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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #11  
Alt 06.10.09, 01:30
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Maple benoetigt auch fuer die Produkte von c*x*ln(x) recht lange Rechenzeiten.
Ich meine momentan dieses Produkt, die Haeufigkeit H konvergiert.

@Bauhof,Timm,all
Kennt jemand eine Quelle fuer Konvergenzkriterien von Produkten ?
Ansonsten muss ich wohl dochmal wieder in die Bronstein Bibel schauen.

Zuvor noch zwei bescheidene Versuche um Timms Prob zu loesen :

Statt dem Produkt H kann ich auch ln(H) betrachten.
Dann wird das Produkt natuerlich zu einer Summe :
H(i)=product( c*(p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2), p=3..N)
ln(H(i))=sum(ln[c*(p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2)], p=3..N)

Fuer ln(c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) muss ich jetzt nach einem geeigneten Konvergenzkriterium fuer Summen suchen.
Damit laesst sich die Konvergenz der Abschaetzung beurteilen.
Das waere die grundlegende Aufgabe, die man zunaechst loesen sollte um die Konvergenz wenigstens abzuschaetzen.

Der zweite bescheidene Versuch waere es das Differential des Produktes H zu betrachten.

Viele Gruessse
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  #12  
Alt 06.10.09, 11:13
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Hi Bauhof, Doch, du hast dich irgendwo vertippt. Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben
Hallo Richy,

danke für den Hinweis, du hast recht. Ich habe das inzwischen richtiggestellt.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski
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  #13  
Alt 06.10.09, 11:24
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Verstehe nicht warum die Reihe divergent sein soll.
Hallo Richy,

die Reihe

(1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe

(2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e

(3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist.

So richtig?

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #14  
Alt 06.10.09, 12:36
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hallo Richy,

vor ein paar Jahren schrieb ich ein Fortran-Programm, das mit Hilfe der Riemannschen Näherung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmen natürlichen Zahl N (N kleinergleich 10^308) auf den Bildschirm ausgibt. Falls es für dich hilfreich ist, kannst du dir das EXE-File hier herunterladen:

http://www.eugen-bauhof.homepage.t-o...EMANN_TEST.exe

Diese Programm läuft auf den Windows-Systemen, z.B. unter Windows Vista, vielleicht auch unter XP oder Windows 98. Unter Vista habe ich es gerade noch mal ausprobiert.

Falls nötig, kann ich dir auch das Quellprogramm zur Verfügung stellen. Das könntest du dann mit dem kostenlosen Fortran-Entwicklungssystem von "openwatcom" für spezielle Zwecke erweitern. Dieses Fortran-Entwicklungssystem kann hier heruntergeladen werden:

http://ftp.openwatcom.org/ftp/

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #15  
Alt 06.10.09, 14:15
Lambert Lambert ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

@Richy

mir brennt's , die Primzahlen mit der Physik zu verbinden.

Sonst wird's doch viel zu mathematisch hier, oder?

Gruß,
Lambert
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  #16  
Alt 06.10.09, 16:21
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rene rene ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy
Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition
s := 15.06469260

Grüsse, rene
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  #17  
Alt 06.10.09, 20:00
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi
Zitat:
s := 15.06469260
Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :
s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));
Zitat:
(1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe

(2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e

(3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist.
Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ?
EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.

Danke fuer das Programm. Sicherlich ist das schneller als Maple, aber rein numerisch kommen wir wohl nicht weiter. Eine Naeherung fuer die Primzahlen ist c*x*ln(x), so dass fuer die Konvergenzbetrachtung die Primzahlen nicht mehr notwendig sind.

Auf den ln der Funktion habe ich das Wuerzelkriterium angewendet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
limit(a^(1/x),x=infinity)=1
Na toll, denn ausgerechnet fuer den Wert 1 ist damit keine Aussage ueber die Konvergenz moeglich.

Aehnliches liefert das Quotientenkriterium :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
a1:=ln((c*(x+1)*ln(x+1)-1)/(c*(x+1)*ln(x+1)-2));
q:=a1/a
Die Funktion ist monoton wachsend und kleiner 1 strebt aber fuer x->00 gegen 1. Damit ist keine Konvergenzaussage moeglich.
Zitat:
Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich |{a_{n+1}/{a_n}|<1, kann also |{a_{n+1}/{a_n}| beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.
Damit bin ich mit meinem Latein zunaechst mal am Ende. Hat jemand noch eine Idee ?

@Lambert
Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst.

Geändert von richy (06.10.09 um 21:57 Uhr)
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  #18  
Alt 06.10.09, 21:46
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Zitat:
Zitat von richy
Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :

s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));
Hallo richy

Die Berechnung mit einer unendlichen Anzahl Faktoren kann mein Maple aus dieser Gleichung auch nicht angeben:

"Cannot show that (c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) is continuous on [3,infinity]"

Grüsse, rene
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  #19  
Alt 06.10.09, 22:41
Lambert Lambert ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen

@Lambert
Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst.
Hi Richy,

nein, aber mir geht es um Mathematik und Physik, nicht um reine Mathematik. Da sehe ich ein Wenig Zeitvergeudung in diesem Stadium.

Ich setze an bei Primzahlen und Unendlichkeiten, wie Du weißt. Und möchte wissen, was das Zeug miteinander zu tun hat.

Gruß,
Lambert
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  #20  
Alt 07.10.09, 18:35
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Bauhof Bauhof ist offline
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Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ? EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.
Hallo Richy,

ja, die harmonische Reihe

(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...

divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte

(2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...

nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist. Wenn man aus einer Majorante sehr viele Glieder herausnimmt, dann könnte es sein, dass die neue Reihe konvergiert. Nur wenn (2) die Majorante zu (1) wäre, dann wäre die Divergenz von (2) bewiesen.

Der Beweis für die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte ist in [1] im Kapitel "3.2 Harmonische Primzahlreihe" zu finden. Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.

Im Buch wird auch erwähnt, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge:

(3) (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) +... konvergiert.

Die Summe von (3) beträgt ungefähr 1,902160582... und wird als Brunsche Konstante bezeichnet. Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.

Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben. Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.


Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Julian Havil
GAMMA. Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung.
Berlin 2007. ISBN=978-3-540-48495-0
http://www.science-shop.de/artikel/865725
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Hermann Minkowski
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