Grundsätzliche Überlegungen zu Hohlkugeln

[SCR]

Hallo zusammen,

in Ergänzung zum aktuellen "Uhrenhantel"-Thread und in Fortsetzung zum Thread Gravitation in einer hohlen Kugel:

Wir betrachten zwei unterschiedlich massive Hohlkugeln - Sie mögen sich dergestalt unterscheiden, dass im Inneren der Hohlkugel 2 die Zeit nur halb so schnell verlaufen möge wie in Hohlkugel 1:



Die gegenseitige gravitative Beeinflussung beider Hohlkugeln sei vernachlässigbar.

Für beide Hohlkugeln gilt: Das Gravitationspotential in ihren Innerem verläuft flach.

Ein flaches Gravitationspotential bedeutet, dass kein G-Feld vorliegt -> Für das Innere beider Hohlkugeln dürfen die Minkowski-Metrik und damit auch sämtliche SRT-Gesetzmäßigkeiten auf im Innern der Hohlkugeln befindliche Objekte (sofern deren G-Felder vernachlässigbar sind) angewendet werden.

Eine beide Hohlkugeln übergreifende Anwendung der SRT ist allerdings nicht zulässig da die beiden flachen Gravitationspotentiale ein unterschiedliches Niveau aufweisen:
In Hohlkugel 2 läuft nicht nur die Zeit nur halb so schnell wie in Hohlkugel 1 ab - auch sämtliche Längen sind (z.B. bezogen auf in beiden Hohlkugeln eingebrachte identische Vergleichsobjekte) in Hohlkugel 2 auf die Hälfte reduziert ("Dreidimensionale Längenkontraktion").

Da dies analog für in beide Systeme eingebrachte Maßstäbe gilt wird man in beiden Hohlkugeln dennoch zu identischen Ergebnissen kommen.

Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig ?

[ghostwhisperer]

Zitat von SCR

Wir betrachten zwei unterschiedlich massive Hohlkugeln - Sie mögen sich dergestalt unterscheiden, dass im Inneren der Hohlkugel 2 die Zeit nur halb so schnell verlaufen möge wie in Hohlkugel 1:
......
Für beide Hohlkugeln gilt: Das Gravitationspotential in ihren Innerem verläuft flach.
Ein flaches Gravitationspotential bedeutet, dass kein G-Feld vorliegt

Hallo ! Du meinst wohl, dass Potentialfeld ist überall (im Innern je einer der Kugeln) konstant? Das wäre nämlich für verschwindendes G-Feld der Fall und innerhalb einer Hohlkugel gilt dieses. Ein konstantes Potential hat aber in der klassischen Physik keine effektive Wirkung. Diese Überlegung tritt ja sowohl in der Mechanik, der SRT und bis hin zu den Eichtheorien auf. In jedem Fall sagt man, dass durch Wechsel des (globalen) Bezugsystems das Potential wegtransformiert werden kann. Im vorliegenden Fall müsste sich ein externer Beobachter wohl in eine Kugel hineinbegeben um das Bezugssystem zu wechseln. Automatisch bezieht er sich auf seinen neuen Standort und "sieht" das konst. Potential ausserhalb der Kugel.

Zitat von SCR

-> Für das Innere beider Hohlkugeln dürfen die Minkowski-Metrik und damit auch sämtliche SRT-Gesetzmäßigkeiten auf im Innern der Hohlkugeln befindliche Objekte (sofern deren G-Felder vernachlässigbar sind) angewendet werden.

So richtig. Sofern wir uns darüber einig sind, dass das Potential überall in einer Kugel konstant ist und die jeweils andere Kugel nicht Gegenstand unserer Überlegungen ist. Das konstante Potential entspricht einer konstanten Relativ-Geschwindigkeit in der SRT. Um dies zu erkennen müsste sich ein Beobachter im Potential und einer ausserhalb befinden, um die SRT-typischen Diskussionen um die relativen Eigenschaften führen zu können.

Zitat von SCR

Eine beide Hohlkugeln übergreifende Anwendung der SRT ist allerdings nicht zulässig da die beiden flachen Gravitationspotentiale ein unterschiedliches Niveau aufweisen:
In Hohlkugel 2 läuft nicht nur die Zeit nur halb so schnell wie in Hohlkugel 1 ab - auch sämtliche Längen sind (z.B. bezogen auf in beiden Hohlkugeln eingebrachte identische Vergleichsobjekte) in Hohlkugel 2 auf die Hälfte reduziert ("Dreidimensionale Längenkontraktion").
Da dies analog für in beide Systeme eingebrachte Maßstäbe gilt wird man in beiden Hohlkugeln dennoch zu identischen Ergebnissen kommen.
Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig ?

Haben wir nur 2 Betrachter in 2 Bezugssystemen können wir in der SRT verbleiben. Gegenstand der Diskussion ist das relative Potential zwischen Kugel eins und zwei.
Erst wenn ich einen dritten Beobachter im "Nullpotential" ausserhalb der Kugeln hinzunehme könnte eine Krümmung ala ART definiert werden. Und dass hinge davon ab, in welcher Reihenfolge die Potentiale vorliegen:
0,1,2 -> lineare Zunahme, Newt. Kraft definiert (=Konstant!!!) aber Krümmung Null
1,0,2 -> nichtlineare Funktion, Krümmung ungleich Null

MFG !!

[SCR]

Deine Überlegungen und Gedankengänge gefallen mir sehr, ghost!

P.S.: Du hattest in einem anderen Forum eine Frage gestellt - Evtl. hilft Dir diesbezüglich dieser Beitrag ein wenig weiter: http://www.quanten.de/forum/showthre...&postcount=102.
(Sollten wir aber hier nicht weiter vertiefen: Sollte - falls erforderlich - IMHO Gegenstand eines eigenen Threads darstellen)

[SCR]

Das niedrigste in unserem Universum überhaupt erreichbare flache G-Potential müsste durch eine vollständige Schwarzschildlösung beschrieben werden können, wobei die innere Schwarzschildlösung die komplette Materie unseres Universums beinhalten würde (Anmerkung: Eine Vollkugel ist "nur" ein Spezialfall einer Hohlkugel - Ihr "flacher Innenraum" wird allein und vollständig durch einen einzigen Punkt repräsentiert).

Das höchste anzunehmende flache G-Potential andererseits müsste von einem krümmungsfreien de Sitter-Raum (da materiefrei) dargestellt werden.

[SCR]

Zitat von SCR

Das höchste anzunehmende flache G-Potential andererseits müsste von einem krümmungsfreien de Sitter-Raum (da materiefrei) dargestellt werden.

Wo ich's mir recht überlege - Ich glaube, das muß ich doch korrigieren: Es müsste doch eigentlich vom Scheitelpunkt eines negativ gekrümmten de Sitter-Raums repräsentiert werden ...

[ghostwhisperer]

Zitat von SCR

Das niedrigste in unserem Universum überhaupt erreichbare flache G-Potential müsste durch eine vollständige Schwarzschildlösung beschrieben werden können, wobei die innere Schwarzschildlösung die komplette Materie unseres Universums beinhalten würde (Anmerkung: Eine Vollkugel ist "nur" ein Spezialfall einer Hohlkugel - Ihr "flacher Innenraum" wird allein und vollständig durch einen einzigen Punkt repräsentiert).
Das höchste anzunehmende flache G-Potential andererseits müsste von einem krümmungsfreien de Sitter-Raum (da materiefrei) dargestellt werden.

Ein überall gleiches Potential hat ja keinen Effekt und wäre als solches nicht messbar. Ein Beobachter müsste ausserhalb des Feldes stehen, also "ausserhalb des Universums" um eine Aussage treffen zu können.
Ein solches Feld würde kein gekrümmtes Universum beschreiben sondern ein ganz flaches -> keine Schwarzschildlösung.

Da ist schon eher vorstellbar, dass im gesamten Raum eine konstante Krümmung vorliegt, die sich zB nur durch die "momentane Größe" des in sich geschlossenen Universums definiert, faktisch der Kehrwert des "Radius".
Das führt aber wieder zu folgender Überlegung, was das Potential betrifft:
Wie in den Eichtheorien ist es nicht eindeutig bestimmt, sondern vom "Startpunkt" der zweifachen Integration der Krümmung abhängig.
Im beschriebenen Modell-Universum ist aber jeder Punkt gleichberechtigt, ein "absolutes Potential" also genauso sinnlos wie der absolute Raum nach Newton.
Tatsächlich ist die ART ja auch eine Eichtheorie und unterliegt der Eichfreiheit.

MFG !

[SCR]

Hallo ghostwisperer,

Da hast Du schon Recht: Bezüglich eines Punktes kann man nicht von "flach" oder "gekrümmt" sprechen.

Um Deine Anmerkungen in Richtung SRT etwas konkreter im Detail diskutieren zu können zunächst (zur Vereinfachung) eine kleine Modifikation des obigen Beispiels:
a) Links entfernen wir einmal die Hohlkugel.
b) Rechts bedienen wir uns einer "Lampion-Zusammenfaltung" ähnlich hier - nur dass wir diesmal auch noch die zwei "Lampion-Halbmonde" auf einen einzigen Punkt "zusammenrollen", wodurch sich eine Punktmasse (in der Abbildung "Vollkugel" bezeichnet) mit Masse der Hohlkugel ergibt die weiterhin einen Abstand von r (= Radius der ursprünglichen Hohlkugel) zum Probekörper aufweist:



In diesem Falle müsste sich die ZD unter Anwendung der SRT-Formeln aus jener Geschwindigkeit ergeben, welche die rechte Uhr genau im Abstand r von der Vollkugel erreichen würde, falls sie von der Startposition der linken Uhr aus frei auf die Vollkugel zufallen würde.

[SCR]

Irgendwas ist da falsch ... Ich muß da nochmal nachdenken.

[SCR]

Hallo EMI,

Aus http://www.quanten.de/forum/showthre...7&postcount=13:

Zitat von EMI

die genaue Herleitung ergibt:
Δf/f = -GR²/2c²r
und die noch genauere:
Δf = f*(GR/c²)*(1-(3R/2r)) , mit G=Erdbeschleunigung (ich reserviere die Kleinbuchstaben wie g für die Naturkonstanten) R=Erdradius und r=Radius der Satellitenbahn

mit ...

Zitat von SCR

F = - GMm/r²
mit F = mg:
g = - GM/r²

... müsste sich damit für die untere von EMI genannte Formel allgemein ergeben:

Δf = f*(- GMR/r²c²)*(1-(3R/2r))

(wobei hier
G: Gravitationskonstante
c: Lichtgeschwindigkeit
M: Masse
R: Radius "inneres" Objekt
r: Radius "äußeres" Objekt)

Könntest Du eventuell einmal die Herleitung der von Dir angegebenen Formel Δf = f*(GR/c²)*(1-(3R/2r)) aufzeigen, EMI?
Aber nur wenn es keine Umstände bereitet. Das würde mich aktuell sehr interessieren.
Herzlichen Dank!


P.S.: Aus wikipedia:

Longitudinaler Dopplereffekt:

Transversaler Dopplereffekt:

Allgemeiner Dopplereffekt:

wobei jeweils
fB: Frequenz Beobachter
fS: Frequenz Sender

[EMI]

Zitat von SCR

Könntest Du eventuell einmal die Herleitung der von Dir angegebenen Formel Δf = f*(GR/c²)*(1-(3R/2r)) aufzeigen, EMI?

Siehe: http://www.quanten.de/forum/showpost...8&postcount=36

Gruß EMI