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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#1
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Math - Die Konvergenz von Potenzreihen
Im Kapitel 4.3 Die Konvergenz von Potenzreihen seines Buches "Der Weg zur Wirklichkeit" gibt Roger Penrose die Summe der Reihe
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... = 1/(1 - x^2) an. Für x=1/2 ist die Summe leicht einsehbar 4/3, für x=2 ist sie jedoch -1/3. Oha! Also nicht unendlich! Anstelle einer für den Leser plausiblen Erklärung verweist Penrose hier auf einen Hardy (1949). Weiß jemand, wie das zu verstehen ist? P.S. Ich habe nur eine Kopie dieses Kapitels, des Rest des Buches kenne ich nicht.
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#2
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi
Auf den ersten Blick wuerde ich sagen Hardy ist der Weihnachtsmann oder der Osterhase. Wenn ich in Maple eintippe : S:=sum(x^(2*k),k=0..infinity); erhalte ich S=-1/(x^2-1) Ich hab gleich hinterher reingetippt : Why?; Graf Maple meint dann aber nur trocken : Syntax error, character `?` unexpected Also wenigstens fuer welchen Konvergenzradius ? Tippe ich ein : S=sum(2^(2*k),k=0..infinity); erscheint erwartungsgemaess die Antwort : S=infinity Oder allgemeiner : S:=sum(x^(2*k),k=0..N); S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1) Bei Herrn Penrose / Hardy muesste (x^2)^(N+1) / (x^2-1) gegen Null streben. *Schulter zuck (Ist Hardy wirklich kein Scherz ?) Ge?ndert von richy (20.08.10 um 17:15 Uhr) |
#3
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi richy,
ich war fast sicher, daß Du aufspringst. Nein, aber vielleicht steht im Register etwas über Hardy, das kriege ich noch raus. Hier noch 2 Textstellen, die zumindest mir allerdings auch nicht weiterhelfen: Zitat:
Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#4
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi Timm
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2 1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3 Wenn ich einen EUR auf die Bank lege und potentiell diesem immer hoehere Betraege zufuege habe ich nach unendlich langer Zeit Schulden. Keine guten Aussichten fuer Bausparer aber die Finanzkrise wuerde dies sogar bestatigen :-) Blos wuerde man hier aufgrund des "physikalischen" Vorgangs die Modellgleichung korrigieren muessen. Das meint Herr Penrose sicherlich nicht. Der Geldvernichtungseffekt tritt sicherlich nur beim Grenzuebergang ein. Dazu wuerde mir einfallen, dass solche Grenzuebergaenge induktiv begruendet werden muessen. Ich kann infinity ja nicht wie eine Zahl behandeln. Ueber die allgemeine Gueltigkeit der Induktion hat sich Herr Hume schon reichlich den Kopf zerbrochen. Ich meine aber nicht, dass die Mathematiker begeistert darueber waeren wenn Herr Penrose das Induktionsproblem hier erneut zur Debatte stellt. Bezeichnenderweise wird das Ergebnis auch noch negativ ! Die uebliche Loesung lautet : S:=sum(x^(2*k),k=0..N); S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1) Wir muessen also "nur noch" den Term (x^2)^(N+1) / (x^2-1) auf magische Weise verschwinden lassen. - 1/(x^2-1) enthaelt keinen Grenzuebergang und bleibt dann uebrig. Immerhin :-) (x^2-1) ist fuer x=2 gleich 3 . Naja wenn der Nenner angeblich gegen Null "strebt" ist es egal ob ich 0/3 oder 0 betrachte. Bleibt S=(x^2)^(N+1)=4^(N+1) Wenn ich jetzt behaupte, dass der Ausdruck gegen Null strebt mache ich mich doch laecherlich oder ? Vielleicht rechnet Penrose hier im Komplexen. Mit dem Resuduensatz. http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz Allerdings komme ich hier auch nicht auf den Wert 0 Da Herr Penrose mit Quaternionen bewandert ist, hat er vielleicht einen Resuduensatz im Quaternionenraum verwendet.Auf so etwas tippe ich am ehesten. Fasst man die reellen Zahlen als eine Verallgemeinrung von Quaternionen auf oder als Teil eines Hardy Raumes gelten vielleicht andere Grenzwertsaetze. Penrose Twistoren stellen eine Abbildung der Raunzeit auf einen Quaternionenraum dar. Das wuerde passen. Ansonsten habe ich keinen blassen Schimmer wie er sein neues Ergebnis begruenden koennte Es interessiert mach aber natuerlich auf jeden Fall. Grad gesehen : Diesen Hardy kenne ich sogar von Mathematikbuechern. Das ist der Entdecker von Srinivasa Ramanujan. http://de.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Harold_Hardy Im englischen Wiki gibt es weiterfuehrende Links : EDIT http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy Interessantes verstaendliches PDF zu Quaternionen. http://arxiv4.library.cornell.edu/ft.../0709.2238.pdf Gruesse Ge?ndert von richy (21.08.10 um 13:43 Uhr) |
#5
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi richy,
Zitat:
Zitat:
Er diskutiert dann noch die Reihe 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + ... =1/(1+x^2), die flattert und nicht gegen unendlich strebt. Aber ebenfalls zwischen -1 und +1 konvergiert. Dann folgt das Kapitel 4.4 Caspar Wessels komplexe Ebene. Zitat:
Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#6
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Na kommt - ich habe hier nicht alles mitgelesen, aber das ist zweifelsohne sinnfrei. Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist: da kann also für n gegen oo nichts heraus kommen, was kleiner ist als der Wert für n=1 ist.
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#7
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Hi Timm
Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe Klar es muss dann gelten N-> 00. Aber wenn ich den Grenzuebergang sofort durchfuehre lande ich sofort bei Unendlich. Ich wollte erstmal sehen warum der Wert nagativ (-1/3) sein soll. @Hawkwind Zitat:
Das ist nur eine Begruendung warum der Grenzwert von Penrose oder Godfrey_Harold_Hardy nicht voellig sinnfrei sein muss. Ich vermute aber, dass die Angabe nicht auf dem reellen Zahlenraum basiert .... Zitat:
Uuups ich hatte 2 mal das deuitsche Wiki angegeben. Hier die englische Version mit Links zu Theoremen von Hardy http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy Vielleicht spielt dieses Littlewood_tauberian_theorem eine Rolle. Aber auch hier wird der Konvergenzradius eins angegeben. http://eom.springer.de/h/h046370.htm Zitat:
(Denke ich hab schon ueber 500 Stueck hinter mir. Sehr angenehmer Job :-) Gruesse richy Ge?ndert von richy (21.08.10 um 13:49 Uhr) |
#8
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
vor Georg Cantor gab es nur das potentiell Unendliche. Cantor schuf den Begriff: das aktual Unendliche. Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenti..._Unendlichkeit und hier: http://www.geocities.jp/mickindex/ca...nt_uSU_gm.html Ich weiß aber nicht, ob das jetzt mit deinen Gedankengängen etwas zu tun hat. M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#9
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Nein, es ist weitaus mehr klar.
Zitat:
Ge?ndert von Hawkwind (21.08.10 um 15:21 Uhr) |
#10
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AW: Die Konvergenz von Potenzreihen
Zitat:
Zitat:
@richy, Du hast den Mathematiker Hardy bereits aufgestöbert. Vielleicht bringst Du doch noch Licht in die Angelegenheit. Mir scheint die Botschaft zu sein, daß sich die oberflächliche Ungereimtheit auflöst, wenn man die reellen Zahlen als Spezialfall der komplexen Zahlen betrachtet. Die Reihe 1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... enthält negative Vorzeichen und sollte somit nicht mehr zwangsläufig gegen oo gehen. Aber hilft diese Überlegung weiter? Gruß, Timm
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