Wurzelfreie Herleitung des Kreises durch das Quadrat

[mermanview]

Tag Leute,

ich war sehr lange weg.

Im Sinne von richy's gelegentlichem Credo: "shut up and calculate" hab ich mir Zeit gelassen,
um -neben dem eigentlichen Leben- schrittweise zu rechnen:

Ergebnis:

Der trigonometrische x- Faktor

Herleitung von exakten Kreispunkt-Koordinaten ohne Wurzelfunktion:

Namensgebung:

..........x = x-Faktor, a und b = Koordinaten (a|b) des Einheitskreises


Berechnung:

x-Faktor:

..........x = frei wählbar (>1)

Exakte Startwerte für die Reihenberechnung der Kreispunkte

..........a(1) = (x²-1) / (x²+1)
..........b(1) = (2x) / (x²+1)

Iteration exakter Kreispunkte:

..........a(n+1) = a(n) * a(1) – b(n) * b(1)
..........b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Ergebnisse,

bei x = 5:




bei x = 20:





Durch Ausprobieren stellte sich heraus,
dass bei x = 114,5886501293 für MS-Excel der ideale Wert entsteht,
um pro Iterationsschritt auch die Sinus- und Kosinuswerte für 1°-360°
auf mehrere Kommastellen genau zu berechnen !


bei x = 114,5886501293:






Gesamt gesehen sieht das Ergebnis mager aus, für ca. 8 Monate Rechenzeit,
(wenn mal Zeit war, zu calculaten), die Zwischenergebnisse waren reichlich.

Was hier steht war auch vor 9 Monaten schon bekannt,
wurde allerdings von mir nicht in dieser Reihenfolge angewandt und vorgeschlagen.



Der x-Faktor ergab sich aus a²+b²=c² mit c=1:

....(1-a) * x = b = (1+a)/x
=> x = Wurzel((1+a)/(1-a))

=> ....a = (x²-1)/(x²+1)
und ...b=(2x)/x²+1)

Geometrisch steht x für die Steigung der Sehne eines Kreisabschnittes,
welcher durch ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, das man in einen Einheitskreises zeichnet.

Bild:
(c bzw. r = 1)



bdmnxt

Merman

[mermanview]

. im Unterschied zur herkömmlichen Berechnung/ Herleitung von Kreispunkt-Koordinaten mit Hilfe der gängigen Pythagoras-Formel:

..........b = Wurzel(1-a²)

werden hier Kreispunkte in regelmäßigen Abständen berechnet.

Dadurch sind die Ergebnisse nutzbar für Winkelfunktionen,
da der Kreis in regelmäßige Abschnitte unterteilt wird.

Die Iteration zur Berechnung lässt sich z.Zt. leider (noch) nicht vermeiden.

Wurzelberechnungen sind hier immerhin komplett ausgeschlossen,
... umgewandelt in quadratische Berechnungen, und die Koordinaten sind exakt.

In diesem Beispiel ergibt sich aus den Berechnungen noch keine Information über die Häufigkeit "n", der gewählten Kreisabschnitte
(zur Vollendung eines Kreises), die per Anfangssteigung "x" festgelegt werden, ... ich bleibe dran.

Wofür könnten vereinfachte Winkelfunktionen nützlich sein ?

Hm, keine Ahnung, vielleicht werden damit Berechnungen von Aufenthaltsorten vereinfacht.

Da hier die mathematischen Darstellungen stets geometrisch anschaulich ist, macht es vor Allem Spaß.

Gruß Merman

[mermanview]

... es zeigt sich, wie die Steigungen aller Sehnen mathematisch verknüpft sind,
die im Einheitskreis vom Punkt (1|0) zu den gleichmäßig verteilten Kreispunkten führen.

Ich bleibe bei der Namensgebung "x" für die Steigung einer Sehne,
da "m" bereits für die Steigung vergeben ist, die sich aus dem Punkt (0|0) ergibt,
und da "m(Sehne)" bzw. "m(2)" zu lang und irreführend wäre,
und zudem kann ich bei meinem glorifizierenden "X-Faktor"-Titel bleiben.

Also nochmal für alle:

Wir begeben uns mit dem Pythagoras-Dreieck a²+b²=c² in einen Einheitskreis, bei dem der Radius r =1 ist.
Somit ist die Hypothenuse "c" des Dreiecks ebenfalls =1.



Ziel ist -wie immer- die Quadratur des Kreises, eine Mustererkennung für den Verlauf der Sinuskurve.

Dreieck(e) und Einheitskreis ergeben Sehnen/ Sekanten, ausgehend vom Punkt (1|0),
die allesamt gleichmäßig verteilte Punkte mit der Kreislinie erzeugen.

In einem solchen Bild werden mathematische Verwandtschaften von 2er-Potenzen und Verdopplungen durch Kehrwerte veranschaulicht.
Ebenso wird die Verwandtschaft gerader und ungerader Zahlen untereinander (u.a. durch Paralellen) abgebildet.


Verwandtschaft aller Sehnen-Steigungen von (1|0) zu regelmäßigen Kreispunkten: x1, x2, x3, x4, x5, x5, x7, x8, x9,.... ->xn:


Alle Sehnen-Steigungen in quadratischer Folge (x2^n) sind miteinander mathematisch verkettet

Alle Sehnen-Steigungen x(2n) ergeben sich direkt aus x(n).

Alle Sehnen-Steigungen x(2n+1) ergeben sich aus x(n) und x(n+1).


.......... x(2n) = x(n)²-1 / 2x(n) .................................................. ......(Kehrwert der Steigung m, des Vor-Dreiecks aus x(n))

.......... x(2n+1) = [b(x(n+1))-b(x(n))] / [a(x(n))-a(x(n+1)].............(Parallele zur Geraden durch Kreispunkte von x(n) und x(n+1))

mit ..... a = (x²-1)= / (x²+1)
und..... b = 2x / (x²+1)

Das klingt alles fürchterlich kompliziert, das folgende Bild veranschaulicht aber alles recht einfach (hoffe ich).

Bild :



Steigung x1 ist frei wählbar (>1), und somit gegeben, sie entscheidet über die Abstände der Kreispunkte.

In folgendem Bild kann man erkennen, wie sich "Senkrechte" und "Parallelen" abwechseln.

Bild:




Alle Steigungen x(n) mit 2*n=gerade haben eine Senkrechte zwischen Endpunkt von x(n) und dem Ursprung (0|0).
Alle Steigungen x(n) mit 2*n+1=ungerade haben Parallelen am Rand des Vielecks, zwischen den Endpunkten von Steigungen x(n) und x(n+1).


Interessant ist die mathematische Verwandtschaft ebventuell für Mathematiker, die die Sache mit höherer Mathematik untersuchen,
bzw. auf einen anderen "Nenner" bringen können, oder einfach nur "AAAH!, ..... kumma, der Merman" sagen.



Hinter dem nichtlinearen Verlauf der Sinuskurve wird ein greifbareres mathematisches Muster erkennbar.



bdmnxt

Merman

[mermanview]

... im nächsten Schritt müsste untersucht werden, woran man mathematisch erkennt,
ob eine Anfangssteigung x1 in den Vollkreis passt, oder nicht.

Erkennbar daran z.B. dass sie spätestens nach einer "vollen Runde" (2*Pi) wieder den gleichen Wert hat.

Bei gerad-zahligen Vielecken, sollte es einfacher erkennbar sein, da müssten sich Steigungen spätestens nach eine "halben Runde" wiederholen.

Trotz aller bisherigen Erkenntnisse:
Diese Problemstellung scheint wieder mal zur ursprünglichen zurück zu führen:

Das vertrakte Längenverhältnis zwischen Kreisbögen und ihren Sehnen, stöhn.

Und Nomenklatur brauchen wir, Namensgebung:

Anfangssteigungen die genau n-mal in einen Kreis passen sollen "runde" Anfangssteigungen/ Vielecke heißen.
Die Anfangsteigungen, deren Vieleck nicht genau in eine Vollkreis passt heißt demnach "unrund".

Vielleicht fallen mir irgendwann noch bessere Namen ein.

... wollen mal sehen, was es mit den Parallelen auf sich hat,
... ob es denen wurscht ist, ob sie sich in einem runden oder in einem unrunden Vieleck befinden:

cont. calculating

Merman

[d_mittmann]

..also wirst Du jetzt die Steigungen für Vielecke untersuchen?

z.B.:
3 Eck mit x = c*sin(360°/3)/(c-c*cos(360°/3))
4 Eck ...

entsprechend erhalten wir für ein

360 Eck mit c = 1 einen Wert von

x = 114,58865012930960816389083127229

Viel Spass weiterhin beim Rechnen, ich bin auch Fan geometrischer Darstellungen.

[mermanview]

Hallo d_mittmann,

Danke für dein Interesse.

Ursprung dieser Untersuchung war die Aussage meines ehem. Mathematik-Lehrers:
"Es gibt keine Funktion f(x), welche die Sinuskurve darstellt."

Bei der bisherigen Untersuchung stieß ich durch Überlegungen zur SRT- auf den Faktor "x":

...Ein Raumschiff mit v=0,8c hätte aus der theoretischen Sicht eines ruhenden Betrachters:
...innen, z.B. Taschenlampenlicht im Raumschiff:.... c=1,8*c
...außen, z.B. Scheinwerferlicht vom Raumschiff:... c=0,2*c

Wenn man mit Hilfe nur dieser beiden Werte versucht einen verbindenen Faktor x zu finden,
welcher zur einer gemeinsamen Dehnung führt, dann könnte man hiefür eine quadratische Mittelwertberechnung anwenden:

(1-0,8)*x = Dehnung = (1+0,8)/x
=> (1-0,8)*x = (1+0,8)/x
=> x² = (1+0,8)/(1-0,8)
=> x = Wurzel(1,8/0,2)
=> x = Wurzel(9)
=> x = 3


Zeitdehnung bei v=0,8c ist 0,6-fach:
...(1-0,8) * 3 = 0,6 = (1+0,8)/3

In der geometrischen Darstellung entstand so das Dreieck im Einheitskreis,
welches mit seiner "rechten" Steigung eine Sehne im Kreisbogen beschreibt.




Die Steigung dieser Sehne ist der Faktor x.

... und natürlich ist x auch die "Randsteigung" eines n-fachen Viel-Ecks

Ebenso ergaben sich die Pytharogas-typischen Benennungen a, b und c stellvertretend für Geschwindigkeit v , Zeitdehnung ZD und Lichtgeschwindigkeit c.

Bezogen auf die Sinus-Untersuchung erwies sich der Faktor x als hilfreich.

Derzeit suche ich nach einer gemeinsamen Eigenschaft aller Geraden (Sehnen mit Steigung x(n)),
die von (1|0) zu regelmäßig verteilten Kreispunkten führen.

Noch wichtiger wäre ein Erkennungsmerkmal, welches "passende" Anfangssteigungen für z.B. 1°, 5°, 18°, 20°, 36°-Abstände von Anfangssteigungen für unpassende Kreispunkt-Abstände, z.B. 32,86234° unterscheidet (Symmetrie-Eigenschaften).

Denn nur passende Anfangssteigungen können tatsächliche Vielecke ergeben.
Das alles geschieht unter Ausschluss gegebener sin/cos Funktion, denn genau die will ich selber beschreiben/ ersetzen.

Bisher ist das gelungen mit der Reihenberechnung:

... a(n+1) = a(n)*a(1) - b(n)*b(1)
... b(n+1) = a(n)*b(1) + b(n)*a(1)

Anfangswert: a1 = (x²-1) / (x²+1)
.................. b1 = 2x / (x²+1)

x ist frei wählbar


Gruß Merman

PS. wie stehts denn mit deinem "relativistic Bike" ?