Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[Bauhof]

Zitat von richy

@Bauhof
Vielen Dank fuer das PDF. Da scheint mir die Angabe eindeutig.

Hallo Richy,

mir erscheint die Angabe auch eindeutig.

Zitat von richy

Und auffaellig ist dass dies ein Buch fuer die Anwender ist. Werden die Mathematiker daher leider wohl nicht so gerne akzeptieren.

Dann frage ich mich langsam, welches Handbuch für Mathematik für die Mathematiker überhaupt akzeptabel ist. Kann mir jemand eines dafür nennen?

M.f.G- Eugen Bauhof

[JoAx]

Hallo richy und Eugen!

Zitat von Bauhof

Dann frage ich mich langsam, welches Handbuch für Mathematik für die Mathematiker überhaupt akzeptabel ist. Kann mir jemand eines dafür nennen?

Ich hatte noch keine Möglichkeit an ein paar Mathe-Bücher von mir zu kommen, aber Morgen werde ich schauen, was in denen steht. Die sind dann auch so richtig theoretisch, und ich hoffe bloss, dass ich die richtigen Stellen dort finde.


Gruß, Johann

[Hawkwind]

Zitat von JoAx

Hallo richy und Eugen!



Ich hatte noch keine Möglichkeit an ein paar Mathe-Bücher von mir zu kommen, aber Morgen werde ich schauen, was in denen steht. Die sind dann auch so richtig theoretisch, und ich hoffe bloss, dass ich die richtigen Stellen dort finde.


Gruß, Johann

Naja, wir haben ja "das Netz".

Da findet man jede Menge Vorlesungsskripte über Funktionentheorie für Mathe-Hauptfächler, z.B.
http://www.mathematik.uni-erlangen.d...funktionen.pdf

Prof. Dr. H. Leutwiler hat nun wie erwartet die "deutsche Konvention" gewählt:

Die reelle Zahl phi, das Argument von z, ist dabei nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt.
Einschränkung (häufig) : 0≤ phi < 2π (sog. Hauptwert von phi)

Was soll's? Es gibt leider keine eindeutige Konvention - wir werden das nicht ändern können.

[JoAx]

Die reelle Zahl phi, das Argument von z, ist dabei nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bestimmt.
Einschränkung (häufig) : 0≤ phi < 2π (sog. Hauptwert von phi)

Ich denke auch, dass das Entscheidende das ist, was ich fett hervorgehoben haben. Theoretisch hätte man ja auch -π/2≤ phi < 3π/2 wählen versuchen können.


Gruss, Johann

[SCR]

Hallo zusammen,

falls zum aktuellen Diskussionsgegenstand evtl. von Interesse / hilfreich exemplarisch aus http://www.mathepedia.de/Potenzen_und_Wurzeln.aspx:

Für eine komplexe Zahl z sind die beiden Lösungen von √z ununterscheidbar. Es gibt also nicht wie im Reellen eine positive Wurzel, die man im Allgemeinen mit der Wurzel identifiziert.
[...]
Diese Gleichung gilt genau dann, wenn das Vorzeichen der Wurzel mit dem Vorzeichen von y übereinstimmt. Daher kommt der sgn-Term in Formel (1).
[...]
An Darstellung (2) können wir ablesen, dass der Betrag der Wurzel der Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl entspricht. Das Argument wird halbiert und die andere Lösungen ergibt sich geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene durch Spiegelung am Ursprung.

Zitat von SCR

Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen?

sowie (aus anderen Quellen)

bzw.

(Anmerkung: Die Vorzeichen bei √-g=1 bzw. √g=1 wurden korrekt aus dem jeweiligen Original übernommen)

Es scheint nun doch auf den ersten Blick so als gelte √g=√-g=1 und würde die Basis für einge wesentliche Aussagen der RT darstellen ... An der Richtigkeit der RT ist doch sicher nicht zu zweifeln - Oder?

[richy]

Zitat von Hawkwind

Prof. Dr. H. Leutwiler hat nun wie erwartet die "deutsche Konvention" gewählt:

Fuer f(z)=z hat er das festgelegt. Auf Seite 51 gibt er als Hauptwert fuer den ln(z) das Intervall (-Pi..Pi an). Wenn man die rechte Halbebene waehlt !
http://www.mathematik.uni-erlangen.d...funktionen.pdf

In ¨ Ubungsaufgabe wurde ferner gezeigt: Auf C− = C\ IR− definiert
log z := log |z| + iarg(z) , −Pi < arg(z) < Pi (Hauptwert) ,

Korrekterweise verwendet er nun auch den Ausdruck arg(z) statt phi.
Das ist in Ordnung und macht einen Sinn. Richtig falsch waere es blind den arctan(Im/Re) zu verwenden. Aber nehmen wir mal an wir haetten nur die arctan() Taste. Dann ist -Pi..Pi wesentlich einfacher im Handling. Untere Halbebene ? => -phi. Das duerfte auch eine Rolle gespielt haben.

Was soll's? Es gibt leider keine eindeutige Konvention - wir werden das nicht ändern können.

Yepp. Das entscheidene ist, dass man weiss was hier vorgeht und wie man seinen Taschenrechner bedient. Bei der 3 ten oder 4 ten Wurzel sieht es wohl noch mehrdeutiger aus.

Zitat von Joax

Oder meinst du, dass dann auch so etwas rauskommen könnte: exp(i*phi)=sin(phi)+i*cos(phi)?

Ja, wenn man phi z.B. von der imaginaeren Achse aus abtraegt. Die Argumentfunktionen muessen wenigstens alle exp(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) in gleicher Weise widergeben.

[richy]

http://www.mathepedia.de/Potenzen_und_Wurzeln.aspx
Hier wird fuer die Quadratwurzel -Pi bis Pi verwendet. Und es duerfte der selbe Autor sein wie beim Wiki Eintrag. Dort hat er zur Abwechslung noch 0..2 Pi verwendet. Dafuer jedoch den selben Fehler mit dem Signum. In der mathepedia Version nun sogar mit der eindeutigen Bezeichnung sgn().



Wirklich ? Was ist mit der Null ?



Und daher liefert die mathepedia Gleichung fuer den folgenden Fall Muell :
Wurzel(-1)=0

si b = 0 et a < 0 : le signe + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ich habe keine Lust mehr :-(

[SCR]

Zitat von richy

Ich habe keine Lust mehr :-(

Nein - Mach' bitte weiter, richy.

EDIT: Noch ein bißchen erweiterer Kontext aus der ART

Zitat von Einstein

[...]
Statt √g wird im folgenden die Größe √-g eingeführt, welche wegen des hyperbolischen Charakters des zeiträumlichen Kontinuums stets einen reellen Wert hat. Die Invariante √-g dt ist gleich der Größe des im "örtlichen Bezugssystem" mit starren Maßstäben und Uhren im Sinne der speziellen Relativitätstheorie gemessenen vierdimensionalen Volumenlementes.
Bemerkung über den Charakter des raumzeitlichen Kontinuums. Unsere Voraussetzung, daß im unendlich Kleinen stets die spezielle Relativitätstheorie gelte, bringt es mit sich, daß sich ds² immer gemäß (1) durch die reellen Größen X1 .... dX4 ausdrücken läßt. Nennen wir dt0 das "natürliche" Volumelement dX1 dX2 dX3 dX4, so ist also
(18a) dt0 = √-g dt
Soll an einer Stelle des vierdimensionalen Kontinuums √-g verschwinden, so bedeutet dies, daß hier einem endlichen Koordinatenvolumen ein unendlich kleines "natürliches" Volumen entspreche. Dies möge nirgends der Fall sein. Dann kann g sein Vorzeichen nicht ändern; wir werden im Sinne der speziellen Relativitätstheorie annehmen, daß g stets einen endlichen negativen Wert habe. Es ist dies eine Hypothese über die physikalische Natur des betrachteten Kontinuums und gleichzeitig eine Festsetzung über die Koordinatenwahl.
Ist aber -g stets positiv und endlich, so liegt es nahe, die Koordinatenwahl a posteriori so zu treffen, daß diese Größe gleich 1 wird. Wir werden später sehen, daß durch eine solche Beschränkung der Koordinatenwahl eine bedeutende Vereinfachung der Naturgesetze erzielt werden kann. An Stelle von (18) tritt dann einfach
dt' = dt [...]

[Hawkwind]

Zitat von richy

Und daher liefert die mathepedia Gleichung fuer den folgenden Fall Muell :
Wurzel(-1)=0

Das sgn(y) gehört wohl vor den anderen Term; dann müsste es wieder passen.
Nobody is perfect, richy - selbst wir machen manchmal Fehler.

[richy]

Hi Hawkwind

Das sgn(y) gehört wohl vor den anderen Term; dann müsste es wieder passen.

Dann gilt Wurzel(1)=0
Man darf eben nicht die uebliche sgn() Funktion verwenden. Der Fall Null muss gesondert betrachtet werden. Thats all.



sign+(y) ist dabei keine offizielle Bezeichnung.

Ansonsten gilt folgendes :
Steht die (spezielle) Vorzeichenfunktion vorm Imagianerteil entspricht dies
arg(z)= [-Pi..Pi]
Steht die (spezielle) Vorzeichenfunktion vorm Realteil entspricht dies
arg(z)= [0..2*Pi]

@SCR
Ich brauch wirklich mal ne kleine Pause.

Gruesse