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  #1  
Alt 03.05.18, 10:06
Benjamin Benjamin ist offline
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Registriert seit: 14.07.2010
Beiträge: 392
Frage Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Eine Mathe-Frage:

Ist die Einheit (bzw. physikalische Dimension) der Heaviside-Funktion gleich der Einheit (Dimension) ihres Arguments?

Wenn das Argument der Theta-Funktion z.B. 5 Meter ist, ist dann die Einheit dieser Funktion auch Meter?
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"Gott würfelt nicht!" Einstein
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  #2  
Alt 03.05.18, 12:49
Slash Slash ist offline
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Registriert seit: 30.07.2008
Beiträge: 423
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Eine Mathe-Frage:

Ist die Einheit (bzw. physikalische Dimension) der Heaviside-Funktion gleich der Einheit (Dimension) ihres Arguments?

Wenn das Argument der Theta-Funktion z.B. 5 Meter ist, ist dann die Einheit dieser Funktion auch Meter?
Hallo,
genau kann ich die Frage nicht beantworten.

Ich würde aber sagen, dass die Heaviside Funktion die einheitenlos dargestellte Funktion ist und ihre Ableitung die Deltafunktion.

Die Einheiten ergeben sich aus dem praktischen Anwendungsfall und entsprechend wird multipliziert (bzw. das Argument kann auch einheitenlos gemacht werden).

Oft sind es ja auch steuerungstechnische Aspekte, d.h. bspw. bei 0 = Zeitpunkt 0 s / s = wird etwas eingeschaltet, zum Beispiel Spannung 10 V.

Vielleicht ist das Thema auch verwandt mit der Achsenbeschriftung:

x Achse = Länge / m oder Länge in m --> Zahlen sind einheitenlos

Das sind jedenfall meine Gedanken dazu.

VG
Slash


Anm.: Die Sinus-Fkt. bspw. - darstellbar als Potenzreihe - kann bspw. im Argument keine (physikalische) Einheit haben, da man sonst

bspw. 1 m + 1 m³ + ...etc. addieren müsste, was nicht geht.

Geändert von Slash (03.05.18 um 16:31 Uhr)
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  #3  
Alt 03.05.18, 12:50
Ich Ich ist gerade online
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Registriert seit: 18.12.2011
Beiträge: 1.564
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Nö, die hat keine Einheit.
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  #4  
Alt 03.05.18, 18:13
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 708
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Hallo Benjamin,

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Wenn das Argument der Theta-Funktion z.B. 5 Meter ist, ist dann die Einheit dieser Funktion auch Meter?
schau dir dazu die Definition dieser Funktion an. Sie ordnet einem Element der reellen Zahlen die Zahl 0 oder 1 zu. Weder das Argument, noch der Funktionswert haben also eine physikalische Einheit.
__________________
Freundliche Grüße, B.
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  #5  
Alt 04.05.18, 17:45
Benjamin Benjamin ist offline
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Registriert seit: 14.07.2010
Beiträge: 392
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Slash Beitrag anzeigen
Die Sinus-Fkt. bspw. - darstellbar als Potenzreihe - kann bspw. im Argument keine (physikalische) Einheit haben, da man sonst

bspw. 1 m + 1 m³ + ...etc. addieren müsste, was nicht geht.
Dessen bin ich mir bewusst. Aber ich denke, dass es bei der Theta-Fkt. anders ist.

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Nö, die hat keine Einheit.
Kannst du das begründen?

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Hallo Benjamin,


schau dir dazu die Definition dieser Funktion an. Sie ordnet einem Element der reellen Zahlen die Zahl 0 oder 1 zu. Weder das Argument, noch der Funktionswert haben also eine physikalische Einheit.
Ich hab mir natürlich die Definition angesehen. Ich denke, sie muss eine Einheit haben, aber andererseits finde ich das auch verwirrend. Zunächst vielleicht einmal der Grund, wie ich auf diese Frage gekommen bin.

In einer Publikation (siehe Anhang) wird eine Ladungsdichte als eine Summe von Produkten definiert, in denen die Einheitsladung mit Donatordichten und der Theta-Funktion multipliziert wird. Am Ende steht auch noch eine Ladung multipliziert mit der Dirac-Distribution. Die Ladungsdichte (rho) ist eine Flächenladungsdichte [C/cm²], genauso wie die Ladungsdichte Qi [C/cm²]. Einzig die Donatordichten N sind Raumladungsdichten [C/cm³], was in Summe nur Sinn ergibt, wenn die Theta-Funktion eine Dimension "Länge" beiträgt.

Außerdem hängt die Theta-Funktion auch mit der Dirac-Distribution wie folgt zusammen:

d/dx theta(x) = delta(x)

Ist x aber eine Raumkoordinate, dann trägt es die Dimension "Länge" und damit auch eine entsprechende Einheit, zum Beispiel m. Selbes gilt für die Ableitung nach x, die dann die Einheit 1/m tragen muss. Wenn also die Delta-Distribution keine physikalische Einheit trägt, dann muss theta(x) dieselbe Dimension wie x haben, nämlich m.
Angehängte Grafiken
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  #6  
Alt 04.05.18, 18:00
Slash Slash ist offline
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Registriert seit: 30.07.2008
Beiträge: 423
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen

d/dx theta(x) = delta(x)

Ist x aber eine Raumkoordinate, dann trägt es die Dimension "Länge" und damit auch eine entsprechende Einheit, zum Beispiel m. Selbes gilt für die Ableitung nach x, die dann die Einheit 1/m tragen muss. Wenn also die Delta-Distribution keine physikalische Einheit trägt, dann muss theta(x) dieselbe Dimension wie x haben, nämlich m.
Ja, die Delta-Funktion (Distribution) ist die Ableitung.

(Unendlich hoch, unendlich kürz, Fläche darunter = 1).

In dem Link, so wie mir auch nur bekannt, wird die Heaviside-Funktion verwendet, um anzuzeigen, dass ein Wert / ein Signal ... "aus-" bzw. "eingeschaltet" wird, z.B. in Abhänigkeit einer Position, oder einer Zeit etc.

Durch Addition kann man auch eine Fensterfunktion realisieren (oder mehrere), also eine Art digitale Signal.

Übrigens beschreibt dieser Anwendungsfall eine Approximation (vermutlich wären die realen Verhältnisse stetig und nicht sprunghaft).

Aber es ist schon richtig, dass natürlich genaugenommen das Argument x in diesem praktischen Fall eine Einheit hat.

Vermutlich wäre absolut korrekt, durch die Einheit zu teilen, also statt x-x0 besser (x-xo) / (1 m) zu schreiben.

Geändert von Slash (04.05.18 um 18:08 Uhr)
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  #7  
Alt 04.05.18, 18:11
Benjamin Benjamin ist offline
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Beiträge: 392
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
In einer Publikation (siehe Anhang) wird eine Ladungsdichte als eine Summe von Produkten definiert, in denen die Einheitsladung mit Donatordichten und der Theta-Funktion multipliziert wird. Am Ende steht auch noch eine Ladung multipliziert mit der Dirac-Distribution. Die Ladungsdichte (rho) ist eine Flächenladungsdichte [C/cm²], genauso wie die Ladungsdichte Qi [C/cm²]. Einzig die Donatordichten N sind Raumladungsdichten [C/cm³], was in Summe nur Sinn ergibt, wenn die Theta-Funktion eine Dimension "Länge" beiträgt.
Nje ... hab's mir noch mal angesehen. Ich befürchte, die sind in ihrer Publikation nicht konsistent mit ihren Bezeichnungen. rho muss eine Raumladungsdichte sein, sonst passen die Einheiten in der Poisson-Gleichung nicht, und dann muss folglich auch Qi eine Raumladungsdichte sein.

Das mit der Ableitung erklärt sich dann so, indem man eine Konstante mit der Einheit "1/m" in die Theta-Funktion einführt, wie man es ja auch für die Winkelfunktionen macht, zb. bei Wellengleichungen, wo im Argument die Ortskoordinaten immer mit der Wellenzahl multipliziert werden, oder die Zeit mit der Kreisfrequenz. Dann erklärt sich die Ableitung auch:

d/dx sin(kx) = k*cos(kx) <-> [1/m] = [1/m]

d/dx theta(kx) = k*dirac(x) <-> [1/m] = [1/m]

Also theta(x) schreiben ist physikalisch schon fragwürdig, weil man eine Konstante in der Funktion braucht, damit ihr Argument einheitslos ist.
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  #8  
Alt 04.05.18, 18:14
Benjamin Benjamin ist offline
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Registriert seit: 14.07.2010
Beiträge: 392
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Slash Beitrag anzeigen
Vermutlich wäre absolut korrekt, durch die Einheit zu teilen, also statt x-x0 besser (x-xo) / (1 m) zu schreiben.
Ja genau, zumindest so.
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  #9  
Alt 05.05.18, 19:52
Bernhard Bernhard ist offline
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Beiträge: 708
Standard AW: Physikalische Einheiten und Heaviside-Funktion

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Also theta(x) schreiben ist physikalisch schon fragwürdig, weil man eine Konstante in der Funktion braucht, damit ihr Argument einheitslos ist.
Man kann dem Argument der Theta-Funktion per Definition eine Einheit mitgeben, solange das resultierende physikalische Modell funktioniert.

Man kann die Theta-Funktion beispielsweise dazu benutzen, um ein Potential in Abhängigkeit von der Position ein- und auszuschalten. Dann hat das Argument die Einheit einer Länge. Der Funktionswert der Theta-Funktion bleibt dabei erstmal dimensionslos, kann aber z.B. mit V_0 multipliziert werden. Dann bekommt auch der Funktionswert eine physikalische Einheit.
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Freundliche Grüße, B.
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