Kollision trotz parallelem Kurs?

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Und wenn der relevante mittlere Bereich eines Torus noch etwas 'breiter' ist, dann können sogar mehrere Geodäten dort nebeneinander parallel verlaufen.

Erstens ist die skizzierte Fläche kein Torus.

Zweitens muss man die Gaußsche Krümmung lokal bestimmen durch den Kehrwert der Radien der Schmiegekreise:

K = 1/(R1*R2)

Im vorliegenden Fall ergibt sich wegen +R1 und -R2 zweifellos eine negative Krümmung.

Gr. zg

[SCR]

[Bauhof]

Zitat von SCR

Hallo SCR,

was willst du uns damit sagen? War das eine Antwort auf den Beitrag des Zeitgenossen?

M.f.G. Eugen Bauhof

[SCR]

Hallo Bauhof,

Zitat von Bauhof

was willst du uns damit sagen?

Das ich was zu sagen hätte.

Zitat von Bauhof

War das eine Antwort auf den Beitrag des Zeitgenossen?

Dementsprechend: Formell gesehen Ja, inhaltlich Nein.

[SCR]

So, jetzt habe ich mich - glaube ich - lange genug zusammengerissen :

Die Topologie des SCR - auch bekannt als die Topologie des langen Quadrats (in memory to EMI ):

Wir haben eine Kugel. Eine Kugel ist ein Batzen. Egal welche Form dieser Batzen hat: Ballförmig, Eiförmig, ausgerollt wie eine Wurst, ... - Er ist in Summe immer positiv gekrümmt.

Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen". Da der "Kein Batzen" das Gegenteil von einem "ein Batzen" ist ist er negativ gekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit einem "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit einem Loch.
Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen des "Kein Batzen" zu Null -> Ein Batzen mit ein Loch ist in Summe ungekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit zwei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit zwei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (einfach) negativ gekrümmt.

Kombiniere ich einen Batzen mit drei "Kein Batzen" erhalte ich einen Batzen mit drei Löchern. Dabei summieren sich die Krümmungen des "Ein Batzen" mit denen der "Kein Batzen" zu einem negativen Ergebnis -> Ein Batzen mit zwei Löchern ist in Summe (zweifach) negativ gekrümmt.

...

Und alle Batzen mit Löchern kann ich mir mit einer Schnur an die Wand hängen.

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Ich bitte um Korrektur falls hier etwas Falsches steht.

[Marco Polo]

Zitat von SCR

Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen".

..........

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Wir haben eine Kugel. Eine Kugel ist ein Batzen. Egal welche Form dieser Batzen hat: Ballförmig, Eiförmig, ausgerollt wie eine Wurst, ... - Er ist in Summe immer positiv gekrümmt.

Topologisch gesehen ist eine Wurst homöomorph, d.h. bezüglich der Form gleichwertig zu einer Kugel, einer Birne, einem Brot, einer Münze usw.

In Bezug auf die Metrik ist es allerdings so, dass - wenn die Wurst wie ein Zylinder aussähe -, in diesem Fall eine euklidische Geometrie existent wäre. Denn Zylinderoberflächen lassen sich besonders einfach auf einer Ebene abrollen und umgekehrt aus einem Rechteck herstellen. Sie erben damit die euklidische Metrik und besitzen demzufolge die Krümmung k = 0.

Der Rest deines Elaborats ist bei etwas Grosszügigkeit bezüglich der Terminologie i.o.

Um zu - im Kontext - sauberen Bergriffen zu gelangen, solltest du dich auch mit den Betti-Zahlen befassen.

Gr. zg

[Marco Polo]

Zitat von zeitgenosse

Topologisch gesehen ist eine Wurst homöomorph, d.h. bezüglich der Form gleichwertig zu einem...Brot...

Hmm...bin gespannt, ob mein Mezger das ähnlich sieht...

[SCR]

Hallo zg,

Zitat von zeitgenosse

In Bezug auf die Metrik ist es allerdings so, dass - wenn die Wurst wie ein Zylinder aussähe -, in diesem Fall eine euklidische Geometrie existent wäre. Denn Zylinderoberflächen lassen sich besonders einfach auf einer Ebene abrollen und umgekehrt aus einem Rechteck herstellen. Sie erben damit die euklidische Metrik und besitzen demzufolge die Krümmung k = 0.

Interessanter Hinweis - Danke zg.
Denn da muß irgendetwas falsch sein ...
Ich denke, ich weiß auch was: Du unterschlägst die Seitenflächen des Zylinders.
Es handelt sich um Kreisscheiben. Ausgebeult zwei Halbkugeln. Ergeben zusammengesetzt eine Kugel = positiv gekrümmt. In Summe mit der ungekrümmten Mantelfläche sollte ein Zylinder deshalb ebenfalls insgesamt eine positive Krümmung aufweisen - IMHO.
Aber ich lasse es mir noch einmal durch den Kopf gehen.

Zitat von zeitgenosse

Um zu - im Kontext - sauberen Bergriffen zu gelangen, solltest du dich auch mit den Betti-Zahlen befassen.

Meine Begriffe sind sauber da eindeutig und allgemein verständlich - Ich verstehe die Kritik nicht .
Betti-Zahlen - Noch nie gehört. Mal anschauen ...

EDIT: Was gefunden

Zitat von http://www.mpim-bonn.mpg.de/digitalAssets/5648_2002.pdf

Die Homologie und Kohomologie sind Hilfsmittel zur Beschreibung komplizierter mathematischer Objekte, wie zum Beispiel topologischer Räume. Es begann mit der Theorie der Bettizahlen (benannt nach dem italienischen Mathematiker Betti), wo man Mannigfaltigkeiten gewisse charakteristische Zahlen zuordnete. Zum Beispiel sind die Bettizahlen (in Graden Null bis Zwei) eines Torus (die Oberfläche eines Ringes) 1,2,1: Der erste Wert 1 bedeutet, dass der Torus zusammenhängend ist, der dritte Wert 1 Orientierbarkeit, also dass man Innen- und Außenfläche unterscheiden kann. Die 2 kommt davon, dass es zwei linear unabhängige Wege gibt, nämlich die Umläufe um den Umfang des Ringes und um den kreisförmigen Querschnitt. Jeder andere geschlossene Weg auf dem Torus lässt sich in eine lineare Kombination dieser beiden deformieren (Abb. 1). Die Bettizahlen erlauben das Unterscheiden verschiedener topologischer Mannigfaltigkeiten: Der Torus ist äquivalent zu einer Kugel mit einem Henkel, das heißt, er kann in eine solche kontinuierlich deformiert werden. Für eine Kugel mit zwei Henkeln lauten die Bettizahlen 1,4,1, sie ist also nicht zum Torus äquivalent. Dies ist zwar anschaulich plausibel, doch reicht dies nicht, um die Möglichkeit einer eventuell sehr raffinierten Konstruktion einer Deformation auszuschließen.

Mal sehen ...

[Bauhof]

Zitat von SCR

Ich denke, ich weiß auch was: Du unterschlägst die Seitenflächen des Zylinders.
Es handelt sich um Kreisscheiben. Ausgebeult zwei Halbkugeln. Ergeben zusammengesetzt eine Kugel = positiv gekrümmt. In Summe mit der ungekrümmten Mantelfläche sollte ein Zylinder deshalb ebenfalls insgesamt eine positive Krümmung aufweisen - IMHO. Aber ich lasse es mir noch einmal durch den Kopf gehen.

Hallo SCR,

Die Seitenflächen des Zylinders gehören in topologischer Hinsicht nicht dazu. Warum? Du kannst den Zylinder nicht aufrollen, ohne dass Risse an den "Seitenflächen" entstehen.

Die Argumentation des Zeitgenossen ist in dieser Hinsicht m.E. völlig korrekt.

M.f.G. Eugen Bauhof