Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[Hawkwind]

Zitat von richy

Wiki deutsch

Damit läge der Hauptwert einer komplexen Wurzel immer in der oberen Hälfte der komplexen Eben (so habe ich es auch in Erinnerung), während er nach Bronstein und der csignum-Definition von neulich immer in der rechten Halbebene läge.

Such is life - immerhin ergeben beide Konventionen korrekt den Spezialfall der Quadratwurzel im Reellen, da die positive reelle Achse in beiden Fällen enthalten ist.

Der Unterschied kommt wohl daher, ob man nun für den Polarwinkel phi den Definitionsbereich

-pi ... pi

oder

0 ... 2*pi

nimmt. Bei den klassischen Polarkoordinaten nimmt (-pi ... pi).

Zitat von richy

oder Restwiki


Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein !

So würde ich das nicht sehen: es gibt nur leider unterschiedliche Konventionen für den Hauptwert und damit für das Wurzelzeichen im Komplexen. Vielleicht sollte man das Wurzelzeichen mit komplexem Argument allein aus diesem Grund tatsächlich besser meiden. Doch dass das was mit Nationalitäten zu tun hat, bezweifel ich eher.

[richy]

Hi Hawkwind

Damit läge der Hauptwert einer komplexen Wurzel immer in der oberen Hälfte der komplexen Eben (so habe ich es auch in Erinnerung), während er nach Bronstein und der csignum-Definition von neulich immer in der rechten Halbebene läge.

Genau so ist die Lage :-) Ebenso bestimmt die arg(z) Funktion eindeutig welche Halbebene verwendet wir. Wobei der "alte Bronstein" schreibt :

Als Argument der komplexen Zahl a=alpha+i*beta bezeichnet man die Menge arg(a) der Winkel phi (in Bogenmaß) die der Ortsvektor OA=(alpha, beta) mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt.

Um aus arg(a) den Hauptwert phi0= (H) arg(a) herausgreifen zu koennen, setzt man haeufig phi=phi0 + 2*k*Pi mit
-Pi< phi0 <= Pi

Tja wie ist das gemeint ? "Setzt man haeufig" also nicht immer. Dann waere es eine beliebige Angelegenheit. Aber da steht auch noch :
"um herausgreifen zu koennen" Gibt es somit Gruende, dass die obere Halbebene in manchen Faellen versagt. Aus irgendwelchen hoeheren dem gemeinen Ingenieur nicht bekannten Gruenden.(Meine ich ernst, man kann ja nicht alle Konsequenzen abschaetzen)

@Bauhof
Kannst du daher bitte nochmal nachschauen wie es im neuen Bronstein formuliert ist ! Steht da, dass diese Argumentfunktion[-Pi..Pi] also die rechte Halbebene zwingend ist ? Das waere schon wichtig.

@Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Such is life - immerhin ergeben beide Konventionen korrekt den Spezialfall der Quadratwurzel im Reellen, da die positive reelle Achse in beiden Fällen enthalten ist.

Genau so ist es.

Der Unterschied kommt wohl daher, ob man nun für den Polarwinkel phi den Definitionsbereich
-pi ... pi
oder
0 ... 2*pi
nimmt.

Ganz genau. Und diese Funktion nennt man arg(z). Eine vereinbarte Abbildung des Winkels 0..2*Pi.


impliziert:
arg(z)=[0..2*Pi]
csgn(z)_deutsch = -csgn(z)_MAPLE oder googel oder England
Der Hauptwert liegt stets in der oberen Halbebene.

So würde ich das nicht sehen: es gibt nur leider unterschiedliche Konventionen für den Hauptwert und damit für das Wurzelzeichen im Komplexen.

Ja gibt es denn auch verschiedene Konventionen fuer (H) Wurzel(1) ? Von was sollen diese Konventionen abhaengen ? Vom Land ? Von Lust und Laune ? Ich muss dann doch sagen : Es gibt keine festgelegte Konvention. Es gibt eine unnoetige Definitionsluecke. Und genau dies scheint der Fall zu sein.

Vielleicht sollte man das Wurzelzeichen mit komplexem Argument allein aus diesem Grund tatsächlich besser meiden.

Noe, warum denn. Das Wurzelzeichen steht im Komplexen fuer alle Loesungen und das ist doof, weil es damit ein anderes Wurzelzeichen ist als im Reellen. Eine andere Konvention.

Man sollte es anders gestalten Z.B statt Wurzel(z) die Angabe +-Wurzel(z) und bei der n-ten Wurzel ~z^(1/n) wobei "~" alle Loesungen meint und z^(1/n) dann den Hauptwert. Nur als Vorschlag.

Gruesse

[richy]

Doch dass das was mit Nationalitäten zu tun hat, bezweifel ich eher.

Nur wenn man WIKI als Quelle zur Loesung mathematischer Aufgaben heranzieht. Um es nochmal zu verdeutlichen. Wenn ich schreibe :
H Wurzel(z)=Wurzel|z|*(arg(z)/2) dann habe ich noch keinen speziellen Hauptwert festgelegt. Denn ich habe noch nicht ausgedrueckt was arg(z) darstellt. So geht die alte Bronsteinausgabe vor.
Aber bei Wiki ist das Kind in fast allen Laendern schon in den Brunnen gefallen. (Ausser Italien, Holland) Denn mit der x+iy Schreibweise haben die WIKI spezielle Hauptwerte festgelegt. Dazu national abweichende.

Gruesse

[richy]

Wie waers damit :

(H) Wurzel(x+i*y)=signum(y)*Wurzel((|z|+x)/2)+i*Wurzel((|z|-x)/2)

signum(0)=0 (per Definition)
limes(signum(a), a->0) = undefined.

Es gibt somit gar keine Moeglichkeit die Loesung in dieser Forem ueber die signum Fuktion befriedegend darzustellen. Lediglich die explizite Vorzeichenangabe in Wiki Frankeich ist koerrekt. Ansonsten gibt es nur einen weltweiten Wiki Schmarren.
Ich bin mal gespannt wie dies korrigierrt wird. Es ist ja fast alles an dieser Stelle "falsch".
Die franzoesiche VZ Konvention ist ok aber umstaendlich.

In ESPERANTO gibt es noch eine interessante Variante :

se ne x = −r kaj y = 0.

Was bedeutet kaj ?

Wir haben bereits einen schoenes, in Wiki und MAPLE sogar schon eindeutig definiertes neues Vorzeichen csgn(z). Und nun haben wir eine interesante Aufgabe. Naemlich diese ganzen Wiki Spezialschreibweisen, z.B ueber dieses csgn(z) ausdzudruecken. Elegant und korrekt.

Gruesse

Bronstein ist kein Lehrbuch Analysis I, sondern ein erweitertes Tafelwerk zwischen Abitur-Ingenieurwissen und Mathe/Informatik-Bachelor.

Ho ho ho ho
Der Hauptband, der bei einem Ingenieurstudium verwendet wurde umfasst knapp 900 Seiten.

[JoAx]

Hi richy!

Zitat von richy

und MAPLE

Ich persönlich würde Lösungen/Definitionen in irgendwelchen Programmen keinen großen Gewicht geben. Programme sind schliesslich keine Menschen - dort muss es eindeutig definiert werden, da diese ansonsten unbrauchbar wären. Der Mensch ist da "flexibler".

Mir scheint die Variante -Pi..Pi etwas symmetrischer (und daher zumindestens sympatischer) zu sein - sowohl Definitions- als auch Abbildbereich enthalten negative wie positive Werte. In der 0..2Pi Variante kann vlt. auch der Eindruck entstehen, dass das negative Vorzeichen, da der Definitionsbereich keinen enthält, auf diese Weise "hergeleitet" wird, was natürlich nicht der Fall ist.

Ansonsten, da im Komplexen immer alle Lösungen betrachtet werden, ist so etwas wie Hauptwert nicht wirklich von Bedeutung. Ein internationaler Standard wäre wohl nicht verkehrt, aber auch nicht lebenswichtig, da man so etwas in einer konkreten Arbeit immer und relativ schnell definieren kann, falls nötig.

IMHO

Nachtrag: Am sinnvollsten wäre vlt., wenn man bei WIKI beide gängigsten Definitionen erwähnt und kurz diskutiert.

Gruß, Johann

[Hawkwind]

Zitat von richy

Noe, warum denn. Das Wurzelzeichen steht im Komplexen fuer alle Loesungen und das ist doof, weil es damit ein anderes Wurzelzeichen ist als im Reellen.

Gruesse

Das ist in der Mehrzahl der Textbücher auch nicht so wie du sagst, richy. Meist steht das Wurzelzeichen auch im Komplexen für den Hauptwert. In "meiner" Ausagbe vom Bronstein (ziemlich alt) wird die Schreibweise ...^(1/2) für den Hauptwert verwendet. Das ist wohl tatsächlich ein wenig "Kraut und Rüben" in der Literatur.

[Bauhof]

Zitat von richy

@Bauhof
Kannst du daher bitte nochmal nachschauen wie es im neuen Bronstein formuliert ist! Steht da, dass diese Argumentfunktion[-Pi..Pi] also die rechte Halbebene zwingend ist? Das waere schon wichtig.

Hallo Richy,

im Bronstein aus dem Jahr 2001 habe ich nichts "zwingendes" mehr gefunden. Aus einem anderen Mathematik-Handbuch [1] habe ich die Seiten 552 und 554 kopiert, siehe Anhang. Dort habe ich im PDF die Hauptwert-Definition mit einer Sprechblase markiert.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Dreszer, Jerzy (Hrsg.)
Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. 1346 Seiten.
Thun und Frankfurt am Main 1975
ISBN=3-87144-149-X

[richy]

Zitat von Joax

Ansonsten, da im Komplexen immer alle Lösungen betrachtet werden, ist so etwas wie Hauptwert nicht wirklich von Bedeutung. Ein internationaler Standard wäre wohl nicht verkehrt, aber auch nicht lebenswichtig, da man so etwas in einer konkreten Arbeit immer und relativ schnell definieren kann, falls nötig.

Ja, das kann man so pragmatisch sehen. Letztendlich meine ich, dass die Konvention [-Pi..Pi] eher im Wissenschaftlichen bereich verwended wir. Motiviert durch die vereinfachte Berechnung von arg(z) ueber die Polarkoordinaten. (Taschnerechner) Bei arctan(Im/Re) muesste man von Hand das Vorzeichen bestimmen.

@Bauhof
Vielen Dank fuer das PDF. Da scheint mir die Angabe eindeutig. Und auffaellig ist dass dies ein Buch fuer die Anwender ist. Werden die Mathematiker daher leider wohl nicht so gerne akzeptieren.

@Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Meist steht das Wurzelzeichen auch im Komplexen für den Hauptwert.

Die Wurzel ist im Komplexen aber stets ueber das Polynom definiert. Naja, ob mit "Wurzel" dann das Wurzelzeichen gemeint ist, ist schon eine andere Sache. Vielleicht gibt es die Definition auch deshalb, damit man stets Haupt und Nebenwerte berechnet.

Gruesse

[richy]

Zitat von Joax

Nachtrag: Am sinnvollsten wäre vlt., wenn man bei WIKI beide gängigsten Definitionen erwähnt und kurz diskutiert.

Genau. Und man koennte nochmals zeigen, welche arg(z) Funktonen mit der Konvention exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) vereinbar sind. Fuer die beiden wichtigsten koennte man dann diese Gleichungen in der Im-Re Darstellung angeben. Man umgeht hier die arg(z) Berechnung. Wenn man weiss was man tut ist die Im-Re Darstellung vielleicht fuer gewisse Anwendungen schon praktisch. Aber in einer Gleichung lassen sich die beiden Varianten nicht wirklich kompakt und uebersichtlich darstellen.
Also waere es am besten einfach beide Varianten gesondert anzuschreiben. Dazu welcher arg(z) Funktion diese entsprechen. Das waere eine saubere Sache.
Diese spezielle Signum Funktion, die fuer 0 den Wert 1 liefert ist etwas problematisch. Man koenne die Heavisidefunktion dafuer verwenden. sign+(y)=(2*H(y)-1) noch genauer (2*H1(y)-1). Aber so gut sieht das auch nicht aus :-)

Gruesse

[JoAx]

Hi richy!

Zitat von richy

Und man koennte nochmals zeigen, welche arg(z) Funktonen mit der Konvention exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) vereinbar sind.

Ich schätze, jede Funktion, in der der Definitionsbereich für phi 2Pi umfasst, wird auch vereinbar sein. Auch - -2Pi...0. Denn der Definitionsbereich von phi ist nur indirekt für den Wertebereich verantwortlich. Tatsächlich müssen cos() und sin() volle "Wellenlänge" durchlaufen, damit alle möglichen Kombinationen von Re und Im erfasst werden. Es ist also der Wertebereich von cos(phi) und sin(phi), der letztendes den Definitionsbereich für exp(i*Phi)=cos(phi)+i*sin(phi) ergibt.
imho

Nachtrag: Oder meinst du, dass dann auch so etwas rauskommen könnte: exp(i*Phi)=sin(phi)+i*cos(phi)?


Gruß, Johann