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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 04.10.09, 10:33
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Standard Math - Polya und Primzahlen

Hi
Im Thread "Wasserwellen..." hat Timm auf interessante Aspekte zum Thema Primzahlzwillinge, "n-linge" von Polya und Lehmer aufmerksam gemacht. Ich wuerde die Diskusion an dieser Stelle gerne weiterfuehren.
Ich hoffe Timm hat nichts dagegen wenn ich den Gegenstand derselben, den Timm mir per PN gesendet hat, hier zitiere :

Zitat:
Zitat von Prof. Oskar Herrmann
Sei X eine "große" Schranke, n eine eine ganze Zahl mit 0<n<X. d eine "kleine" ganze Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, daß n oder n+d durch p teilbar ist, ist jeweils 1/p. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine dieser beiden Zahlen durch p teilbar ist,

2/p, falls p die Differenz nicht teilt.
bzw. 1/p, falls p die Differenz teilt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß p keine der beiden Zahlen teilt ist also

(p-2)/p bzw. (p-1)/p.

Wir definieren:

W(p,D) = (p-2)/p, falls p kein Teiler von D ist.
W(p,D) = (p-1)/p, falls p ein Teiler von D ist.

Diese Überlegung stellen wir für alle Primzahlen
{2, 3, 5, 7, ..., P}
an. Haben wir nur wenige Primzahlen, dann ist dieWahrscheinlichkeit, daß n und n+D durch keine unsererPrimzahlen teilbar ist, das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.

Das bedeutet: Die Anzahl der Paare (n, n+D), wo keine Zahl durch eine "kleine" Primzahl teilbar ist, ist

W(2,D)*W(3,D)* ... *W(P,D) * X

Hier sehen wir, daß D eine gerade Zahl sein muß, sonst erhalten wir ein triviales Resultat.

Bis zu dieser Stelle war alles korrekt beweisbar.

Wir interessieren uns nun für Primzahlzwillinge mit der Differenz D.Bei festem P und wachsendem X wächst obige Funktion linear an,Sie ergibt also ein Resultat, das größer ist als die Anzahl derZwillinge. Bei festem X und wachsendem P, wenn wir alsoimmer mehr Primzahlen nehmen, konvergiert das Produkt gegen Null.Wir erhalten also ein zu kleines Resultat, wenn wir zuviele Faktorenhaben. Das bedeutet, daß bei richtiger Kopplung von P und X man dieAnzahl der Primzahlzwillinge mit der Differenz D erhält.

Es ist aber nicht bewiesen, wie man P und X zu koppeln hat.(Hier gibt es eine Vermutung, auf die ich nicht eingehe.)

Nun machte Polya den folgenden Vorschlag: Diese Schranke, die ja auch vonD abhängig sei kann, versuchsweise als von D unabhängig anzunehmen.Er dividierte die vermutete Anzahl der Primzahlzwillinge mitDifferenz D durch die vermutete Anzahl der Zwillinge mit derDifferenz 2. Dabei kann man durch X kürzen und erhält

W(2,D)*W(3,D)*W(5,D)*...*W(P,D)
W(2,2)*W(3,2)*W(5,2)*...*W(P,2)

Da D gerade ist, ist W(2,D)=W(2,2)=1. Aber für fast alle Primzahlenist W(p,D)=W(2,D)=(1-2/p). Damit können übereinanderstehende Faktoren weggekurzt werden und es bleiben die Quotienten stehen,wo p ein Teiler von D ist.

Das Resultat ist das Produkt der Quotienten

(p-1)/p-2)

wo p ein ungerader Teiler von D ist.

Das ergibt folgende Häufigkeiten:

D 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Häufigkeit
1.00 1.00 2.00 1.00 1.33 2.00 1.20 1.00 2.00
Timm hat dazu folgende Ergebnisse aus numerischen Expermenten erhalten :
Zitat:
Am häufigsten sind Primzahl-Paare, deren Differenzen Primfakultäten sind. Differenzen D, die nur den Primfaktor 2 enthalten, 2^n mit n=1,2,3 ... , sind vergleichsweise selten aber alle gleich häufig und dienen als Basis zur Bestimmung der Häufigkeit H. Findet man x Paare mit D=2, so enthält die gleiche Primzahlenmenge 2,66*x Paare mit D=30, 3,2*x Paare mit D=210 ... . Die Häufigkeit H von D=30 ergibt sich also als Zahl der Paare mit D=30 geteilt durch Zahl der Paare mit D=2. H der Differenz 30 ist somit = 2,66.

Theoretische Häufigkeit der Superdifferenz SD=210 mit (p-1)/(p-2): Für p=3, 5, 7 erhält man 2, 4/3, 6/5. Das Produkt der Quotienten (p-1)/p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2. Die Superhäufigkeit SH der SD 210 (= 2*3*5*7) ist also 3,2. Jede Differenz enthält natürlich den Primfaktor 2. In H, bzw. SH geht die 2 aber nicht ein, da sie Vergleichsbasis ist. Anders gesagt ist H von D=2 trivialerweise =1.

Vergleich gefundener mit theoretischen Häufigkeiten
Herangezogen wurden alle Primzahlpaare der ersten 10^5 Primzahlen und mit einem kleinen Programm die Zahl Z der Paare pro Differenz D ermittelt.

....................gefunden.................theor etisch nach (p-1)/(p-2)
D ......... Z ......... H=Z/10250......... H ......... Primfaktoren
2 ......... 10250 ..... 1 .................... 1 .......... 2
4 ......... 10214 ..... 0,996 .............. 1 ........ 2*2
6=SD ... 20472 ..... 1,997=SH ....... 2 .........2*3
8 ......... 10336 ..... 1,008 ............... 1 ..... 2*2*2
.
18 ....... 20515 ..... 2,001 .............. 2 ...... 2*3*3
20 ....... 13687 ..... 1,335 ............ 1.33 ... 2*2*5
.
28 ....... 12253 ..... 1,195 ............. 1,2 ..... 2*2*7
30=SD.. 27434 ..... 2,676=SH ..... 2,66 ... 2*3*5
60 ....... 27312 ..... 2,664 ............ 2,66 .. 2*2*3*5
.
210=SD ............... 3,192=SH ..... 3,2 .... 2*3*5*7
2310=SD ............. 3,543=SH ..... 3,55 .. 2*3*5*7*11

Die Übereinstimmung H gefunden / H theoretisch ist erstaunlich.
Verglichen mit den SD erkennt man eine starke Abflachung der SH. Dennoch könnten, wie schon beschrieben, die SH gegen unendlich gehen.

Geändert von Timm (04.10.09 um 13:29 Uhr)
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  #2  
Alt 04.10.09, 11:03
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richy richy ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Timm
Zu Polyas Wahrscheinlichkeit habe ich auch nur einen kleinen Abschnitt im www gefunden :
http://books.google.de/books?id=1MTc...Lehmer&f=false
Hat man hier den Bruchstrich vergessen ?
Polyas Argumentation,um was es ueberhaupt geht verstehe ich jetzt schon besser, aber noch nicht komplett.
Unter diesem Link habe ich jede Menge interessanter Informationen zum Stand der "Primzahlforschung" gefunden.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~heb...h/zahlenth.pdf
Ich bin lediglich E-Ing, kein Mathematiker und mich erschlaegt es regelmaessig, wenn ich lese mt welchen Problemen sich die Mathematiker nur mal so als Uebungsaufgaben beschaeftigen :-)
Der Beweis dass zwei folgende Fib Zahlen keinen gemeinsamen Teiler aufweisen ist in dem PDF auch als Uebungsaufgabe mit dabei :-)
Dieser Summensatz ist somit wohl zu trivial, dass er extra erwaeht wird. Aber gerade weil er so schoen einfach ist gefaelt es mir damit zu argumentieren.

In dem PDF kommt an einer Stelle auch die Primfakultaet vor. Anscheinend gibt es dafuer tatsaechlich keinen ofiziellen Namen, was mich schon wundert. In dem Skript wird fuer dieselbe lustigerweise das Symbol p# verwendet. (Ich hatte das frei erfunden) p? faende ich auch passend.

Kleine Ueberlegung :
Wenn man in der Primfakultaet p(n)# auch Mehrfachheiten der Primfaktoren zulaesst, also 2^k2* 3^k3* 5^k5* 7^k7 ... dann stellt diese "Mehrfachprimfakultaet" eine verallgemeinerte Form der Fakultaet n! dar.
Einfaches Beispiel wie dies zu verstehen ist :
Betrachten wir 10!
10!=2*3*4*5*6*7*8*9*10
und zerlegen die Nichtprimzahlen in ihre Primfaktoren :
10!=2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)
10!=2^8 * 3^4 * 5^2 * 7
so sieht man, dass die Fakultaet natuerlich nur eine spezielle Form der Primfakultaet ist. Mit Mehrfachheiten.
Damit lassen sich die im PDF betrachteten Primzahlen n! +1 auf die Betrachtungen im regeli Thread ueber den Summensatz zurueckfuehren. Allerdings ist es manchmal ungeschickt n! zu verwenden statt n# oder n#/pi.
Die grundlegende Eigenschaft von n# ist die, dass es die kleinste Fakultaet ist, in der alle Primfaktoren lueckenlos vorkommen. Dafuer ist n! analytisch berechenbar.
Man koennte einen Kompromiss finden, indem man z.B. alle geradzahligen Faktoren aus n! streicht.
Will ich in Kuerze mal ausprobieren.

EDIT :
Die offizielle Bezeichnung unserer Primfakultaet p# lautet Primfakultaet oder Primorial
http://de.wikipedia.org/wiki/Primfakult%C3%A4t
Auf der Seite ist auch schon durchgefuehrt was ich gerade noch ausprobieren wollte.

Das bietet sich natuerlich an, weil diese Konstante das Gegenstueck zur Eulerschen Zahl e ist.
Zitat:
Die Engel-Entwicklung (Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)

Geändert von richy (05.10.09 um 04:38 Uhr)
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  #3  
Alt 04.10.09, 13:42
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Hi Timm
Zu Polyas Wahrscheinlichkeit habe ich auch nur einen kleinen Abschnitt im www gefunden :
http://books.google.de/books?id=1MTc...Lehmer&f=false
Hat man hier den Bruchstrich vergessen ?
Sehr interessanter Link, richy.
In aller Kürze: Ich habe mir erlaubt das Zitat in Deinem Beitrag mit dem Autor zu ergänzen. Herr Herrmann, der damals, als ich ihn in 2001 aufsuchte, schon emeritiert war, hatte die Orginal Publikationen von Polya und Lehmer nicht zur Hand, hat diese Herleitung aber aus dem Gedächtnis geschöpft.

Ja, der Bruchstrich fehlt,

Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
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  #4  
Alt 04.10.09, 15:42
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Das bietet sich natuerlich an, weil diese Konstante das Gegenstueck zur Eulerschen Zahl e ist.
Hallo Richy,

inwiefern ist diese Konstante 0,70523... das Gegenstück zur Eulerschen Zahl e?

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #5  
Alt 04.10.09, 16:23
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Bauhof

Zitat:
inwiefern ist diese Konstante 0,70523... das Gegenstück zur Eulerschen Zahl e?
Gegenstueck ist der falsche Ausdruck. Habe ich schlecht formuliert.
exp(1) ist die Summe der Kehrwerte aller Fakultaeten
e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/5! .....

Im Grunde ist es zunaechst eine rein formelle Spielerei hier die Primfakultaet statt Fakultaet einzusetzen. Als unvollstaendige Taylorapproximation kann man dies dann nicht betrachten, denn die Fakultaet resultiert auf einer fortgesetzten Differentation der Terme x^n.
Man koennte sich fragen welche Funktionsbasis diese Primorials bei einer Approximation erzeugen wuerde, aber solch eine Funktion kann es in geschlossener Form natuerlich nicht geben.
Wie man sieht hat diese Idee dennoch schon jemand aufgegriffen. Die Konstante scheint leider keine besondere Bedeutung zu haben. Die Kettenbruchdarstellung des Wertes enthaelt natuerlich auch keine erkennbare Struktur, denn ansonsten haette man die Primzahlen "geknackt". Ich gehe uebrigends davon aus, dass man prinzipiell keinen analytischen Ausdruck finden kann , der alle Primzahlen erzeugt. Mit ein paar wenigen gebe ich mich schon zufrieden :-)
Hast du eine Idee wie man diese Reihe interpretieren koennte ?

Geändert von richy (04.10.09 um 18:08 Uhr)
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  #6  
Alt 04.10.09, 17:07
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
... exp(1) ist die Summe der Kehrwerte aller Fakultaeten e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/5! .....
Hallo Richy,

vermutlich hast du dich dabei nur vertippt. Das ist nicht e, sondern e wird durch folgende unendliche Reihe angenähert:

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+...

Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus:

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...

Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski

Geändert von Bauhof (06.10.09 um 11:10 Uhr) Grund: Falsches Fakultätszeichen aus der 2. Reihe entfernt
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  #7  
Alt 04.10.09, 17:52
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Hi Bauhof
Bin zu bloed um bis fuenf zu zaehlen :-)
Ja, ich hab statt 1/4! 1/5! getippt

Zitat:
Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus:

1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen

Weiterhin :
Die Fakultaet einer Primzahl ist nicht die Primfakultaet=Primorial.
Offizielles Symbol: p#
Das Primorial entspricht der Fakultaet in der man alle nichtprimzahligen Faktoren streicht 2*3*5*7*11*13 ....
Oder eben dem Produkt der Primzahlen bis zu einer Stelle n.
Das besondere daran ist, dass das Primorial wie die Fakultaet alle aufeinanderfolgenden Primfaktoren enthaelt, (aber nicht so steil waechst wie die Fakultaet).
Einen geschlossenes Ausdruck gibt es dafuer natuerlich leider nicht, denn sonst koennte man ueber p(n+1)#/p(n)# jede Primzahl berechnen.

In Timms zitierter Vermutung zeigt sich, dass Primzahlen im Abstand von Primorials am haeufigsten auftreten. Das ist auch das eigentliche Thema, von dem ich bischen abgewichen bin.

Zitat:
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...

Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam.
Verstehe nicht warum die Reihe divergent sein soll. Das ist doch e-R, wobei R die Summe der Fakultaet der Kehrwerte der Nichtprimzahlen ist, also R=1+1/4!+1/6!+1/8!+1/9! und negativ kann die Summe nicht sein.
Es muessste doch gelten 0 < 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... < e

BTW
Mit der "ungerade"Fakultaet(n) + 2 komme ich immerhin auf eine 241 stellige Primzahl (Test n=1..150)
65639426708018986672507151381772735265405805254795 22779750428143933771428487157029025600572193689502 76104285285516744221164562355173053752804275846126 24336324231768502783970671432560740560286937050977 03902486688990937373600900173187255859377
ist prim
Bis prim(150)#/2 + 2 sind es nur 188 Stellen
Mit (n!+1) bis n=150 sind es auch nur 191 Stellen

Geändert von richy (04.10.09 um 23:23 Uhr)
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  #8  
Alt 05.10.09, 11:39
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
... Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen.
Hallo Richy,

nein, ich habe mich nicht vertippt. Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt. Gibt es dazu eine Quelle?

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #9  
Alt 05.10.09, 21:30
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Hi Bauhof, Timm, all
Doch, du hast dich irgendwo vertippt.
Zitat:
Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt.
Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben
Zitat:
Zitat von Bauhof
1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...
Hauptsache wir reden nicht aneinander vorbei
Zitat:
Gibt es dazu eine Quelle?
Es gibt eine grosse Datenbank fuer Zahlenreihen OEIS
http://de.wikipedia.org/wiki/On-Line...eger_Sequences
Dort habe ich die Summe der Kehrwerte der Primorials gefunden, aber nicht die der Fakultaet der Primzahlen. Scheint tatsaechlich zu fehlen
Hier wenigstens die Reihe der einfachen Fakultaet der Primzahlen :
http://www.research.att.com/~njas/se...erman&go=Suche
(Die Primzahlen als Kettenbruchkoeffizienten gibt es dort auch)

Mit Maple kann man den gesuchten Wert leicht numerisch simulieren.
Die Reihe konvergiert sehr schnell gegen s := 0.6751984380
Die SUmme der Nichtprimzahlkehrwertfakultaeten muesste dann sg:=2.043083390 sein.
Man koennte spasseshalber Taylorreihen von Funktionen in ihre primzahligenund und nichtprimzahligen Reihen zerlegen. Aber Sinn macht das wohl keinen, ansonsten waere schon jemand anderes auf die Idee gekommen.
Hast du eine Quelle fuer die von dir gemeinten divergenten Reihe ?
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
Und damit waeren wir nahe bei der eigentlichen Fragestellung von Timm.

Ich moechte erstmal zusammenfassen ob ich diese richtig verstanden habe :

i=0..N sei die Folge der natuerlichn Zahlen
ifactors(i)=p1,p2,p3...p_anzahl seien die Primfaktoren von i
"anzahl" sei die Anzahl der Primfaktoren von i
Jetzt bestimmt man fuer jeden Primfaktor pk den wert ak=(pk-1)/(pk-2)
k=1..anzahl
Da waere meine erste Frage: Fuer i=2 geht a doch gegen unendlich.
2 wird also ausgeschlossen und H(2) zu 1 normiert ?
Ansonsten berechnet sich H(i) als product(ak,k=1..anz) ?
So hast du es im Beispiel erlaeutert :
Zitat:
Das Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2.

Die Frage waere dann, ob das Produkt H gegen unendlich strebt oder konvergiert. Der Ausdruck besteht aus zwei Teilen. Der inneren Funktion, die im Intervall [3...OO] monoton vom Wert 2 auf 1 faellt.
Mit jeder neuen Primzahl naehert sich der Bruch dem Wert 1.
Und mit jeder neuen Primzahl wird ein Faktor groesser eins hinzugefuegt. So dass es rein formell klar ist, dass der Wert fuer die Primonials am groessten ist, da sie die meisten Faktoren enthalten. Allerdings ist mir noch immer nicht ganz klar wie Polya auf diesen Ausdruck kommt.

Jetzt koennte man voreilig argumentieren :
Na ich habe unendlich viele Faktoren eines Produkts, denn es gibt unendlich viele Primzahlen und jeder ist groesser 1 kleiner 2.
Das divergiert.
Ich meine aber dem ist nicht so.
Aehnlich wie bei exp(1)=limit( (1+1/n)^n,n=infinity) tritt der entscheidende Vorgang genau beim Grenzuebergang auf.
(1+1/n)^n ist dem Produkt H auch ansonsten recht aehnlich. Der Ausdruck in der Klammer strebt genauso gegen eins und der Exponent erzeugt schliesslich unendlich viele Faktoren.
Aber der Wert konvergiert gegen exp(1)

@timm
Das Problem ist nun, dass wir keinen analytischen Ausdruck dafuer haben. wie der Wert des jeweils neuen Primfaktors waechst. Man koennte sich hier vielleicht dem Primzahlsatz von Gauss bedienen, dass die Verteilung etwa x/ln(x) betraegt. Zunaechst ueberlegen, wie sich dies auf das Wachstum der Primfaktoren auswirkt.
Hier einige Beispiele die ich mit Maple gerechnet habe und die Problematik anschaulich darstellen. Fuer die unbekannte Wachstumsfunktion der Primzahlen habe ich einfach mal einige elementare Funktionen wie 2*p, p^2, p! eingesetzt:

product((p-1)/(p-2),p=3..infinity) = infinity
product((2*p-1)/(2*p-2),p=3..infinity) = infinity
product((10*p-1)/(10*p-2),p=3..infinity) = infinity

p waechst aber natuerlich nicht linear
lassen wir es quadratisch wachsen :
product((p^2-1)/(p^2-2),p=3..infinity)=1.536421919
Schon jetzt konvergiert das Produkt. (uebrigends gegen sehr eigentuemliche algebraische Ausdruecke, die natuerlich die Gammafunktion als allgemeine Fakultaet enthalten)

product((p!-1)/(p!-2),p=3..infinity)
kann Maple nicht loesen,komisch gestern ging das noch,stattdessen
product((p!-1)/(p!-2),p=3..10)=
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..10))= 1.320027113
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..100))=1.320027149
Wenn p^2 konvergiert muss auch p! konvergieren.
(Ich dachte anfangs in p wird die Primfakultaet eingesetzt.

Schliesslich noch ein Programm fuer die reale Situation :
a:=1;
> for i from 2 to 10000 do
> p:=ithprime(i);
> a:=evalf(a*(p-1)/(p-2));
> od;

ithprim(10 000)=104729
a=15.597311318
Da liege ich noch weit unter deinem numerischen Experiment ..


Moment geht gleich weiter ... i=100 000 laeuft gerade

Geändert von richy (06.10.09 um 03:46 Uhr)
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  #10  
Alt 06.10.09, 00:06
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Standard AW: Polya und Primzahlen

...
hab das Programm bei 33409, der Primzahl 394129 abgebrochen.
a=17.38318378

So kommt man ja nicht viel weiter, sondern man benoetigt

1) eine Abschaetzung des Wachstums der Primzahlen
2) Eine Angabe ob die von dir genannte Haeufigkeit H damit konvergiert oder divergiert
2a) Indem man das Produkt direkt auswertet
2b) Indem man ein Konvergenzkriterium fuer Produkte anwendet

zu1)
http://www.math.uni-bielefeld.de/bir...r/leit01-2.pdf
Zitat:
Wir bezeichnen mit pk die k-te Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, usw.
Satz.
Es gibt positive reelle Zahlen A < 1 < B, mit
A · n · ln n < pn < B · n · ln n,
So etwas habe ich mir fast gedacht. Das Wachstum liegt irgendwo zwischen linear und quadratisch.
Hier habe ich die Funktion fuer 2 Schranken bis 10 000 dargestellt :

Den Faktor 1.18 koennte man ueber die Methode der kleinsten Quadrate natuerlich noch genauer bestimmen.
Hier nochmals fuer die ersten 15 Primzahlen

Die Approximation ist hier noch sehr ungenau

Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition

Tja, diese ewigen Studenten :-)
Fuer das Produkt
s:=evalf(product((1.18*p*ln(p)-1)/(1.18*p*ln(p)-2),p=3..1000));
spuckt Maple noch den Wert s := 7.180852157 aus

NUMERISCHES
***********
Ich will jetzt erstmal untersuchen wie gut 1.18*x*ln(x)
EDIT 1.15*x*ln(x)
das Haufigkeitsprodukt approximiert. Fuer kleine Primzahlen ist die Uebereinstimmung sehr schlecht. Also starte ich den Vergleich bei der tausendsten Primzahl :

Das kleine Programm :
Zitat:
N1:=1000;N2:=5000;aa:=1;bb:=1;c:=1.15;
> for i from N1 to N2 do
> aa:=aa*evalf((ithprime(i)-1)/(ithprime(i)-2)):
> bb:=bb*evalf((c*i*ln(i)-1)/(c*i*ln(i)-2)):
> a[i]:=aa;
> b[i]:=bb;
> od:
> druck1:=seq([k,a[k]],k=N1..N2):
> druck2:=seq([k,b[k]],k=N1..N2):
> plot([[druck1],[druck2]]);
Den Faktor C habe ich jetzt zu 1.15 statt 1.18 gewaehlt das passt besser und wie man sieht recht gut :


NUMERISCHE IDEE
**************
Sachgemaess waere es natuerlich ein Konvergenzktiterium auf das Produkt anzuwenden. Mein hohler Bauch sagt mir aber jetzt schon, dass dies eventuell nicht so einfach sein koennte.
Dieses Produkt liegt wahrscheinlich irgendwo an der Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz.
Und falls es konvergiert wuerde mich ein Naeherungswert interessieren. Kann aber durchaus auch sein, dass es divergiert.

Im Moment habe ich folgenden numerischen Plan :
Wir koennen das Produkt relativ einfach numerisch simulieren.
Allerdings ergibt sich das Problem, dass unser Rechengeraet sehr viel Zeit benoetigt um grosse Primzahlen zu berechnen.
Dafuer scheint fuer grosse Primzahlen die Funktion c*x*ln(x) wenigstens qualitativ eine gute Naeherung zu sein.

Daher zerlege ich das Produkt, nennen wir es H, an der Stelle m in zwei Faktoren.
H=product(f(i),i=3..infinity)
H=product(f(i),i=3..m)*prod(f(i),i=m+1..infinity)= H1*H2
H1 haben wir fuer m=10000 bereits exakt numerisch simuliert.
Der Wert fuer H1 war :
H1(m=10000)=15.597311318
Meine Idee waere es H2 nun durch c*x*ln(x) x=m+1..grosse Zahl
versuchen numerisch zu ermitten. Damit erspart man sich grosse
Primzahlen und kann daher eine sehr gross obere Schranke verwenden.
OK lets go

Geändert von richy (06.10.09 um 00:23 Uhr)
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