt so nicht, zumindest nicht in symbolischer Form. Numerisch lassen sich aber robust und genau die Lösungen berechnen. Die Gleichung ist also fast so unscheinbar, wie sie aussieht.

Zitat von antaris

Wie kommt die Forderung -0.8 < x < -0.6 zustande, ohne vorher zu rechnen?
Wie berechnet man die beiden Lösungen mit den komplexen Zahlen?

Die Forderung entsteht, indem man zuerst "numerisch" rechnet, und dann ein hinreichend kleines Interval auswählt, in dem nur eine einzige Lösung liegt.
Generell kann man alle Lösungen solcher Gleichungen tatsächlich "auch" mit dem Newtonverfahren berechnen (mit hinreichend vielen komplexen Startwerten), ist aber wohl nicht die effizienteste Lösungsmethode. Sturm'sche Ketten werden gerne verwendet, aber frag mich lieber nicht nach den Details.

Zitat von antaris

Ich habe bei Wikipedia herausgelesen, dass 3*2^402.653.209 das Maximum der Folge ist, diese dann wieder auf 0 abfällt und die Schritte dazwischen eine Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist. Leider aber nicht viel mehr.

Stimmt, 3*2^402.653.209 ist tatsächlich das Maximum der Folge. Ich dachte, das Maximum wäre viel grösser. Die Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist schlicht 3*2^402.653.209 (weil 400 Millionen / 3,3219 ~= 120 Millionen mit 3,3219... = log_2(10)).

[antaris]

Zitat von Jakito

Das mit dem Durchrechnen klappt so nicht, zumindest nicht in symbolischer Form. Numerisch lassen sich aber robust und genau die Lösungen berechnen. Die Gleichung ist also fast so unscheinbar, wie sie aussieht.

Fast unscheinbar aber nur wenn man weiß wovon man redet.
Numerisch bedeutet man nähert sich mittels Berechnung am Computer schrittweise der bzw. den Lösungen an?

Die Forderung entsteht, indem man zuerst "numerisch" rechnet, und dann ein hinreichend kleines Interval auswählt, in dem nur eine einzige Lösung liegt.
Generell kann man alle Lösungen solcher Gleichungen tatsächlich "auch" mit dem Newtonverfahren berechnen (mit hinreichend vielen komplexen Startwerten), ist aber wohl nicht die effizienteste Lösungsmethode. Sturm'sche Ketten werden gerne verwendet, aber frag mich lieber nicht nach den Details.

Die genaue Lösung auf der oben genannten Webseite, scheint auch via Ketten berechnet zu sein.

Stimmt, 3*2^402.653.209 ist tatsächlich das Maximum der Folge. Ich dachte, das Maximum wäre viel grösser. Die Zahl mit 121*Millionen Dezimalstellen ist schlicht 3*2^402.653.209 (weil 400 Millionen / 3,3219 ~= 120 Millionen mit 3,3219... = log_2(10)).

Zahlen und Mathematik sind schon sehr faszinierend. Ist schon fast eine Kunst sowas zu können und macht mich demütig. Vielleicht im nächsten Leben.


Aber eine Frage. Deine Beispiele sind rein mathematisch oder sind diese auch so in der Natur, in der praktischen Anwendung zu finden? Dass Reihenentwicklungen und Polynome in den Naturwissenschaften Anwendungen haben weiß ich. Ich meine gerade die Wahl deiner Beispiele bzw. Gleichungen/Ergebnisse ist ja nicht "einfach so" gefallen.


Nebeneffekt war gestern Abend, dass ich mir seit ein paar Monate wieder mit den komplexen Zahlen beschäftigt habe. Immer wieder verrückt, wie einem dann doch nach längerem "drüber schlafen", die Thematik oft einfacher vorkommt. So "hangel" ich mich irgendwie immer durch die verschiedenen Themen.

[Jakito]

Zitat von antaris

Aber eine Frage. Deine Beispiele sind rein mathematisch oder sind diese auch so in der Natur, in der praktischen Anwendung zu finden? Dass Reihenentwicklungen und Polynome in den Naturwissenschaften Anwendungen haben weiß ich. Ich meine gerade die Wahl deiner Beispiele bzw. Gleichungen/Ergebnisse ist ja nicht "einfach so" gefallen.

Genau, bei meinen Beispielen ging es um "Zahlen", die in einer Darstellung eine definitiv endliche Representation haben, aber in anderen "intuitiveren" Darstellungen weniger eindeutig endlich erscheinen.

Und eine Darstellung einer Zahl wie \pi als unendlich langer Dezimalbruch verdeutlich ja schön, wie man sich etwas "echt" Unendliches vorstellen kann: Man kann immer weiter gehen, und es kommen immer neue Ziffernfolgen, die sich nie wirklich wiederholen. Findet sich sowas auch in der Natur, in der praktischen Anwendung? Vermutlich ja. Deterministisches Chaos erzeugt ja auch immer neue Bahnen, die sich nie wiederholen.

Und was ist mir der Quantenmechanik? Die ist doch gerade die Methode der Natur, dieser Art der Unendlichkeit eben doch zu entkommen, oder? Das schon, aber das Zusammenbauen aus endlich vielen Grundbausteinen erfolgt hier nach einer "anderen" Logik. Hier gibt es auf einmal Ununterscheidbarkeit, und fast Ununterscheidbarkeit, sowie fast Unterscheidbarkeit, und Unterscheidbarkeit. Trotzdem ist auch hier die Representation immer noch wichtig, und je nach Darstellung wirkt es mehr oder weniger endlich und vorhersehbar.

[antaris]

Zitat von Jakito

Genau, bei meinen Beispielen ging es um "Zahlen", die in einer Darstellung eine definitiv endliche Representation haben, aber in anderen "intuitiveren" Darstellungen weniger eindeutig endlich erscheinen.

Ok das habe ich auch so erkannt

Und eine Darstellung einer Zahl wie \pi als unendlich langer Dezimalbruch verdeutlich ja schön, wie man sich etwas "echt" Unendliches vorstellen kann: Man kann immer weiter gehen, und es kommen immer neue Ziffernfolgen, die sich nie wirklich wiederholen. Findet sich sowas auch in der Natur, in der praktischen Anwendung? Vermutlich ja. Deterministisches Chaos erzeugt ja auch immer neue Bahnen, die sich nie wiederholen.

Die "Anzahl aller Möglichkeiten" ist unendlich und jede für sich und pro "Individuum" einzigartig. Die Länge einer Bewegungsbahn oder die zurückgelegte Strecke ist aber immer endlich, denn von t0 (Startpunkt) bis t1 (Gegenwart) ist sie immer begrenzt.

Und was ist mir der Quantenmechanik? Die ist doch gerade die Methode der Natur, dieser Art der Unendlichkeit eben doch zu entkommen, oder? Das schon, aber das Zusammenbauen aus endlich vielen Grundbausteinen erfolgt hier nach einer "anderen" Logik. Hier gibt es auf einmal Ununterscheidbarkeit, und fast Ununterscheidbarkeit, sowie fast Unterscheidbarkeit, und Unterscheidbarkeit. Trotzdem ist auch hier die Representation immer noch wichtig, und je nach Darstellung wirkt es mehr oder weniger endlich und vorhersehbar.

Ja das hoffe ich. Zumindest sind auch die Protonen, zwar mit extrem langer Halbwertszeit, endlich und zerfallen theoretisch irgendwann.

Das worauf ich eigentlich hinaus wollte ist, dass es meiner Meinung nach nur eine einzige Unendlichkeit in der Natur gibt. Nämlich t0 des gesamten Universums. Unsere, für uns sichtbare Teilmenge dieses gesamten Universums, hat sein eigenes t0 aber eben im zeitlichen Verlauf von t des gesamten Universums.
So ist jede Teilmenge von seinem individuellen t0 bis zu seiner individuellen Gegenwart immer endlich.

Wenn t0 gleichzusetzen ist, mit dem Zeitpunkt in der einzig die "reine Energie" des Urknalls existierte und aus der Ausdehnung bzw. der Diffusion und damit Abkühlung dieser Energie zu Teilchen kondensierte, so kann es sonst nichts "unendlicheres" als das unendlich lange in der Zeit zurückliegende t0, des gesamten Universum geben oder?

Im Umkehrschluß bedeutet das für mich, dass es, bis auf t0 des gesamten Universums, keine weiteren unendlich "kleine" Singularitäten geben kann.

[Cossy]

Die Frage ist, was du als "Singularität" definierst.

Beispiel: Mit etwas Formelgymnastik, kommt man leicht auf
Schwarzschildradius = ( 2 * Planck-Länge^2) / Compton-Wellen-Länge.
Damit kann weder eine Ausprägung der Gravitation noch eine Ausprägung der Energie den Wert null oder unendlich erreichen. Die Planck-Länge ist eine Konstante und verhindert dies. Das zählt auch für das komplette Universum.
Wie willst Du nun die Planck-Länge betrachten. Als Singularität, bei der ein Raum nicht mehr definiert werden kann? Damit verschiebt man nur das Problem.
Die Fragestellung nach dem Beginn oder "vor dem" Urknall oder der Unendlichkeit, erinnert mich immer an den Wellenkollaps. Die neue Situation ist einfach da, ohne Übergang.

Damit ich das, in meiner Gedankenwelt, in den Griff bekomme, habe ich in der Raumzeit einen Übergang bei der Anzahl der Raumdimensionen eingebaut. Innerhalb einer Raumzeit gibt es weder null noch unendlich. Die Lichtgeschwindigkeit c und die Gravitationskonstante G sind der Übergang, welche durch die Planck-Länge verbunden sind. c ins nieder-dimensionale und G ins höher-dimensionale. Bei einem Photon sieht man das nieder-dimensionale, auf Grund der SRT sehr schnell. Bei G braucht man schon einige Zeit dafür.
Damit bildet die Singularität eines SL explizit einen Übergang in einer höhere Dimension. Eine echte mathematische Singularität muss dort gar nicht sein. In eine SL wird auch nicht eine unendliche Menge an Energie reingesteckt. Dieser Übergang erklärt dann auch den "Wellenkollaps".
Weder null noch unendlich sind damit Bestandteil meiner Welt. Ich kann deswegen nicht besser schlafen, ist aber sehr praktisch!

[antaris]

Zitat von Cossy

Die Frage ist, was du als "Singularität" definierst.

Beispiel: Mit etwas Formelgymnastik, kommt man leicht auf
Schwarzschildradius = ( 2 * Planck-Länge^2) / Compton-Wellen-Länge.
Damit kann weder eine Ausprägung der Gravitation noch eine Ausprägung der Energie den Wert null oder unendlich erreichen. Die Planck-Länge ist eine Konstante und verhindert dies. Das zählt auch für das komplette Universum.
Wie willst Du nun die Planck-Länge betrachten.

Richtig, die Planck-Skala ist immer invariant am Tangentialpunkt eines physikalischen Körpers, zu sich selbst (Skaleninvarianz). Egal welche Geschwindigkeit des Körpers von einem entfernten bzw. Beobachter gemessen wird. Für den entfernten Beobachter gilt das gleiche.
Also alles "ganz normal" mit Mittel der ART/SRT.
Nur das in einem primordialen SL die Energie so groß ist, dass der Raum vom entfernten Beobachter aus gesehen extrem verkleinert wird. Da Masse und Energie Äquivalent ist, entsteht ein "kleiner Bruder" des Urknalls im SL. Alles fängt von vorne an (t0 der Teilmenge). Je mehr Energie dieser "iterierte" Urknall eines SL's hat, desto "größer" erstreckt sich der Raum darin.

Darum denke ich nur primordiale SL's sind in der Lage so einen großen Raum wie "unsere" Teilmege zu erzeugen. SL aus Supernova erzeugen ebenso ein t0 einer Teilmenge aber viel kleiner, da nicht so energiereich.

[Cossy]

Zitat von antaris

Richtig, die Planck-Skala ist immer invariant am Tangentialpunkt eines physikalischen Körpers, zu sich selbst (Skaleninvarianz). Egal welche Geschwindigkeit des Körpers von einem entfernten bzw. Beobachter gemessen wird. Für den entfernten Beobachter gilt das gleiche.

Da bin ich mir mit deiner Antwort nicht sicher. Ich habe keine Ahnung was das mit einen Tangentialpunkt zu tun hat.

Zitat von antaris

Also alles "ganz normal" mit Mittel der ART/SRT.

Nein, nicht normal. Weder SRT noch ART kennen eine kleinste Länge. Das Photon hat eine Längenkontraktion auf null und die Singularität im SL ist laut ART auch nicht größer. Dazu braucht man schon noch einige "Zusatz Gedanken".

Zitat von antaris

Nur das in einem primordialen SL die Energie so groß ist, dass der Raum vom entfernten Beobachter aus gesehen extrem verkleinert wird. Da Masse und Energie Äquivalent ist, entsteht ein "kleiner Bruder" des Urknalls im SL. Alles fängt von vorne an. Je mehr Energie dieser "iterierte" Urknall eines SL's hat, desto "größer" erstreckt sich der Raum darin.
M

Die Größe des SL spielt für die Singularität keine Rolle. Ein Mini-Ding aus dem Labor (wenn wir das könnten) oder ein stellares Monster sind über ihre Singularität nicht unterscheidbar. Diese ist im mathematischen Sinn identisch. Es macht daher keinen Unterschied wie und zu welcher Zeit ein SL entstanden ist.