Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[SCR]

Zitat von JoAx

Ist dadurch echt eine Information gewonnen?

Oder im Umkehrschluß: Ansonsten verloren?

Zitat von SCR

Plus und Minus ... in der Physik haben die doch eigentlich nur die Bedeutung von "entgegengesetzt" - Oder? (Wobei keines der beiden ausgezeichnet wäre?)
Entgegengesetzte Richtung, Wirkung, Ladung, ...

Zitat von richy

Jeder Punkt darauf stellt eine komplexe Zahl dar. Der Ortsvektor, die Verbindung des Punktes mit dem Nullpunkt bildet mit der Re-Achse einen vereinbarten Winkel phi. Eine Richtung. Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen.

Hat jede Zahl "eine Richtung"?
Besser gesagt: Kann jede Zahl für sich betrachtet "unterschiedliche Richtungen" im Sinne einer Eigenschaft aufweisen? (In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -)
Und ohne Berücksichtigung dieser Richtung (bzw. differenzierte Betrachtung der Richtung) wird es mehrdeutig?
Um die Mehrdeutigkeit zu vermeiden kann man willkürlich eine Festlegung treffen ... Eigentlich ist das aber dann keine Festlegung zu deren Vermeidung sondern nur zum Umgang mit einer solchen - Oder sehe ich das falsch?

[Hawkwind]

Zitat von JoAx

Ist dadurch echt eine Information gewonnen?
Gruss

Bei Gleichungen geht es eher darum, bei den Umformungen keine Lösungen zu verlieren. Das ist gewährleistet, solange man Äquivalenzumformungen durchführt.
Mulitiplikation beider Seiten einer Gleichung mit 0 oder auch das Ziehen der positiven Wurzel aus beiden Seiten einer Gleichung sind keine Äquivalenzumformungen.

auch
http://www.lern-online.net/mathematik/pdf/umformung.pdf

[Benjamin]

Zitat von richy

Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen.

Das sehe ich nicht so. Ein Vorzeichen sagt uns etwas über die Orientierung. Der Winkel phi in der Polardarstellung ist aber eine Koordinate. Die komplexe Ebene stellt bezüglich Addition und Multiplikation einen Vektorraum dar, und zwar einen zweidimensionalen. Für einen zweidimensionalen Vektorraum bedarf es zwei linear unabhängiger Vektoren, die zwei Koordinaten definieren. Im Falle der komplexen Ebene wären dies zB. 1 und i. Wenn wir kartesische Koordinaten wählen, können wir jeden Punkt P im Raum über x und y definieren:

P = 1*x + i*y

Wir können aber auch Polarkoordinaten wählen, anstatt x und y bekommen wir dann r und phi. In dem Sinne spannt phi eine Dimension des Vektorraumes auf und ist daher grundsätzlich verschiedenen von einem Vorzeichen.

Das Vorzeichen erweitert unsere Zahlenmenge und sorgt für ein inverses Element bezüglich der Operation Addition. Invers heißt, dass man aus jedem Element der Menge das so genannte Nullelement machen kann. Um aus der Zahl 3 eine 0 zu machen, bedarf es der Zahl -3. Wir können damit außerdem jedes Element der Menge durch addieren bekommen und erlangen auch Abgeschlossenheit. Wir können weitere Operationen definieren, ohne dass diese Eigenschaft verloren geht, zB. Multiplikation und Division.
Abgeschlossenheit verlieren wir aber, wenn wir die Wurzel als inverse Operation zum Potenzieren definieren. Erst eine Erweiterung der Dimension unseres Zahlenraumes erlaubt es, dass die möglichen Ergebnisse dieser Operation wieder Teil unserer Ausgangsmenge sind. Dafür verlieren wir aber Eindeutigkeit, ein Phänomen, das bis dato nicht existierte. D.h. eine Operation führt zu mehreren Ergebnissen.

Es zeigt sich also, dass gewisse Forderungen an eine Operation (wie Abgeschlossenheit,...) die Menge erweitern. Bei der Addition gelangten wir dadurch zu den negativen Zahlen. Die Wurzel führt uns zu den komplexen Zahlen.

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

Ich meine das waere keine gute Betrachtungsweise.

"i" und Operator hatte ich nur noch schwach im Hinterkopf, deshalb habe ich jetzt explizit danach gegoogelt. Siehe z.B. hier.

"Der Operator i identifiziert den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Er bedeutet eine Drehung
um 90◦ (π/2) im mathematisch positiven Sinn gegen die reelle Achse, für die der Phasenwinkel
φ = 0 ist. Diese Drehung um 90◦ bringt uns von der reellen zur imaginären Achse.
Merkregel: i meint senkrecht (zur reellen Achse).
Zweimalige Anwendung des Operators i(iy) = i2y = −y bedeutet eine zweimalige Drehung
um 90◦, also insgesamt eine Drehung um 180◦ (oder π) und daher
i2 = −1,
was mit der ursprünglichen Definition i = √−1 konsistent ist. Entsprechend ist i3 = −i
(Drehung um −90◦) und i4 = 1 (Drehung um 0 mod(2π))."

Zitat von richy

Aber welche Operation verwendest du dann um sqrt[(i²)*(i²)] auszuwerten ?

Man hätte ja entsprechend dem Beispiel von Eugen sqrt[(i²)*(i²)*irgendwas_reelles] , erlaubt wäre dann die "Separierung" in
sqrt[(i²)*(i²)]*sqrt(irgendwas_reelles) == i²*sqrt(irgendwas_reelles)
== -1 * sqrt(irgendwas_reelles)

Ein Ergebis also wieder mit Plus und Minus.

mfg
quick

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

1=1 ist eine gueltige Aussage, aber ich befuerchte dennoch, dass die beiden EMI Hamster sich nicht in kompatiblen Laufraedern befinden
Es sei mir daher gestattet den Uebermut des Hamsters i*2*Pi etwas zu drosseln, zuerueckzudrehen. So dass dessen Zustand, Laufrad besser zu seinem Kollegen i*2*0 passt

Zur Entspannung, -lies mal diese Geschichte....

mfg
quick

[JoAx]

Zitat von Hawkwind

Bei Gleichungen geht es eher darum, bei den Umformungen keine Lösungen zu verlieren. Das ist gewährleistet, solange man Äquivalenzumformungen durchführt.
...

Das ergibt Sinn, für mich. Danke.

Gruß, Johann

[richy]

Zitat von SCR

(In diesem Falle dürfte es aber z.B. die Zahl -1 gar nicht geben sondern nur die Zahl 1 mit der Eigenschaft + oder -)

So kann man das schon sehen: Zahl= Betrag einer Zahl*Vorzeichen, z=|r|exp(i*phi)

Um die Mehrdeutigkeit zu vermeiden kann man willkürlich eine Festlegung treffen

Man will die Mehrdeutigkeit nicht immer vermeiden. Eine quadratische Gleichung hat zwei Loesungen.

Zitat von Benjamin

Ein Vorzeichen sagt uns etwas über die Orientierung. Der Winkel phi in der Polardarstellung ist aber eine Koordinate.

Eine Koordinate, die eine Richtung, Orientierung vorgibt. Die Ausgangsfrage war wie man sich die imaginaere Einheit i vorstellen soll. Klar, eine komplexe Zahl ist ein Vektor. Daran aendert auch die Darstellung nichts.
Aus a+i*b ist die Orientierung nicht sofort erkenntlich. In der Darstellung |r|exp(i*phi) gibt der Winkel phi diese direkt an. Ob man dieses nun als Vorzeichen betrachtet bleibt jedem ueberlassen.
Fuer -i, i, -1, 1 ergeben sich fuer phi jedenfalls spezielle Werte (mehrdeutig).

@quick

Zitat von quicks Link

"Der Operator i identifiziert den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Er bedeutet eine Drehung"

Zitat von richy

Ok, zusammen mit der Multiplikation stellt i einen Operator dar. Eine Drehung um 90 Grad in der komplexen Ebene.

In deinem Link wird i staendig als Operator bezeichnet. Ob eine staendige Wiederholung aus dem Vorzeichen -1 alleine einen Opereator macht ? Naja, Hauptsache ist, dass man weiss wie man operiert.

Und das Hamsterbeispiel hat nochmals gezeigt wo der Hase bei dem zitierten Widerspruch begraben liegt.
(-1)^2 =1. Hier geht die Information ueber das urspruengliche Vorzeichen verloren.
exp(i*2*Pi). In dieser Schreibweise bleibt das Ausgangsvorzeichen im Winkel erhalten.

Wurzel(exp(i*2*Pi))=-1
Wurzel(exp(i*2*0))=1

Es kommt nun darauf an welche Vereinbarungen man trifft.
Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich :
(+2)² = (-2)²


Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

In deinem Link wird i staendig als Operator bezeichnet. Ob eine staendige Wiederholung aus dem Vorzeichen -1 alleine einen Opereator macht ? Naja, Hauptsache ist, dass man weiss wie man operiert.

Ja, die Bezeichnung von i als Operator ist etwas überzogen. dann wäre auch die Zahl 3 eine Operator, denn auf das Objekt 4 angewendet, erzeugt sie eine 12. i entsteht aus einer Verallgemeinerung der reellen Zahlen; es ist also eine Zahl.

Zitat von richy

Aus komplexer Sicht ist bereist folgende Aussage falsch,denn nur der Betrag ist gleich :
(+2)² = (-2)²

Diese Gleichung ist sicher nicht falsch, richy ... ganz gleich, welche Sicht du auch wählst.

[richy]

Hi Hawkwind
(+2)² = (-2)²

Diese Gleichung ist sicher nicht falsch, richy ... ganz gleich, welche Sicht du auch wählst.

Wenn ich die Potenzierung ueber den komplexen Logarithmus durchfuehre erhalte ich :
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
4*exp(i*2*0)^2=4*exp(i*2*Pi)
Der Betrag ist gleich, aber nicht das Argument : 0<>2*Pi
Es ist mir natuerlich klar, dass beides das positive Vorzeichen repraesentiert.
Dass beides dennoch nicht identisch ist siehst du wenn du die Wurzel ziehst.

Das ist letztendlich die Erklaerung des diskutierten Beispiels :
(Wobei man eine andere Vorgehensweise verwendet)



Oder wie wuerdest du obige (Un) Gleichung interpretieren ?
Wuerde man sich dort stets an den komplexen ln() halten ware die Sachlage eindeutig.
Bereits die Umformung Wurzel(1)=Wurzel((-1)*(-1)) waere falsch.

Praktisch betrachtet man das mehrdeutige Argument als "Fehler" um nicht die ganze Algebra umbauen zu muessen. Denn bei den reellen Zahlen geht die Information ueber den urspruenglichen Winkel verloren. Im Grunde ist dieser Informationsverlust der "Fehler". Es ist aber praktischer im komlexen die Regel zu formulieren, dass Vergleiche nur auf dem selben Ast des ln() sinnvoll sind, anstatt die ganze Algebra umzubauen. Man dreht den Hamster zurueck und dann passt es ebenso.

Man kann in der Grundschule ja nicht ploetzlich argumentieren. "Kinder aufgrund der komplexen Zahlen ist ab sofort minus mal minus nicht mehr plus sondern exp(i*2Pi)"

[Hawkwind]

Zitat von richy

Hi Hawkwind
(+2)² = (-2)²

Wenn ich die Potenzierung ueber den komplexen Logarithmus durchfuehre erhalte ich :
4*exp(i*0)^2=4*exp(i*Pi)^2
4*exp(i*2*0)^2=4*exp(i*2*Pi)
Der Betrag ist gleich, aber nicht das Argument : 0<>2*Pi
Es ist mir natuerlich klar, dass beides das positive Vorzeichen repraesentiert.
Dass beides dennoch nicht identisch ist siehst du wenn du die Wurzel ziehst.

Das ist letztendlich die Fehlerquelle im diskutierten Beispiel :



Oder wie wuerdest du obige Gleichung interpretieren ?

Praktisch betrachtet man das mehrdeutige Argument als "Fehler" um nicht die ganze Algebra umbauen zu muessen. Denn bei den reellen Zahlen geht die Information ueber den urspruenglichen Winkel verloren. Im Grunde ist dieser Informationsverlust der "Fehler". Es ist aber praktischer im komlexen die Regel zu formulieren, dass Vergleiche nur auf dem selben Ast des ln() sinnvoll sind. Man schraubt das Argument zurueck.

Richy, was da steht, das ist eine triviale Identität 2er reeller Zahlen:
(+2)² = (-2)²

und die ist 100%ig äquivalent zu
4 = 4

Wenn du nun anfängst, beide Seiten zu potenzieren oder komplexe Wurzeln zu ziehen, dann musst du natürlich "aufpassen"; das sind ja keine Äquivalenzumformungen. Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder?

Gruß,
Hawkwind