Einsteins Zwillingsexperiment verstehen

[Uli]

Zitat von SCR

Bis jetzt wußte ich noch gar nicht dass ich da einen Widerspruch sehe. Welcher ist es denn?

Der Widerspruch ist, wenn du obige Formel durch gamma dividierst, dann bekommst du eine Gleichung, die der unteren widerspricht.

Aber ich nehme alles zurück; ich dachte, da hätte es Klärungsbedarf gegeben. War wohl gar nicht der Fall.

Was quatsche ich hier eigentlich die ganze Nacht anstatt pennen zu gehen ?

Gruß,
Uli

[Timm]

Zitat von Timm
Bob1 und Bob2 starten gleichzeitig zum Zeitpunkt t1 und kehren gleichzeitig zum Zeitpunkt t2 zur Erde zurück, wo sie ihren gealterten Zwillingsbruder Bob3 begrüßen.

a) Bob1 reist über einen weit entfernten Umkehrpunkt (großer Wert für x)

b) Bob2 pendelt zwischen den Punkten x1 und x2, wobei x1<x2<<<x

Im RZD folgt Bob2 einer Zickzack Linie parallel zur t-Achse und nahe dieser und somit nahe der Erde. Haben idealisiert Bob1 und Bob2 gleiche Geschwindigkeiten, so stimmen die Anstiege und somit die Weglängen überein. Und beide haben am Ende der Reise verglichen mit Bob3 denselben Altersunterschied.

Zitat von Marco Polo

Hallo Timm,

mit ein wenig Verzögerung möchte ich die Erklärung jetzt nachholen.
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Hallo Marc,

erst mal guten Morgen nach der langen Nacht! Es tut mir leid, daß ich so spät reagiere. Ich mußte einiges überdenken und außerdem wollte ich die Stellungnahme von Herrn Beyvers abwarten, dem Co-Autor des Buches "Kleines 1x1 der Relativitätstheorie", das ich sehr schätzen gelernt hatte.

Zunächst zum Gleichzeitigkeitsbegriff, vielen Dank für die Erläuterungen. Aber ich fürchte, daß vielleicht meine Frage nicht präzise war. Den Begriff als solchen kenne ich wohl, mir war aber nicht klar, wie Du mit "ständig wechselnden Gleichzeitigkeitsbegriff" zu ungleicher Alterung kommst:

Während Bob2 nur beim Umkehrpunkt sein Inertialsystem wechselt, tut dies Bob1 durch seinen Zickzackkurs mehrfach. Beide unterliegen einem sich ständig wechselnden Gleichzeitigkeitsbegriff.

Wie soll dabei der gleiche Altersunterschied herauskommen?

Entscheidend für den Vergleich der Eigenzeiten von Bob1 und Bob2 ist doch vielmehr die Frage, ob sie mit gleicher Geschwindigkeit gleichlang unterwegs waren.

Jetzt zu meine Anfrage an Herrn Beyvers:

Nun zu einer das Zwillingsparadoxon betreffenden Frage, bei der Sie sicherlich weiterhelfen können. Es ist klar, daß die Eigenzeit des Reisenden von seiner Geschwindigkeit und damit von der Länge seiner Weltlinie abhängt. Läßt sich das aber so verallgemeinern, daß folgende Aussage zutrifft:

Die Eigenzeit des reisenden Zwillings wird ausschließlich von der Länge seiner Weltline bestimmt, ist also unabhängig von der Zahl der Umkehrpunkte, bzw. Richtungsänderungen.

Im Raum-Zeit-Diagramm Abb. 20 kehrt B am Ort U um, wo er den maximalen Abstand von der Erde erreicht hat. B könnte aber auch in Erdnähe zwischen 2 Punkten pendeln, sodaß seine Weltlinie eine Zick-Zack Kurve parallel zu der der Erde wäre. Gleiche Geschwindigkeit vorausgesetzt, hat die Zick-Zack Weltlinie die gleiche Länge wie die der Reise über U. Schließlich könnte B teils schneller, teils langsamer als in Abb. 20 fliegen, wiederum unter Beibehaltung der Länge der Weltlinie.

Antwort von Gottfried Beyvers:Nun zu Ihrer Frage: Wenn Sie wirklich den Geschwindigkeitsbetrag konstant halten und an den Umkehrpunkten keine Beschleunigungsphasen einplanen, dann bleibt bei einer Zickzackreise die Weltlinie des Reisenden aus Symmetriegründen gleich lang. Für eine Zickzackreise mit infinitesimal kleinen Flugstrecken gilt das aber nicht mehr, denn dann wären ja die Weltlinie des ruhenden Zwillings und die des reisenden identisch.

Wenn Sie die Geschwindigkeit (auch auf nur einer Teilstrecke) aber ändern, ergibt sich eine andere Länge der Weltlinie im Diagramm! Denn für jede "neue" Geschwindigkeit müßten Sie sich ja auch eine andere Eichhyperbel zeichnen, denn diese legt ja die Länge der Weltlinie fest. Und hier besteht in Minkowski-Diagrammen leider kein linearer Zusammenhang. Berechnen kann man die Länge der Weltlinie im Diagramm aber natürlich auch im allgemeinen Fall wechselnder Geschwindigkeiten trotzdem, wie z.B. in Sexl/Schmidt: "Raum - Zeit - Relativität", Seite 112-113 gezeigt wird.

Fazit: Die Weltlinie bei wechselnder Geschwindigkeit ist in der Raumzeit für eine bestimmte Eigenzeit schon immer gleich lang, aber nicht im Minkowski-Diagramm. Das ist eines seiner Nachteile.

Damit sind u.a. auch die Grenzen des Minkowski-Diagramms aufgezeigt.

Es kann nun also Bob2 zum Orionnebel (eines meine Liebligsobjekte im Teleskop) fliegen während Bob1 mit gleicher Geschwindigkeit seinen Zick-Zack Kurs in Erdnähe wählt. Der eine wird mit diesem prächtigen Anblick belohnt, der andere erlebt im Zeitraffer die Nachrichten von der Erde, die im ZZ Takt blau und rotverschoben bei ihm ankommen. Bei gleichzeitiger Rückkehr sind beide gleich alt.

Das ganze ist wirklich nur streng idealisiert zu betrachten. Sobald man auch nur geringste Beschleunigungen zuläßt, schaukeln sich deren Folgen natürlich bei Bob1 um ein vielfaches stärker als bei Bob2 auf. Vielleicht hat Dich das gestört.

Ich stimme Dir natürlich zu, ich sollte die Situation mit einer Zeichnung veranschaulichen. Inzwischen habe ich Tipps von Eugen und Lorenzy, aber ich habe es noch nicht geschafft, auch ein Grund, warum ich so spät reagiere. Falls einer von Euch so ein Diagramm schon mal machen könnte, wäre das super. Wichtig ist, daß die Zick-Zack-Abschnitte der Weltlinie von Bob1 parallel zum jeweiligen Abschnitt der Weltlinie von Bob2 sind. Denn nur dann fliegen beide mit gleicher Geschwindigkeit.

Marc, aus meiner Sicht ist dieser - nahe der Erde Zwilling - eine interessante Ergänzung zur klassischen Variante, aber diese Ansicht muß man natürlich nicht teilen. Hoffentlich sind wir jetzt beisammen,

Gruß, Timm

[JoAx]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

Inzwischen habe ich Tipps von Eugen und Lorenzy, aber ich habe es noch nicht geschafft, auch ein Grund, warum ich so spät reagiere. Falls einer von Euch so ein Diagramm schon mal machen könnte, wäre das super.

Webspace ist nicht immer erforderlich, nur wenn es eine grössere Datei ist, oder du es wie Eugen im Text gross unterbringen willst. Wenn das nicht sein muss, dann kannst du eine Graphik auch direkt von deinem Computer hochladen, über "Anhänge verwalten", beim erstellen deines Beitrages. Das ist der rot markierte bereich im Bild.

Wenn du es aber so wie Eugen machen willst, dann kannst du das Bild z.B. hier:

http://www.file-upload.net/

hochladen, und den Link, der zu dem Bild führt, im Text einfügen. Wichtig ist, dass du den grün markierten Knopf dazu benutzt. Experementiere halt munter weiter. Dann klappt auch so was:

ict-Diagramm_4.jpg

mit Anhängen.


Gruss, Johann

[Timm]

Zitat von JoAx

Experementiere halt munter weiter. Dann klappt auch so was:

Danke, Johann, auch für Deinen Beistand!
Ich werde dran bleiben und nicht locker lassen.
Es ist halt bei mir auch eine Altersfrage.

Jedenfalls hast Du das Diagramm super hingekriegt. Man sieht, daß Bob1 und Bob2 gleiche Geschwindigkeiten und gleich lange Weltlinien haben.

Gruß, Timm

[Bauhof]

Zitat von EMI

Jeder kann jetzt für sich überlegen, ob nun die beschleunigten oder unbeschleunigten Phasen den wesentlichen Ausschlag geben.

Hallo EMI,

die unbeschleunigten Phasen geben den wesentlichen "Ausschlag". Die beschleunigten Phasen können vernachlässigt werden, sie sind unwesentlich für das Zustandekommen der Altersunterschiede der Zwillinge bzw. der Drillinge. Eckhard Rebhan schreibt dazu in Kapitel 19.5.3 auf Seite 795 seines Buches [2] folgendes:

Man könnte nun vermuten, dass dem Effekt der SRT auch noch Effekte der ART überlagert sind. Wir werden später allerdings sehen, dass das nur der Fall ist, wenn Schwerefelder überlagert sind, ansonsten bleiben die oben angestellten Überlegungen richtig [1]. Man kann sich aber auch schon, ohne Genaueres über ART-Effekte zu wissen, darüber klar werden, dass diese bei einer langen Raumfahrt keine Rolle spielen. Um das einzusehen, nehmen wir an, für den Zwilling auf der Erde sei die Dauer einer Beschleunigungsphase Δt, für den im Raumschiff unter Einbezug von ART-Effekten Δt'. Aus der Homogenität der Zeit folgt, dass der Quotient Δt'/Δt nur von der Art des Beschleunigungsprozesses abhängt, nicht aber von dem Zeitpunkt, zu dem er durchgeführt wird. Die Raumfahrt enthält vier gleichartige Beschleunigungsprozesse (die Geschwindigkeit des Raumschiffes geht von
0 → v → 0 → ─v → 0). Damit ergibt sich als Altersunterschied der Zwillinge

D = (T - T') + 4(Δt - Δt').

Der Anteil T - T' wächst mit der Dauer der Raumfahrt, während der Anteil 4(Δt - Δt') konstant ist. Er kann durch ein Differenzexperiment zum Verschwinden gebracht werden; in einem Einzelexperiment wird er vernachlässigbar, wenn die Raumfahrt hinreichend lange dauert. Für unsere weiteren Überlegungen machen wir die letzte Annahme.
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[1] Der Fall unendlich hoher oder extrem hoher Beschleunigungskonzepte, die so große Treibstoffvorräte voraussetzen, dass deren Gravitationsfeld nicht mehr vernachlässigt werden darf, muss ausgeschlossen werden.

Ein "Differenzexperiment" im Sinne von Rebhan ist z.B. das Drillingsexperiment. Wenn bei den beiden reisenden Drillingen (in meinem Beispiel Adam und Claus) die Beschleunigungsphasen gleich sind, dann verschwinden diese im Vergleich und es bleibt nur der Altersunterschied zwischen Adam und Claus übrig, die sich aus dem Vergleich der unbeschleunigten Phasen ergibt.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[2] Eckhard Rebhan
Theoretische Physik. Band 1:
Mechanik, Elektrodynamik, Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie, Kosmologie.
Heidelberg 1999. ISBN=3-8274-0246-8
http://www.science-shop.de/artikel/763001

[EMI]

Zitat von Bauhof

Hallo EMI,
die unbeschleunigten Phasen geben den wesentlichen "Ausschlag".

Hallo Bauhof,

ich denke das war soweit klar.
Nur...
Nur dann, wenn es überhaupt unbeschleunigte Phasen gibt.
Und nicht zu vergessen, ohne beschleunigte Phasen gibt es überhaupt keinen Altersunterschied der festgestellt werden kann.

Gruß EMI

[möbius]

Zitat von SCR

1. @möbius: Nicht zu vergessen der U(h)rknall

2. Aber dazu etwas ernsthafter:
Mit dem Urknall entstand die Zeit - Und damit die ZD. Teilchen / Materie wurde(n) seitdem unterschiedlich stark beschleunigt, kollidierten, sammelten sich zu größeren Massen an, wurden zum Teil durch Super-Novae erneut getrennt und unterschiedlich beschleunigt, trieben dann wieder eine ganze Weile antriebslos im All, ...

3. Betrachtet man in der Realität aktuell zwei Teilchen / zwei Objekte kennt man deren "komplette Historie seit dem Urknall" nicht - Von daher muss man sie erst einmal zeitlich zueinander synchronisieren (hinsichtlich Ganggeschwindigkeit - nicht Stand der Uhrzeit) = Sie müssen IMHO zumindest zu Beginn zueinander ruhen.

Zu 1.:
Ja ja, immer die "Sache" mit der Zeit ...Na, vielleicht klärt sie sich ja mit der Zeit ...
Zu 2.:
Wenn es die Urknall-Singularität so gab, wie es das entsprechende kosmologische Modell vermutet, entstand mit dem Urknall die chronologische Zeit mit den uns bekannten 3 Zeit-Modi "Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft", deren Trennung/Scheidung Meister EINSTEIN allerdings für eine "hartnäckige Illusion" hielt...
Zu 3.:
Dieses Problem interessiert mich aus meiner unmaßgeblichen philosophischen Perspektive nicht - sollen sich halt die Physiker mit rumschlagen ...
Vielleicht finden sie ja eine sog. "Lösung"...
Gruß, möbius

[Bauhof]

Zitat von Uli

Es ist immer kontraproduktiv und total unwissenschaftlich, mit irgendwelchen Formeln um sich zu werfen, ohne die Notation und die Bedeutung zu erklären (was wird beschrieben).

Hallo Uli,

das sehe ich auch so. Nun zu den "Differenzen" zwischen dir und Marc:

Wenn sich das Inertialsystem Y' relativ zum Inertialsystem Y mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann transformieren sich die Abstände x und Zeiten t gemäß den Lorentz-Transformationen aus Sicht eines Beobachters, der im Inertialsystem Y ruht, zu x' und t' wie folgt:

(1) x' = (x ─ vt) / sqrt(1 ─ v²/c²)
(2) t' = (t ─ vx/c²) / sqrt(1 ─ v²/c²)

Die Sicht eines Beobachters, der im Inertialsystem Y' ruht, kann man aus (1) und (2) dadurch herleiten, wenn man v durch ─v ersetzt und die Apostrophe von der linken Seite auf die rechte Seite transportiert:

(3) x = (x' + vt') / sqrt(1 ─ v²/c²)
(4) t = (t' + vx'/c²) / sqrt(1 ─ v²/c²)

(3) und (4) sind die inversen Transformationen zu (1) und (2). Diese ergeben sich, wenn sich das Inertialsystem Y relativ zum Inertialsystem Y' mit der Geschwindigkeit -v in der x'-Richtung bewegt.

Ist das korrekt? Vielleicht kannst du dich anhand der inversen Transformationen mit Marc darüber einig werden, wer recht hatte oder ob ihr beide recht hattet. Daraus könnten alle Forenteilnehmer wieder etwas lernen. Denn ich möchte hier nicht als Schiedsrichter fungieren, denn das wäre mehr als tollkühn. Da würde ich vermutlich von euch beiden Prügel beziehen...

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[SCR]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

Verstehe ich nicht ganz: Temperatur, bestimmte Anregungszustände - Alles in meinen Augen eine Frage der Skalierung eines Minkowski-Diagramms.
Welche Bewegungsazustände meint Beyvers die infinitesimal klein werden?

Und um meinem Ruf gerecht zu werden :

[...] , um den verwirrenden Ausführungen von SCR und Gandalf zu begegnen.

Richtig oder falsch?
Jede (positive) Beschleunigung kann auch als Phase relativ höherer Geschwindigkeit gedeutet werden - v ist dabei eben nur nicht konstant. Aber auch hier bedeutet ein höheres v eine höhere ZD. Es hängt alleine vom Einzelfall ab ob diese Phase nun bei quantitativen ZD-Betrachtungen vernachlässigbar ist oder nicht (insbesondere Dauer der Phase im Vergleich zu anderen).

[EMI]

Zitat von Bauhof

Denn ich möchte hier nicht als Schiedsrichter fungieren...

Zitat von SCR

Von einem ruhenden System aus betrachtet ist:

∆t = ∆t' γ

Das bedeutet, dass dem ruhenden Beobachter die Intervalle gedehnt erscheinen.
Eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Uhr, geht vom ruhenden Standpunkt aus betrachtet, langsamer.

Das selbe Resultat findet der andere Beobachter, was durch relativistische Vertauschung (nicht etwa durch Auflösung nach ∆t') folgt:

∆t' = ∆t γ

Relativistische Vertauschung:
Die gestrichenen Größen folgen aus den nichtgestrichenen(und umgekehrt), wenn gleichzeitig die Geschwindigkeit das Vorzeichen ändert.

Gruß EMI

Nachsatz:
∆t = ∆t' γ
∆t/γ = ∆t'
∆t' = ∆t/γ
ist natürlich auch richtig! Nur gibt es hier keine Änderung!
Nur durch Austausch(relativistische Vertauschung) der Standpunkte erfolgt eine Änderung.