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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #21  
Alt 07.10.09, 21:29
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richy richy ist offline
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Bauhof
Vielen Dank fuer die Quellenangabe. Ein Buch ueber Erdoes steht bei mir im Regal. Wohl zu lange her, dass ich das gelesen habe.

Zitat:
ja, die harmonische Reihe
(1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+...
divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte
2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist.
Ja, da hast du recht. Das ist natuerlich kein Beweis. Aber fuer mich ist es wenigstens eine Art Plausibilisierung.
Zitat:
Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie.
Dann kann man wohl nicht erwarten, das der Beweis einfach ist
Selbiges trifft dann auch fuer Timms Frage zu. Meine Naeherung ueber C*x*ln(x) waere auch nur eine qualitative Abschaetzung.
Da nun aber bekannt ist dass die Summe der Primzalkehrwerte divergiert, koennte man das Majorantenkriterium verwenden.( Falls meine Vorgehensweise ueberhaupt korrekt ist das Produkt ueber den ln in eine Summe zu transformieren und dann zu argumentieren, dass wenn diese Summe divergiert auch das Produkt divergiert. )

Ich hab mir das nur mal kurz graphisch mit der Naeherung ln[(C*x*ln(x)-1)/(C*x*ln(x)-2)] angeschaut. Die scheint fuer alle C groesser zu sein als 1/(C*x*ln(x)) Wobei beide Funktionen fuer groessere Werte "fast gleich" sind. (Warum eigentlich ?) Korrekterweise muesste man dies statt C*x*ln(x) fuer die Primzahlen zeigen. Und dann waere Timms Produkt divergent.
Ich vermute jetzt doch eher, dass es divergent ist.
Zitat:
Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors.
Daran kann ich mich noch erinnern. Glaube es war der mathematisch Co Prozessor. Ich habe damals HP Workstations benutzt :-)
Zitat:
Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt
Dewegen ist das auch ein beliebtes Thema fuer Hobbyforscher.
Ich bin davon aber nicht infiziert.
Zitat:
Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben.
Tja, das waere zu schoen gewesen :-)

Zitat:
Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Fuer Konvergez mussen die Summanden nur schnell genug gegen Null streben. Sie werden also immer seltener.

Geändert von richy (08.10.09 um 08:38 Uhr)
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  #22  
Alt 07.10.09, 23:12
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Standard AW: Polya und Primzahlen

@Timm
Anhand der Vorbetrachtungen hatte ich eine Beweisidee :

1) Zeige dass gilt : exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>epsilon, z.b. x>=3
Leider ist mir dies bisher noch nicht gelugen :-(

Die Idee waere dann wie folgt gewsen :
2) Damit wuerde die Ungleichung auch fuer alle Primzahlen gelten : exp(1/p) < (p-1)/(p-2)
3) Untersuche statt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
das Produkt
product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) =
exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity))

Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist
Wuerde 1) gelten, so wuerde auch das Produkt
product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity)
divergieren.

Geändert von richy (08.10.09 um 05:01 Uhr)
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  #23  
Alt 08.10.09, 01:36
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Standard AW: Polya und Primzahlen

warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle :
1/p hat die Ableitung -1/p^2
ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)]
-1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3
Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so.
ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen.
Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?

Geändert von richy (08.10.09 um 04:48 Uhr)
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  #24  
Alt 08.10.09, 02:56
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Folgendes scheint recht einfach zum Erfolg zu fuehren :

Zitat:
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Dazu benutzt man folgendes Lemma (ohne Beweis):

∑ an = ∞ <=>
n

∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n

Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:

∏(1-1/p)^-1 =
p prim

∏ ∑ 1/p^n =
p n≥0

∑ 1/n = ∞
n≥1

Verwendet wurde dabei:
die Taylorentwicklung von (1+h)^-1=
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
die Divergenz der Kehrtsumme der natürlichen Zahlen
http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article3337586.html
Anmerkung :
die Taylorreihe von 1/(1-x) lautet 1+x+x^2+x^3+x^4 ...
Zitat:
die Eindeutigkeit der Primzahldarstellung
Damit ist gemeint, das das Produkt ueber die Summe der Primkehrwerte eindeutig die Summe aller moeglichen Kombinationen erzeugt und damit die Summe der Kehrwerte der natuerlichen Zahlen.

Und ich meine jetzt fuehrt das Minorantenkriterium tatsaechlich zum Erfolg.
Betrachten wir nur :

∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim

1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).

Jetzetles aber :-)
Traera und A u s m a r s c h

Geändert von richy (08.10.09 um 23:53 Uhr)
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  #25  
Alt 08.10.09, 10:55
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ?
Hallo Richy,

hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert?

M.f.G. Eugen bauhof
__________________
Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski
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  #26  
Alt 08.10.09, 14:03
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Hi Bauhof

Erstmal
warum habe ich geschrieben die Funktionen streben gegen 0 ?

exp(1/x) und (x-1)/(x-2) streben gegen 1 oder
(1/x) und ln[(x-1)/(x-2)] streben gegen 0

Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt.

Zitat:
hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert?
Meinst du um den Grenzwert zu berechnen ? Der ist nicht das Problem.
Geht auch z.B. ueber (1-1/x)/(1-2/x)

1) Fuer x>2 sind beide Funktionen streng monoton fallend.
Das sieht man an den Ableitungen.
2) und fuer z.B. x= 2 oder x=3 ist (x-1)/(x-2) groesser als exp(1/x).

Die Expo Funktion ist rot.
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1

Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt.
Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?

Im Grunde ist die Divergenz mit dem zweiten Beweis aber bestaetigt.
Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-)

Gruesse
richy

Geändert von richy (08.10.09 um 14:26 Uhr)
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  #27  
Alt 08.10.09, 14:43
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Standard AW: Polya und Primzahlen

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt.
Hallo Richy,

Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung

(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2)

und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen?

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt. Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?
Ich meine, dass man das daraus nicht folgern kann, dass die grüne Funktion stets grösser ist als die rote. Ich besitze kein Maple, aber ich könnte (falls es dich weiterbringen könnte) ein Fortran-Program schreiben, das für (1) einen Schnittpunkt annähern könnte, falls er überhaupt existiert.

Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden. Mein PC verfügt über eine CPU mit zwei Kernen mit je 3,2GHz Taktfrequenz und einen Hauptspeicher mit 4GB.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #28  
Alt 08.10.09, 17:02
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Hi Bauhof

Zitat:
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung
(1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2)
und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen?
Im Grunde moechte ich wissen ob gilt :

UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3

Den nur dann kann ich das Minorantenkriterium anwenden.
Nach einem Produkt suchen dessen Faktoren kleiner als die des betrachteten Produktes sind und das dennoch divergiert.
Dafuer waeren natuerlich die Loesungen der Gleichung exp(1/x) = (x-1)/(x-2) interessant. Die ist aber transzendent.

Gibt es fuer x>3 keinen endlichen reelen Wert als Schnittpunkt, so gilt die UGL).
Ich meine aus meinen Punkten 1)2)3) geht dies bisher nicht hervor.
Ein Punkt 4) waere aber, dass sich die Ableitungen der beiden Funktionen fuer x>3 nicht schneiden. D.h. der Betrag der Steigung der gruenen Funktion ist stets groesser als der der roten. Sie faellt stest steiler.
Und daher kann sie sich nicht unterhalb der roten Funktion dem Grenzwert 1 naehern.
Ud aus selbigem Grund die rote Funktion auch nicht mehrmals schneiden.
Das koennte mit 1)2)3) ausreichend sein, das der einzigste Schnittpunkt im Unendlichen liegt.

Zitat:
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden.
Ja danke fuer das Angebot. Waere schon interessant, wobei der zweite Beweis die Betrachtung nicht benoetigt :

Zitat:
Dass die Kehrwertsumme der Primzahlen divergiert, lässt sich folgendermaßen beweisen:
Lemma (ohne Beweis):
∑ an = ∞ <=>
n

∏ (1-an)^-1 = ∞ ,falls 0 ≤ an < 1
n
Der Beweis, dass ∑ 1/p = ∞ , folgt dann einfach aus:

∏(1-1/p)^-1 = (Anwenden Taylorreihe)
p prim

∏ ∑ 1/p^n = ("Ausmultiplizieren")
p n≥0

∑ 1/n = ∞ (Divergenz der harmonischen Reihe)
n≥1
Minorantenkriterium
Von dem obigen Beweis nutzen wir lediglich :
∏(1-1/p)^-1 = ∞
p prim
1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von
(p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun :
p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen.
Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2).
Viele Gruesse
richy

Geändert von richy (08.10.09 um 23:54 Uhr)
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  #29  
Alt 08.10.09, 19:34
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Bauhof Bauhof ist offline
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Zitat:
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Im Grunde moechte ich wissen ob gilt :
UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3
Hallo Richy,

welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint:
für x>epsilon mit epsilon=3?

M.f.G. Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #30  
Alt 08.10.09, 21:53
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Zitat:
Zitat von richy
Die Expo Funktion ist rot.
3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1

Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ?
Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt.
Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein.
Was meinst du ?
Ich habe einen eigenen Solver über Maple laufen lassen (manchmal muss man ihm nachhelfen) und es handelt sich bei den “gefundenen Schnittpunkten“ lediglich um numerische Artefakte, deren Werte sich in Abhängigkeit zur fortschreitenden Genauigkeit über die Anzahl der verwendeten Kommastellen erhöhen.

(x-1)/(x-2) - exp(1/x) = 0

Die beiden Funktionen verlaufen asymptotisch und die Differenzen ihrer Funktionswerte konvergieren im Unendlichen gegen Null.
Als einen Beweis kann man das nicht gelten lassen, jedoch als ein sehr starkes numerisches Indiz.

Grüsse, rene
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