Albert Einstein zum Thema "Trägheit der Energie"

[SCR]

Anmerkung SCR: Mit 'V' bezeichnete Einstein in allen im Folgenden aufgeführten Arbeiten die Lichtgeschwindigkeit.

In dem Artikel Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? in den AdP von 1905 gelangt Einstein zu folgenden Schlußfolgerungen:

Zitat von Albert Einstein

Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um L/V². Hierbei ist es offenbar unwesentlich, daß die dem Körper entzogene Energie gerade in Energie der Strahlung übergeht, so daß wir zu der allgemeineren Folgerung geführt werden:
Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9.10^20, wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird.
[...]
Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung Trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern.

Im darauffolgenden Jahr veröffentlichte Einstein in den AdP den Artikel Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie und kam dort zu folgendem Ergebnis:

Zitat von Albert Einstein

Schreibt man also jeglicher Energie E die träge Masse E/V² zu, so gilt — wenigstens in erster Annäherung — das Prinzip von der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes auch für Systeme, in denen elektromagnetische Prozesse vorkommen.
Aus der vorstehenden Untersuchung folgt, daß man entweder auf den Grundsatz der Mechanik, nach welchem ein ursprünglich ruhender, äußeren Kräften nicht unterworfener Körper keine Translationsbewegung ausführen kann, verzichten oder annehmen muß, daß die Trägheit eines Körpers nach dem angegebenen Gesetze von dessen Energieinhalt abhänge.

Ebenfalls 1906 wies Einstein im AdP-Artikel Über eine Methode zur Bestimmung des Verhältnisses der transversalen und longitudinalen Masse des Elektrons die je "nach damals diskutierten Theorie" unterschiedlichen Verhältnisse der transversalen und longitudinalen Massen eines bewegten Elektrons zum Zwecke der experimentellen Bestätigung / Widerlegung aus.

Seine Überlegungen führte er 1907 im Artikel Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie - wiederum in den AdP - weiter:

Zitat von Albert Einstein

[...]so gelangt man zu dem Resultat, daß einem Energiezuwachs ΔE des betrachteten Körpers stets ein Massenzuwachs ΔE/V² entsprechen müsse, wobei V die Lichtgeschwindigkeit bedeutet.
[...]
Wir haben also folgendes merkwürdige Resultat erhalten. Setzt man einen starren Körper, auf den ursprünglich keine Kräfte wirken, dem Einflüsse von Kräften aus, welche dem Körper keine Beschleunigung erteilen, so leisten diese Kräfte — von einem relativ zu dem Körper bewegten Koordinatensystem aus betrachtet — eine Arbeit ΔE auf den Körper, welche lediglich abhängt von der endgültigen Kräfteverteilung und der Translationsgeschwindigkeit. Nach dem Energieprinzip folgt hieraus unmittelbar, daß die kinetische Energie eines Kräften unterworfenen starren Körpers um ΔE größer ist als die kinetische Energie desselben, ebenso rasch bewegten Körpers, falls keine Kräfte auf denselben wirken.
[...]
Ein System bewegter Massenpunkte besitzt also — als Ganzes genommen — desto mehr Trägheit, je rascher die Massenpunkte relativ zueinander bewegt sind. Die Abhängigkeit ist wieder gegeben durch das in der Einleitung angegebene Gesetz.

Die (hier nur knapp im verbalen Ergebnis dargestellte) Argumentation Einsteins ist von der ein oder anderen Formel getragen die meine besondere Aufmerksamkeit weckt.

[EMI]

Das hatten wir im Forum schon mal diskutiert, SCR:

http://www.quanten.de/forum/showpost...7&postcount=17

Gruß EMI

[SCR]

Hi EMI,

Danke für den Hinweis: diesen Thread hatte ich auch schon einmal mit gelesen - Damals aber noch mit geringerem Interesse.

Gegebenenfalls sind dem ein oder anderen zur ergänzenden Lektüre in dieser Thematik auch noch nachfolgende Arbeiten von Walter Kaufmann dienlich:
Über die Konstitution des Elektrons; Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1905, S. 949–956 (Hier auch als ca. 28 MB großes PDF verfügbar)
Über die Konstitution des Elektrons; Annalen der Physik; 1906
Nachtrag zu der Abhandlung: "Über die Konstitution des Elektrons";Annalen der Physik; 1906

Auszug aus Wikipedia zu Walter Kaufmann:

Zitat von wikipedia

Erste Bestimmungen des Verhältnisses e/m führte er 1897 aus. Angeregt durch theoretische Vorhersagen von Joseph John Thomson, George Frederick Charles Searle und Hendrik Antoon Lorentz über die Massenzunahme beschleunigter elektrischer Ladungen, führte er 1901 Experiment durch, worin er erstmals die Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen, elektromagnetischen Masse des Elektrons nachwies. Max Abraham (1902) erkannte allerdings bei seinem Versuch, die Experimente von Kaufmann theoretisch zu untermauern, dass die Formel von Searle nur für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung, und nicht senkrecht dazu wie bei Kaufmanns Experimenten, gültig war. Er führte daher (wie vor ihm bereits Lorentz 1899), neben der longitudinalen auch eine transversale Masse ein. In den Arbeiten von 1902-1903 wurde dieser Umstand von Kaufmann nun ebenfalls berücksichtigt. Darüber hinaus wurden Kaufmanns Versuche so gedeutet, dass ausschließlich eine „scheinbare“ elektromagnetische Masse, und keine „wirkliche“ mechanische Masse existiert. Allerdings waren seine Messungen noch nicht genau genug, um zwischen den Vorhersagen zur transversalen Masse in der Lorentzschen Äthertheorie und der Theorie von Abraham zu unterscheiden.

Ende 1905 führte er noch genauere Experimente durch. Hier findet sich auch erstmals in der Literatur eine Auseinandersetzung mit der kurz zuvor erschienenen Speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins. Obwohl von völlig unterschiedlichen Voraussetzungen ausgehend und auch logisch befriedigender aufgebaut, sei sie "beobachtungsäquivalent" zu der Theorie von Lorentz, weswegen Kaufmann vom Relativitätsprinzip als von der "Lorentz-Einsteinschen" Grundauffassung spricht. Seine Ergebnisse sprachen nun seiner Meinung nach für die Theorie Abrahams, und stellten eine Widerlegung des Relativitätsprinzips dar. Für einige Jahre war das ein schweres Gegenargument für die Theorien von Lorentz und Einstein, obgleich Adolf Bestelmeyer bereits 1906 die Ergebnisse in Frage stellte.

Alfred Bucherer (1908), Neumann (1914) und andere kamen jedoch zu Ergebnissen, welche ihrer Ansicht nach besser zu der "Lorentz-Einstein"-Theorie passten. Jedoch später (1938) wurde festgestellt, dass die Kaufmann-Bucherer-Neumann Experimente zwar allgemein die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse bestätigten, jedoch nicht genau genug waren, um das Lorentz-Einsteinsche Massenkonzept vom Abrahamschen zu unterscheiden. Das ist mit dieser Art von Experimenten erst 1940 gelungen. (Allerdings bestand diese Problematik nur für diese Art von Experimenten. Bei Untersuchungen der Feinstruktur der Wasserstofflinien konnte schon 1917 eine sehr viel genauere Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Formel, und somit die Widerlegung der Abrahamschen Theorie, erbracht werden.)

Einsteins Überlegungen in "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" gehen von der Formel



aus (wobei Einstein mit l die Energie eines Systems ebener Lichtwellen bezeichnet).

Ersetzt man in dieser Gleichung V durch das heute geläufigere c und berücksichtigt die Energie-Masse-Äquivalenz, gelangt man zu folgendem Ausdruck:

m'c² = mc² (1-(v/c cos φ) / (1 - v²/c²)^0,5

bzw.

m'= m (1-(v/c cos φ) / (1 - v²/c²)^0,5

Geht cos φ gegen 0 gewinnt man daraus direkt die Formel für die transversale Masse m' = m / (1-v²/c²)^0,5.

Für φ = 180° wird dagegen cos φ zu -1. Die Gleichung ergibt sich damit zu

m'= m (1 - v/c) / (1 - v²/c²)^0,5

Dieser sollte meines Erachtens nach die Formel der longitudinalen Masse m'= m / (1 - v²/c²)^1,5 gegenüber stehen.
Es müsste sich (falls mir kein Fehler unterlaufen ist) diesbezüglich nun daraus zwangsläufig folgende Gesetzmäßigkeit einstellen: 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²)

-> Was meinst Du dazu?

[Hawkwind]

Zitat von SCR

Es müsste sich (falls mir kein Fehler unterlaufen ist) diesbezüglich nun daraus zwangsläufig folgende Gesetzmäßigkeit einstellen: 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²)

-> Was meinst Du dazu?

Für v=0 ist deine "Gesetzmäßigkeit" ja immerhin richtig.

[Bauhof]

Zitat von Hawkwind

Für v=0 ist deine "Gesetzmäßigkeit" ja immerhin richtig.

Hallo Hawkwind,

ja, v=0, das ist eine "gute" Lösung!

Aber es kommt noch besser: Wenn man v#0 annimmt, dann darf man durch v/c dividieren und man erhält für v zwei weitere Lösungen der "zwangsläufigen Gesetzmäßigkeit" 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²) zu

v1 =   0,618•c
v2 = - 1,618•c

Etwas unphysikalsch, aber rein mathematisch dennoch korrekt!

M.f.G. Eugen Bauhof

[SCR]

Zitat von SCR

(falls mir kein Fehler unterlaufen ist)

Doch - mein altes Leiden (= Schusseligkeit):
m'= m (1 + v/c) / (1 - v²/c²)^0,5
Und damit müsste es lauten:
1 + v/c = 1 / (1 - v²/c²)

@Hawkwind: Die hier stimmt für v=0 auch.
@bauhof: Sorry, Du musst nochmal rechnen.

[Bauhof]

Zitat von SCR

Und damit müsste es lauten:
1 + v/c = 1 / (1 - v²/c²)
@Hawkwind: Die hier stimmt für v=0 auch.

Hallo SCR,

das ist schön, dass auch diese Gleichung für v=0 stimmt. Aber es kommt noch schöner:

Zitat von SCR

@bauhof: Sorry, Du musst nochmal rechnen.

Auch für 1 + v/c = 1 / (1 - v²/c²) ergeben sich die gleichen Lösungen wie bei der Gleichung 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²):

v1 =   0,618•c
v2 = - 1,618•c

Mach die Probe und setze meine Lösungen in deine Gleichung ein!

M.f.G. Eugen Bauhof

[Hawkwind]

Zitat von Bauhof

v1 = 0,618•c
v2 = - 1,618•c[/code]


Mach die Probe und setze meine Lösungen in deine Gleichung ein!

M.f.G. Eugen Bauhof

Na, damit haben wir ja dann die 3 Geschwindigkeiten, bei denen Einsteins Relativitätsheorie gilt.

Eugen, ich sehe schon, du beherrscht noch die gute alte p - q -Formel.

[EMI]

Zitat von SCR

Was meinst Du dazu?

Da passt einiges nicht SCR,

longitudinal bedeutet in Bewegungsrichtung (φ=0° , cos φ=1)
transversal steht senkrecht zur Bewegungsrichtung (φ=90° , cos φ=0)

Zitat von SCR

m'= m (1-(v/c cos φ) / (1 - v²/c²)^0,5
Geht cos φ gegen 0 gewinnt man daraus direkt die Formel für die transversale Masse m' = m / (1-v²/c²)^0,5.

Das passt also.

Zitat von SCR

Für φ = 180° wird dagegen cos φ zu -1. Die Gleichung ergibt sich damit zu
m'= m (1 - v/c) / (1 - v²/c²)^0,5

Das passt nicht ganz. Hier müsste stehen:
Für φ = 0° wird dagegen cos φ = 1. Die Gleichung ergibt sich damit zu:
m'= m (1 - v/c) / (1 - v²/c²)^0,5

Zitat von SCR

Es müsste sich diesbezüglich nun daraus zwangsläufig folgende Gesetzmäßigkeit einstellen: 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²)

Das passt nun überhaupt nicht.
Das würde nur gehen, wenn EINSTEIN seine Formel: m'= m (1-(v/c cos φ) / (1 - v²/c²)^0,5
so aussehen würde : m'= m (1+(v²/c² cos φ) / (1 - v²/c²)^0,5
Damit käme dann für dein: 1 - v/c = 1 / (1 - v²/c²)
das raus: 1 + v²/c² ≈ 1 / (1 - v²/c²)

Da 1/(1-x)≈1+x ist, folgt für:
1/(1 - v²/c²) ≈ 1 + v²/c²

Gruß EMI

[SCR]

Hi EMI,

Danke für Dein Feedback! Ja, Du hast völlig Recht: Winkel bzw. Cosinus verschusselt.
Obwohl ich das früher durchaus einmal richtig konnte :

Zitat von SCR

mit:
Transversale Masse: α=90°
Longitudinale Masse: α=0°

Eigentlich zielte meine Frage aber auch gar nicht direkt auf irgendeine "Gesetzmäßigkeit" ab - Die würde sich ja (wenn dann) nur indirekt ergeben.

Mein Kernproblem ist eigentlich: Wie käme Einstein von seiner (auf Grund der Winkelangabe augenscheinlich allgemeingültigen) Formel

auf die longitudinale Masse?

(Die Ableitung einer "Gesetzmäßigkeit" fußte rein auf meinen Überlegungen "Das ginge nur, wenn ...")

EDIT: Hier in den WIKILIVRES liegt der komplette Artikel von Einstein auch volldigital vor.

EDIT2: Einstein schreibt einführend zur besagten Formel in "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?":

Zitat von Albert Einstein

Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Parallel-Translationshewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden (Relativitätsprinzip).
Gestützt auf diese Grundlagen leitete ich unter anderem das nachfolgende Resultat ab (l. c. § 8): [...]

Er müsste sich meines Erachtens damit auf die Gleichung

aus der SRT(Zur Elektrodynamik bewegter Körper) beziehen.

EDIT3: Eigentlich war ich "nur" auf der Suche nach einer allgemeingültigen Formel für die relativistische Masse / möglichen Ansatzpunkten einer Verifizierung dieser Überlegungen hier ...

Zitat von SCR

Jetzt zu Deiner Frage, EMI:
Für 90° geht der cosinus gegen 0 -> Der Bruch hinten geht gegen 1 -> Es ergibt sich mr=mo / (1-v²/c²)^0,5 (Die Formel für die transversale Masse)
Für 0° geht der cosinus gegen 1 -> Der Nenner hinten wird zu (1-v²/c²) -> Mit dem vorderen Bruch multipliziert ergibt sich mr=mo / (1-v²/c²)^1,5 (Die Formel für die longitudinale Masse)

-> Passt das? (Bzw. kennst Du eine allgemeingültige Formel für die relativistische Masse?)

... und bin eben dabei auf besagte Formel von Einstein gestoßen.