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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - Die Konvergenz von Potenzreihen


Timm
20.08.10, 17:22
Im Kapitel 4.3 Die Konvergenz von Potenzreihen seines Buches "Der Weg zur Wirklichkeit" gibt Roger Penrose die Summe der Reihe

1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... = 1/(1 - x^2)

an. Für x=1/2 ist die Summe leicht einsehbar 4/3, für x=2 ist sie jedoch -1/3. Oha! Also nicht unendlich! Anstelle einer für den Leser plausiblen Erklärung verweist Penrose hier auf einen Hardy (1949).

Weiß jemand, wie das zu verstehen ist?

P.S. Ich habe nur eine Kopie dieses Kapitels, des Rest des Buches kenne ich nicht.

richy
20.08.10, 17:58
Hi
Auf den ersten Blick wuerde ich sagen Hardy ist der Weihnachtsmann oder der Osterhase.
Wenn ich in Maple eintippe :
S:=sum(x^(2*k),k=0..infinity);
erhalte ich
S=-1/(x^2-1)

Ich hab gleich hinterher reingetippt :
Why?;
Graf Maple meint dann aber nur trocken :
Syntax error, character `?` unexpected :D

Also wenigstens fuer welchen Konvergenzradius ?
Tippe ich ein :
S=sum(2^(2*k),k=0..infinity);
erscheint erwartungsgemaess die Antwort :
S=infinity

Oder allgemeiner :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Bei Herrn Penrose / Hardy muesste (x^2)^(N+1) / (x^2-1) gegen Null streben.
*Schulter zuck (Ist Hardy wirklich kein Scherz ?)

Timm
20.08.10, 19:53
Hi richy,

ich war fast sicher, daß Du aufspringst.

*Schulter zuck (Ist Hardy wirklich kein Scherz ?)

Nein, aber vielleicht steht im Register etwas über Hardy, das kriege ich noch raus.

Hier noch 2 Textstellen, die zumindest mir allerdings auch nicht weiterhelfen:

S. 122: Im Fall x=2 ist es nicht so, daß die "Antwort" unendlich wäre, sondern so, daß wir diese Antwort nicht erreichen können, indem wir unsere Reihenglieder aufsummieren.... Erinnern wir uns an das überzeugende Beispiel der logischen Absurdität, eine reelle Lösung für die Gleichung x^2 + 1 = 0 zu finden. Es gibt keine, aber wenn wir uns damit zufrieden geben, verpassen wir all die tiefen Einsichten, die die Einführung der komplexen Zahlen mit sich brachte. Man kann nämlich der Antwort -1/3 durchaus einen mathematische Sinn geben, aber man muß die Regeln beachten, die besagen, was erlaubt ist, und was nicht. Ich habe nicht die Absicht diese Dinge hier im Einzelnen zu erörtern, (8)=Fußnote Hardy, weise aber darauf hin, daß uns besonders im Bereich der Quantenfeldtheorie oft divergente Reihen dieser Art begegnen.


Reichlich kryptisch das alles,

Gruß, Timm

richy
21.08.10, 03:33
Hi Timm
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3 :D
Wenn ich einen EUR auf die Bank lege und potentiell diesem immer hoehere Betraege zufuege habe ich nach unendlich langer Zeit Schulden.
Keine guten Aussichten fuer Bausparer aber die Finanzkrise wuerde dies sogar bestatigen :-)
Blos wuerde man hier aufgrund des "physikalischen" Vorgangs die Modellgleichung korrigieren muessen. Das meint Herr Penrose sicherlich nicht.

Der Geldvernichtungseffekt tritt sicherlich nur beim Grenzuebergang ein.
Dazu wuerde mir einfallen, dass solche Grenzuebergaenge induktiv begruendet werden muessen. Ich kann infinity ja nicht wie eine Zahl behandeln. Ueber die allgemeine Gueltigkeit der Induktion hat sich Herr Hume schon reichlich den Kopf zerbrochen. Ich meine aber nicht, dass die Mathematiker begeistert darueber waeren wenn Herr Penrose das Induktionsproblem hier erneut zur Debatte stellt.

Bezeichnenderweise wird das Ergebnis auch noch negativ !
Die uebliche Loesung lautet :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wir muessen also "nur noch" den Term (x^2)^(N+1) / (x^2-1) auf magische Weise verschwinden lassen.
- 1/(x^2-1) enthaelt keinen Grenzuebergang und bleibt dann uebrig. Immerhin :-)
(x^2-1) ist fuer x=2 gleich 3 . Naja wenn der Nenner angeblich gegen Null "strebt" ist es egal ob ich 0/3 oder 0 betrachte.

Bleibt S=(x^2)^(N+1)=4^(N+1)
Wenn ich jetzt behaupte, dass der Ausdruck gegen Null strebt mache ich mich doch laecherlich oder ?
Vielleicht rechnet Penrose hier im Komplexen. Mit dem Resuduensatz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz
Allerdings komme ich hier auch nicht auf den Wert 0
Da Herr Penrose mit Quaternionen bewandert ist, hat er vielleicht einen Resuduensatz im Quaternionenraum verwendet.Auf so etwas tippe ich am ehesten. Fasst man die reellen Zahlen als eine Verallgemeinrung von Quaternionen auf oder als Teil eines Hardy Raumes gelten vielleicht andere Grenzwertsaetze. Penrose Twistoren stellen eine Abbildung der Raunzeit auf einen Quaternionenraum dar. Das wuerde passen.

Ansonsten habe ich keinen blassen Schimmer wie er sein neues Ergebnis begruenden koennte :D
Es interessiert mach aber natuerlich auf jeden Fall.

Grad gesehen :
Diesen Hardy kenne ich sogar von Mathematikbuechern. Das ist der Entdecker von Srinivasa Ramanujan.
http://de.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Harold_Hardy
Im englischen Wiki gibt es weiterfuehrende Links :
EDIT
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy

Interessantes verstaendliches PDF zu Quaternionen.
http://arxiv4.library.cornell.edu/ftp/arxiv/papers/0709/0709.2238.pdf
Gruesse

Timm
21.08.10, 10:07
Hi richy,

1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3 :D

Bezeichnenderweise wird das Ergebnis auch noch negativ !
Die uebliche Loesung lautet :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wir muessen also "nur noch" den Term (x^2)^(N+1) / (x^2-1) auf magische Weise verschwinden lassen.

Vielleicht bist Du der Lösung aber damit näher gekommen! Allerdings sollte k = 0,1,2,...unendlich gelten.

Penrose:
Man kann nämlich der Antwort -1/3 durchaus einen mathematische Sinn geben, aber man muß die Regeln beachten, die besagen, was erlaubt ist, und was nicht.

Über die Regeln schweigt sich Penrose aus. Welche Regel könnte dafür sorgen, daß (x^2)^(N+1) / (x^2-1) Null wird? Nein, das sieht nach Irrweg aus.

Er diskutiert dann noch die Reihe 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + ... =1/(1+x^2), die flattert und nicht gegen unendlich strebt. Aber ebenfalls zwischen -1 und +1 konvergiert.
Dann folgt das Kapitel 4.4 Caspar Wessels komplexe Ebene.


Vielleicht rechnet Penrose hier im Komplexen. Mit dem Resuduensatz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz
Allerdings komme ich hier auch nicht auf den Wert 0
Da Herr Penrose mit Quaternionen bewandert ist, hat er vielleicht einen Resuduensatz im Quaternionenraum verwendet.Auf so etwas tippe ich am ehesten. Fasst man die reellen Zahlen als eine Verallgemeinrung von Quaternionen auf oder als Teil eines Hardy Raumes gelten vielleicht andere Grenzwertsaetze. Penrose Twistoren stellen eine Abbildung der Raunzeit auf einen Quaternionenraum dar. Das wuerde passen.


Ich bin mit dem Leser des Buches in Kontakt und werde Dich auf dem Laufenden halten, falls es neue Einsichten gibt.

Gruß, Timm

Hawkwind
21.08.10, 12:38
Hi Timm
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3 :D


Na kommt - ich habe hier nicht alles mitgelesen, aber das ist zweifelsohne sinnfrei. Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist: da kann also für n gegen oo nichts heraus kommen, was kleiner ist als der Wert für n=1 ist.

richy
21.08.10, 14:41
Hi Timm
Vielleicht bist Du der Lösung aber damit näher gekommen! Allerdings sollte k = 0,1,2,...unendlich gelten.

Es ist ja nicht weiter als eine geometrsiche Reihe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Klar es muss dann gelten N-> 00. Aber wenn ich den Grenzuebergang sofort durchfuehre lande ich sofort bei Unendlich. Ich wollte erstmal sehen warum der Wert nagativ (-1/3) sein soll.
@Hawkwind
Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist:
Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.Dehalb habe ich auch Humes Induktionsproblem angesprochen.Wir koennen den Wert oo niemals erreichen. Daher schliessen wir nur induktiv auf den Grenzwert. Existiert ein konvergenter Grenzwert wird anhand einer Grafik unsere induktive Denkweise besonders deutlich. Den Punkt oo koennen wir dort niemals einsetzen und auch gedanklich nur induktiv darauf schliessen.
Das ist nur eine Begruendung warum der Grenzwert von Penrose oder Godfrey_Harold_Hardy nicht voellig sinnfrei sein muss.
Ich vermute aber, dass die Angabe nicht auf dem reellen Zahlenraum basiert .... .... Caspar Wessels komplexe Ebene.
Im Raum von Quaternionen gilt z.B. auch das Distrubutivgesetz nicht mehr.

Uuups ich hatte 2 mal das deuitsche Wiki angegeben.
Hier die englische Version mit Links zu Theoremen von Hardy
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy
Vielleicht spielt dieses Littlewood_tauberian_theorem eine Rolle. Aber auch hier wird der Konvergenzradius eins angegeben.
http://eom.springer.de/h/h046370.htm

Ich bin mit dem Leser des Buches in Kontakt und werde Dich auf dem Laufenden halten, falls es neue Einsichten gibt.

Das waere nett.Und schon wieder ruft wie letzte Woche die naechste Hochzeit.
(Denke ich hab schon ueber 500 Stueck hinter mir. Sehr angenehmer Job :-)
Gruesse richy

Bauhof
21.08.10, 16:10
Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.Dehalb habe ich auch Humes Induktionsproblem angesprochen.Wir koennen den Wert oo niemals erreichen. Daher schliessen wir nur induktiv auf den Grenzwert. Existiert ein konvergenter Grenzwert wird anhand einer Grafik unsere induktive Denkweise besonders deutlich. Den Punkt oo koennen wir dort niemals einsetzen und auch gedanklich nur induktiv darauf schliessen.
Hallo richy,

vor Georg Cantor gab es nur das potentiell Unendliche. Cantor schuf den Begriff: das aktual Unendliche.

Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Potentielle_und_aktuale_Unendlichkeit

und hier: http://www.geocities.jp/mickindex/cantor/cnt_uSU_gm.html

Ich weiß aber nicht, ob das jetzt mit deinen Gedankengängen etwas zu tun hat.

M.f.G. Eugen Bauhof

Hawkwind
21.08.10, 16:18
@Hawkwind

Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.


Nein, es ist weitaus mehr klar. :)


Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl q kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied a0 gleich Null ist. Für | q | < 1 oder a0 = 0 konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:
http://upload.wikimedia.org/math/2/f/0/2f03ad3c0f156124380fbbfab68ae948.png
Das ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für |q| >= 1 und a_0 != 0 die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.


q ist hier aber 4 und a0=1; also fliegt dir diese Reihe um die Ohren für n gegen oo und kann unmöglich -1/3 ergeben. Das ist einfach absurd.

Timm
22.08.10, 16:43
Na kommt - ich habe hier nicht alles mitgelesen, aber das ist zweifelsohne sinnfrei. Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist: da kann also für n gegen oo nichts heraus kommen, was kleiner ist als der Wert für n=1 ist.

Zur Sinnfrage schreibt Penrose:
Leonard Euler, der große Mathematiker des 18. Jahrhunderts, schrieb oft solche Gleichungen auf, und man hat sich gern darüber lustig gemacht, daß er solche Absurditäten behauptete.

Im Folgekapitel diskutiert Penrose die auf komplexe Zahlen z = x + iy erweiterten Funktionen 1/(1-z^2) und 1/(1+z^2), insbesondere deren Singularitäten und den Bereich, in dem beide Funktionen konvergieren. Der reelle Spezialfall x=2, y=0 liegt außerhalb, also im Divergenz-Bereich. Aber die Frage nach einem verborgenen Sinn der Summe -1/3 für x=2 bleibt offen.

@richy, Du hast den Mathematiker Hardy bereits aufgestöbert. Vielleicht bringst Du doch noch Licht in die Angelegenheit. Mir scheint die Botschaft zu sein, daß sich die oberflächliche Ungereimtheit auflöst, wenn man die reellen Zahlen als Spezialfall der komplexen Zahlen betrachtet.
Die Reihe 1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... enthält negative Vorzeichen und sollte somit nicht mehr zwangsläufig gegen oo gehen. Aber hilft diese Überlegung weiter?

Gruß, Timm

eigenvector
22.08.10, 17:16
Nun, um mal meinen Senf dazu zu geben:
Ich verstehe Penrose so, dass er meint, dass es auch Regeln geben kann, unter deren Annahme man der Aussage

1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 + ... = -1/3

einen Sinn zuschreiben kann.
Die Aussage könnte zum Beispiel bedeuten:
Der Funktionswert an der Stelle 2, der Funktion, die man erhält, wenn man die durch die vorliegende Potenzreihe definierte Funktion außerhalb des Konvergenzgebiets der Potenzreihe holomorph fortsetzt, ist -1/3.

Timm
22.08.10, 18:25
Ich verstehe Penrose so, dass er meint, dass es auch Regeln geben kann, unter deren Annahme man der Aussage

1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 + ... = -1/3

einen Sinn zuschreiben kann.
Die Aussage könnte zum Beispiel bedeuten:
Der Funktionswert an der Stelle 2, der Funktion, die man erhält, wenn man die durch die vorliegende Potenzreihe definierte Funktion außerhalb des Konvergenzgebiets der Potenzreihe holomorph fortsetzt, ist -1/3.

Setzt das nicht vorraus, daß die Funktion komplexwertig ist?
Kannst Du Deinen Vorschlag noch etwas näher erläutern?

Gruß, Timm

eigenvector
22.08.10, 18:43
Setzt das nicht vorraus, daß die Funktion komplexwertig ist?
Ja.

Kannst Du Deinen Vorschlag noch etwas näher erläutern?

Gruß, Timm
Kannst du ein bisschen genauer sagen, was genau du wissen willst?

Timm
22.08.10, 21:01
Kannst du ein bisschen genauer sagen, was genau du wissen willst?

Es ist vielleicht schwierig.

Kannst Du mit "einfachen" Worten oder einem Beispiel darlegen, was man sich unter einer holomorphen Fortsetzung dieser Funktion vorzustellen hat und wie für die reelle Zahl x=2 der Wert -1/3 zustande kommen könnte. Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?

Aber einen Versuch wert?

Gruß, Timm

eigenvector
22.08.10, 21:34
Es ist vielleicht schwierig.

Kannst Du mit "einfachen" Worten oder einem Beispiel darlegen, was man sich unter einer holomorphen Fortsetzung dieser Funktion vorzustellen hat und wie für die reelle Zahl x=2 der Wert -1/3 zustande kommen könnte. Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?

Aber einen Versuch wert?

Gruß, Timm

Eigentlich sind doch Potenzreihen das klassische Beispiel für komplexe Funktionen. Die Koeffizienten, der Entwicklungspunkt und das Argument können komplexwertig sein, das Argument dann natürlich auch.
Die Potenzreihe
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
kann man eindeutig holomorph fortsetzen durch
1/(1 - x^2)
(von den beiden Singularitäten bei 1 und -1 abgesehen).
Das geht dann z.B. in etwa so, dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt. Dann geht man noch ein Stück weiter nach oben und wiederholt das ganze. Dann geht man nach Links, etc. pp.
Das ganze macht man so lange, bis man eine Potenzreihe hat, bei der die Stelle 2 innerhalb des Konvergenzradius liegt.
Die Funktionen die man dabei erhält sind innerhalb ihrer Konvergenzradien immer identisch zu der Funktion 1/(1 - x^2).

Ich hoffe es ist ein bisschen verständlich, worauf ich hinaus will.

richy
22.08.10, 22:16
Hi Bauhof
Ich weiß aber nicht, ob das jetzt mit deinen Gedankengängen etwas zu tun hat.

Na meine Gedankengang waere, dass die Summe gegen unendlich divergiert :-)
Aber dein Link zu verschiedenen Auffassungen des Unendlichkeitsbegriffes koennte mit der Fragestellung schon etwas zu tun haben.
Im Fall x=2 ist es nicht so, daß die "Antwort" unendlich wäre, sondern so, daß wir diese Antwort nicht erreichen können, indem wir unsere Reihenglieder aufsummieren....
Das waeren aehnliche Begruendung wie die Induktion, dass der Grenzwert nicht voelliger Unfug sein muss.
Nur kann Herr Penrose den Grenzwert nicht anhand philosophischer Betrachtungen aus dem Aermel schuetteln, sondern er muss diesen konkret herleiten.

@Timm
Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?Hast du das nicht schon gezeigt ? Indem man dies annimmt.
1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ..
Fuer ein Polynom P(x), x element R gilt der Haupsatz der Algebra nicht.
Ersetze ich in dem Polynom x durch z element C gilt der Hauptsatz.Man ersetzt einfach P(x) durch P(z)
Die Zahl zwei waere dann eine spezielle komplexe Zahl. So etwas hatte ich auch schon ueber den Residuensatz vermutet. Dass er die Potenzreihe in einer komplexen Laurentreihe formuliert.

Problem 1 :
1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... weist keine Polstellen auf , so dass es nur einen Nebenteil der Laurentreihe gibt und keine Residuen.
Annahme es gaebe einen Hauptteil mit Residuen. Dann fasst er die Summe eventuell als Integral auf und wendet den Resuduensatz an um dieses Integral zu berechnen.

Problem 2
Die Integralgrenzen muessen fur einen geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene von -oo bis oo Unendlich laufen. Die Summe lauft aber von 0..00

Vermutung :
Vielleicht kann man Problem 1 und Problem 2 so zusammenfassen, dass die Erweiterung zu einem geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene auf eine Laurentreihe fuehrt . Und deren Summe aller Residuen gleich -1/3 betraegt.

Eigenvektors Argument mit der holomorphen Fortsetzung liegt aber wohl naeher an Penrose Argument. Wenn dieser schreibt ...
Im Folgekapitel diskutiert Penrose die auf komplexe Zahlen z = x + iy erweiterten Funktionen 1/(1-z^2) und 1/(1+z^2), insbesondere deren Singularitäten und den Bereich, in dem beide Funktionen konvergieren. Der reelle Spezialfall x=2, y=0 liegt außerhalb, also im Divergenz-Bereich.

... nimmt er doch auch an , dass die Summe divergiert.
Ich denke dass er dann ein Argument unter Bauhofs Link anwendet.
Dass der Grenzuebergang gegen Unendlich gar nicht real existiert. Vor diesem Grenzuebergang mag die Summe sehr sehr gross sein. Das kann man akzeptieren aber wenn man den Begriff der Unendlichkeit nicht akzeptiert und dennoch den Grenzuebergang durchfuehren will bleibt solch ein seltsames Ergebnis wie -1/3.
Im Grunde kann man dis auch bei der simplen Aufspaltung schon sehen.
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wenn man dem linken Teil fuer limit N->00 keine Realitaet (in welchem Sinne auch immer) mehr zuspricht bleibt eben nur der rechte Term uebrig.

Naja, sorry nur ein paar Gedanken dazu.

BTW. Ralf Kannenberg im AC Forum koennte das Raetsel sicherlich loesen.
Ich kann ihn leider nicht fragen.
Gruesse

richy
22.08.10, 22:48
Noch eine Anmerkung.
Ich meine eher nicht, dass man ueber die komplexe Ebene alleine Penrose / Hardies Grenzwert wirklich schluessig erklaeren kann. Auch mit Kenntnissen ueber komplexe Funktionen wird man den Grenzwert natuerlich anzweifeln.
Leonard Euler, der große Mathematiker des 18. Jahrhunderts, schrieb oft solche Gleichungen auf, und man hat sich gern darüber lustig gemacht, daß er solche Absurditäten behauptete.
Dazu faellt mir ein, dass Euler sich bereits Gedanken zu Quaternionen gemacht hat :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Geschichte
Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den Vier-Quadrate-Satz bereits bei Leonhard Euler (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855).
Im dem PDF dass ich bereits verlinkt habe wird angegeben, dass anhand der Quaternonen ein erweiterter Blick auf die Welt moeglich ist. Vergleichbar mit den komplexen Zahlen oder deren maechtigen Anwendung der Integraltransformationen.
http://arxiv4.library.cornell.edu/ftp/arxiv/papers/0709/0709.2238.pdf
Mir fehlt leider dieses uebergeordnete Verstaendnis, da ich mich mit Quaternionen in der Praxis nicht auskenne. Penrose fehlt dieses Stueck Mathematik sicherlich nicht. Vielleicht benoetigt man dies tatsaechlich um Eulers, Hardies, Penrose Welt zu verstehen.
Gruesse

Timm
23.08.10, 17:42
Eigentlich sind doch Potenzreihen das klassische Beispiel für komplexe Funktionen. Die Koeffizienten, der Entwicklungspunkt und das Argument können komplexwertig sein, das Argument dann natürlich auch.
Die Potenzreihe
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
kann man eindeutig holomorph fortsetzen durch
1/(1 - x^2)
(von den beiden Singularitäten bei 1 und -1 abgesehen).
Das geht dann z.B. in etwa so, dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt. Dann geht man noch ein Stück weiter nach oben und wiederholt das ganze. Dann geht man nach Links, etc. pp.
Das ganze macht man so lange, bis man eine Potenzreihe hat, bei der die Stelle 2 innerhalb des Konvergenzradius liegt.
Die Funktionen die man dabei erhält sind innerhalb ihrer Konvergenzradien immer identisch zu der Funktion 1/(1 - x^2).

Ich hoffe es ist ein bisschen verständlich, worauf ich hinaus will.

Leider fehlen mir die Grundlagen. Wie habe ich mir die Schritte:


dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt.

konkret vorzustellen?

Heißt das, man bastelt an der Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... solange herum, bis man eine dazu holomorphe Potenzreihe hat, die für x=2 nun konvergiert und deren Summe gemäß 1/(1 - x^2) -1/3 ist? Kannst Du angeben, wie diese Potenzreihe aussähe?

Demnach offenbart sich der von Penrose angesprochene mathematische Sinn der "Antwort -1/3" dann, wenn man eine zur Ausgangspotenzreihe holomorphe Potenzreihe betrachtet.

Gruß, Timm

Gruß, Timm

eigenvector
23.08.10, 19:37
Leider fehlen mir die Grundlagen. Wie habe ich mir die Schritte:
konkret vorzustellen?
Naja, um eine holomorphe Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt darzustellen, benutzt man die Ableitungen der Funktion an dieser Stelle (Taylor-Reihe). Die Ableitungen kann man nun entweder direkt ausrechnen, oder die Cauchysche Integralformel benutzen, oder was weiss ich.

Heißt das, man bastelt an der Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... solange herum, bis man eine dazu holomorphe Potenzreihe hat, die für x=2 nun konvergiert und deren Summe gemäß 1/(1 - x^2) -1/3 ist? Kannst Du angeben, wie diese Potenzreihe aussähe?
Potenzreihen mit einem größeren Konvergenzradius als null sind sowieso immer holomorphe Funktionen.
Aber die Reihenentwicklung um 2 kann ich dir natürlich angeben:
-1/3 + 4/9 (x-2) - 13/27 (x-2)^2 + 40/81 (x-2)^3 - 121/243 (x-2)^4 + ...

Demnach offenbart sich der von Penrose angesprochene mathematische Sinn der "Antwort -1/3" dann, wenn man eine zur Ausgangspotenzreihe holomorphe Potenzreihe betrachtet.
Naja, das ist jedenfalls eine Möglichkeit, der Aussage von Penrose etwas anderes als "Unsinn" zuzuschreiben.

Timm
23.08.10, 20:27
Danke erst mal, in einem bescheidenen Maß habe ich jetzt ein bißchen mehr Verständnis.

Gruß, Timm