Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

quicks Wiki Beispiel


http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

Genau diesen Widerspruch hatte ich gemeint, der mit Eugens Beispiel verwandt ist.
Bei Wiki folgt eine weitere Begruendung in Kurzform :

Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = r*exp(iφ) dient die Formel

k=0..n-1
Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in C mehrdeutig.

(Diese Begruendung wird sich als nicht direkt schluessig herausstellen)
Andernfalls haette Benjamin im Fall der Wurzel einer komplexen Zahl somit nun doch recht ? Hier sind stets alle Werte gemeint ? Die komplexen Zahlen sichern den Hauptsatz der Algebra und kaum freut man sich darueber ist dieser schon wieder aufgrund derselben hinfaellig ?
Ich hab gerade mal in Maple allvalues(evalc((-1)^(1/3))); eingetippt. Das kennt diese Vereinbarung wohl nicht. Bei solve(z^3=-1,z); druckt es dagegen brav alle drei Loesungen aus.

Und warum sollte die Wurzel nur fuer komplexe Zahlen mehrdeutig sein ?

x^2=1
x=exp(i*(0+k*Pi) k=0,1
x1=exp(0)=1
x2=exp(j*Pi)=-1

oder
x^3=1
x1=1 eine reele Loesung
x2=-1/2+1/2*I*Wurzel(3) zwei konjungiert komplexe Loesungen
x3=-1/2-1/2*I*Wurzel(3)

Sind mit 1^(1/3) alle drei Ausdruecke gemeint ?


Also jetzt mal konkret ! :
Die Wurzel ist im komplexen ueber den komplexen ln definiert.
exp(ln(z^(1/n)))=exp(ln|z|/n)=exp(ln|z|/n+i*(phi+k*2*Pi)/n) k=0..n-1
************************************************** ***
Vereinfachungen :
In quicks Beispiel gilt stets |z|=1 und damit ln|z|/n=ln|1|/n=0
Es bleibt fuer diese Faelle der Term exp(i*(phi+k*2*Pi)/n)
Den Ausdruck kennen wir bereits und phi kennen wir auch. Mich interessierte
an dieser Stelle lediglich noch einmal in welcher Reihenfolge die Operatoren abgearbeitet werden. Jetzt moechte ich zusaetzlich nur den Hauptwert verwenden k=0. Dann erhalte ich die Vereinfachung
exp(i*(phi)/n) Ich gehe im Folgenden somit relativ willkuerlich wie folgt vor :

a) Ersetzen der Zahl durch die komplexe exp-Schreibweise.
b) Verwenden des Hauptwertes k=0
c) Abarbeiten der Operatoren von innen nach aussen.

Dann erhalte ich folgende Ergebisse :
ACHTUNG HIER FEHLT EINE KONVENTION !

1) Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=exp(i*Pi/2)*exp(i*Pi/2)=exp(i*Pi)=-1
2) Wurzel[(-1)(-1)]=Wurzel(exp(i*Pi)*exp(i*Pi))=Wurzel(exp(i*2*Pi)=ex p(i*Pi)=-1
(NACH DER KONVENTION PHI<2*PI ERGIBT SICH 1)
3) Wurzel((-1)^2)=Wurzel(exp(2*I*Pi))=exp(i*Pi)=-1

Die Ergebnisse moegen nicht intuitiv sein, aber wenn ich mich an die Regeln a,b,c halte so ergibt dies wenigstens in dem Beispiel keinen Widerspruch und spaetestens beim naechsten Beispiel sollte klar sein was hier konkret passiert.
Fall 3) abweichend von meinen willkuerlichen Regeln berechnet :
Wurzel((-1)^2)=Wurzel(1)=Wurzel(exp(i*0))=exp(i*0/2)=1

***************************
exp(i*0)=1=exp(i*2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*0/2)=1 <> -1=exp(i*2*Pi/2)
***************************

Das scheint mir der eigentliche Grund der widerspruechlichen Berechnungen.
Das hat weniger mit der Mehrdeutigkeit eine Wurzel zu tun, sondern der Mehrdeutigkeit einer Zahl in der komplexen Ebene. Liegt dies lediglich daran, dass der Phasenwinkel Null eine Ausnahme darstellt ? Nein.

Beweis, eher unwichtig :
Keine Probleme ergeben sich wenn folgende Bedingung erfuellt ist :

phi/n-(phi+k*2*Pi)/n=m*2*Pi, k=1,2,3...., m=ganze Zahl
-k*2*Pi/n=m*2*Pi
-k/n=m
Wenn k somit zufaelligerweise den Primfaktor n aufweist erhaelt man zufaelligerweise ein eindeutiges Ergebnis :-)

Test in dem dies nicht gegeben ist :
z1=2*Pi
z2=2*Pi+3*2*Pi=8*Pi
n=2
z1/n=Pi (Phasenwinkel von -1)
z2/n=4*Pi (Phasenwinkel von 1)

Test in dem dies gegeben ist :
z1=Pi/2
z2=Pi/2+15*2*Pi
n=3 (3.te Wurzel und 3 ist ein Primfaktor von 15)

z1/3=Pi/6
z2/3=Pi/6+15*2*Pi/3=Pi/6+5*2*Pi
=>z1=z2

Das ist eine Spielerei :-) Man kann sich nicht darauf verlassen, dass n ein Primfaktor vom Faktor k der Mehrdeutigkeit k*2*Pi ist. Es muss also eine Vereinbarung getroffen werden. Ob meine Regeln a,b,c immer zum richtigen Ergebnis fuehren ist fragwuerdig. Eine allgemeinere Regel waere vielleicht, dass man sich bei allen Ausdruecken stets im selben Winkelintervall, Ast des ln bewegt.

Gruesse

[richy]

Ach schon wieder so lang :-)



Zusammenfassung als Brainstorming :

Beispiel 1)

exp(i*0)=1=exp(i*2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*0/2)=1 <> -1=exp(i*2*Pi/2)

Beispiel 2)

exp(i*Pi/2)=i=exp(i*(Pi/2+2*Pi)
aber ziehe ich auf beiden Seiten die Wurzel :
exp(i*Pi/4)<>exp(i*Pi/4+Pi)

Die Mehrdeutigkeit der Wurzel hat ebensowenig wie die Definition i^2=-1 mit dem oben dargestellten Widerspruch etwas zu tun. Ich sehe dies jedenfalls nicht. Es ist die Mehrdeutigkeit einer einzelnen Zahl selbst ueber den Phasenwinkel (k*2*Pi) Wenn der Hamster ueber 2*Pi rennt gibt es Probleme mit dem Hamster der sich immer zwischen 2*Pi>phi>=0 bewegt.

Noch ein Test :
sqrt(─2)•sqrt(─3)=sqrt(3)*exp(i*Pi/2)*sqrt(2)*exp(i*Pi/2)=
sqrt(6)*exp(i*Pi)=-sqrt(6)

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

die Zahlenwelt ist nicht so "mein Ding", deshalb meine Frage an dich.
Muß man "i" nicht als Operator betrachten?
Demnach wäre sqrt[(-1)*(-1)] in dem Beispiel eigentlich als sqrt[(i²)*(i²)] zu schreiben und dann ist und bleibt i² = -1.

mfg
quick

[richy]

Zitat von Benjamin

Physikalisch gibt es keinen Grund diesen Limes zu fordern. Die Aussage "Eine endliche Zahl durch null dividiert, ergibt unendlich" reicht völlig aus.

Ich meine in dem speziellen Fall gaebe es keine Probleme einfach k/0 zu schreiben. Der Ausdruck 1/0 oder k/0 ist nicht unbestimmt und es gibt daher keinen Zweifel dass dieser Ausdruck oo darstellt. Aber 0 und oo sind nun mal keine Zahlen sondern Grenzwerte. 0 ist eine Ziffer aber keine Zahl. Es sieht einfach auch doof aus wenn man diese Grenzwerte wie Zahlen anschreibt und man bricht sich doch keinen ab hier einen limes anzuschreiben.
Wobei man natuerlich auch auf elegante Weise Unsinn produzieren kann :
23*limes(x,x->0)=11*limes(x,x->0) | /limes(x,x->0)
23=11

Bei unbestimmten Ausdruecken ist dies dann nicht nur mehr eine Angelegenheit des Stils. Die Aussage "0/0 ist ein unbestimmter Ausdruck" wird verwendet und kann man akzeptieren. Aber wenn irgendjemand ueber 0/0 philosophiert, was nun tatsaechlich im www haeufig vorkommt, dann wird wohl auch ein Rat zur Regel von l'Hospital wenig bewirken, weil alleine die Schreibweise schlimmes befuerchten laesst. Von solchen Faellen sollte man sich besser distanzieren. Es gibt ja alleine in der Orthographie oder Orthografie, auch Rechtschreibung genannt genuegend Moeglichkeiten sich fehlerhaft auszudruecken, wie ich es regelmaessig beweise :-)

[EMI]

Was kommt raus, wenn man aus der Gleichung:

(+2)² = (-2)²

die Wurzel zieht?:

√(+2)² = √(-2)²

Gruß EMI

[richy]

Hi quick

Muß man "i" nicht als Operator betrachten?

Ich meine das waere keine gute Betrachtungsweise. In einen Operator f{} steckst du einen Input rein und erhaeltst einen Output=f{Input} Eine Black Box waere ein allgemeines Beispiel dafuer. Aber in die imaginaere Einheit laesst sich nichts hineinstecken. Ok, zusammen mit der Multiplikation stellt i einen Operator dar. Eine Drehung um 90 Grad in der komplexen Ebene. Aber hier ist die Multiplikation der eigentliche Operator. Genauso wie im Fall, dass ich eine Zahl mit minus eins multipliziere. Alleine der Ausdruck "imaginaere Einheit" weist darauf hin, dass i im Grunde ein spezielles Vorzeichen darstellt. -1*i, 1*i, -1, 1 wuerde ich als spezielle Vorzeicheneinheiten interpretieren. Das uns gewohnte negative und positive Vorzeichen auf dem reellen Zahlenstrahl gibt uns ausgehend vom Nullpunkt die Richtung an, in der wir die Zahlengerade betrachten. Ein Vorzeichen repraesentiert somit eine Richtung, einen Winkel. Betrachten wir nochmals die komplexe Ebene :



Jeder Punkt darauf stellt eine komplexe Zahl dar. Der Ortsvektor, die Verbindung des Punktes mit dem Nullpunkt bildet mit der Re-Achse einen vereinbarten Winkel phi. Eine Richtung. Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen. Es ist natuerlich Geschmackssache. Aber ich meine es ist eine praktische Vorstellung phi als kontinuierliches Vorzeichen zu betrachten und phi=0, Pi/2, Pi, 3/2*Pi stellen dann spezielle Faelle dar. Besonders ungewoehnlich ist natuerlich, dass das Vorzeichen phi=arg(Im,Re) von den Betraegen abhaengt.

Demnach wäre sqrt[(-1)*(-1)] in dem Beispiel eigentlich als sqrt[(i²)*(i²)] zu schreiben und dann ist und bleibt i² = -1.

Das ist im Ansatz eine sehr gute Idee. Wir ersetzen -1 einfach durch die Definition -1=i^2. Da sind wir auf der sicheren Seite. Aber welche Operation verwendest du dann um sqrt[(i²)*(i²)] auszuwerten ?
Meine etwas laengere Ausfuehrung hat gezeigt, dass es unsachgemaess ist wenn man im komplexen Zahlenbereich Terme gleichsetzt, die sich um einen Phasenwinkel groesser 2*Pi unterscheiden. Das wuerde aber bedeuten, dass man den Ausdruck sqrt[(i²)*(i²)] fuer sich alleine ueberhaupt nicht eindeutig auswerten kann. Selbst dann nicht wenn wir hier wie von dir vorgeschlagen die grundlegende Definition von i verwenden. Ohne eine spezielle Konvention koennten wir nur stets gueltige Relationen zu einem anderen komplexwertigen Ausdruck angeben. In der Form, dass man in beiden Ausdruecken sich im selben Phasenintervall bewegt und damit Widersprueche vermeidet. Die absolute Angabe eines Wertes waere aber nicht moeglich.
Die Relativitaetstheorie in allen Eheren aber das waere im Rahmen der Mathematik ein voellig unbefriedigender Zustand, den man doch ueber gewisse Vereinbarungen, Konvetionen sicherlich beheben koennte.
Ausserdem haenge ich am Hauptsatz der Algebra !
Wenn z-z0=0 tatsaechlich beliebig viele Loesungen aufweisen soll, alleine weil man fuer z0 eine angeblich beliebig mehrdeutige komplexe Zahl z.B. der Form z^(1/n) annehmen darf, also dann weiss ich auch nicht mehr weiter.

Gruesse

[richy]

Was kommt raus, wenn man aus der Gleichung:

(+2)² = (-2)²

die Wurzel zieht?:

Zustand vor der Verwurzelung :
4=4

Hamster Schreibweise :
Hamster 1 = Hamster 2

Komplexe Schreibweise :

4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
exp(i*0)^2=exp(i*Pi)^2
exp(i*2*0)=exp(i*2*Pi)
1=1

1=1 ist eine gueltige Aussage, aber ich befuerchte dennoch, dass die beiden EMI Hamster sich nicht in kompatiblen Laufraedern befinden
Es sei mir daher gestattet den Uebermut des Hamsters i*2*Pi etwas zu drosseln, zuerueckzudrehen. So dass dessen Zustand, Laufrad besser zu seinem Kollegen i*2*0 passt
Insbesonders wird kein komplexwertiger Hamsterfreund etwas dagegen haben wenn ich von dem uebermuetigen i*2*Pi Hamster einen Phasenwinkel 2*Pi entferne. Das tut ueberhaupt nicht weh denn am Zahlenwert dieses Hamsters wird dies absolut nichts aendern.
Lediglich an dessen Uebermut. Ein solcher ist aber eine rein philosophische Eigenschaft. Gibt es hierzu Einwaende ?

exp(i*2*0)=exp(i*2*Pi)=exp(i*(2*Pi-Uebermut) )
Uebermut des Hamsters 2 = 2*Pi =>
exp(i*2*0)=exp(i*0)
Beide Hamster unterscheiden sich scheinbar noch (2*0 und 0) Korrektur :
2*limes(x,x->0) und limes(x,x->0). Dennoch bin ich zuversichtlich, dass man bei beiden Hamstern nun eine Hamsterwurzel ziehen kann ohne dass sich ein Widerspruch ergibt :
exp(i*0)=exp(i*0/2)=exp(i*0)

1=1

Gruss
richy

[Benjamin]

Zitat von quick

Von der Logik her gesehen, habe ich aber bei dieser Rechnung ein Problem.
So wie sich aus

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)]
─ sqrt(6) ergibt,

müßte sich logischerweise aus
[+sqrt(-1)•[+sqrt(-1)]
─ sqrt(1) ergeben

Ja, das sehe ich auch so. Daher bevorzuge ich es, immer alle Lösungen einer Wurzel zu betrachten. Die Definition, die Wurzel einer reellen Zahl muss immer eine positive Zahl ergeben, ist für mich inkonsistent. Eben vor allem in Hinblick darauf, dass diese Definition für komplexe Zahlen fallengelassen wird.

[JoAx]

Zitat von Benjamin

Die Definition, die Wurzel einer reellen Zahl muss immer eine positive Zahl ergeben, ist für mich inkonsistent.

Ich weiss nicht.

16=2^4

Es gibt 3 unterschiedliche Wege die 16 mit |2| zu "erreichen":

[1] 2*2*2*2
[2] (-2)*(-2)*(-2)*(-2)
[3] 2*2*(-2)*(-2)

(Die unterschiedlichen "Erscheinungen" von [3] lassen wir mal weg)

Ist dadurch echt eine Information gewonnen?


Gruss

[Benjamin]

Zitat von JoAx

Es gibt 3 unterschiedliche Wege die 16 mit |2| zu "erreichen":
[...]
Ist dadurch echt eine Information gewonnen?

Wie in dieser Diskussion schon zutage kam, kommt es immer auf das Problem an, das es zu lösen gilt. Meine Erfahrung hat gezeigt, dass es zu fatalen Fehlern kommen kann, wenn man die Lösungen von Wurzeln vernachlässigt. Deutlich in Erinnerung habe ich da noch Eigenwertprobleme, also ein algebraisches Problem, wo alle Lösungen herangezogen werden müssen!