Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Math - DGL versus DZGL
Hi
Im allgemeinen loest man DZGL's ueber die Z Transformation. Im folgenden moechte ich versuchen einige klassische Loesungsverfahren fuer DGL's auf DZGL's zu uebertragen.
Gemaess der Z Transformation betrachte ich dabei z[k-n] bzw z[k+n] rein formell als n-te Ableitung.
dy/dt=f(t)/g(y) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN
Beispiel DGL :
**********
dy/dt=t^2/y^2
int t^2 dy = int y^2 dy
y(t)=t^3+ C
Vorgehensweise bei einer DZGL ?
************************
y[t+1]=t^2/y[t]^2
Maple kann solche nichtlineare DZGL's nicht loesen.
Dieser spezielle formale Ansatz fuehrt nicht weiter :
Summe y[n]^2, 0..t = Summe n^2, 0..t
Wir formen dennoch um :
y[t+1]*y[t]^2=t^2
Logarithmieren
ln(y[t+1]*y[t]^2)=2*ln(t)
...
ln(y[t+1]=-2*ln(y[t])+2*ln(t)
Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-2*z[k]+2*ln(k)
Maple kann hier lediglich eine Faltungssumme als Loesung liefern :
rsolve(z(k+1)=-2*z(k)+2*ln(k),z(k));
Ruecksubstitution :
z[k]=ln(y[k])
y(k)=exp(z[k]
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb1.gif
Die Aufgabenstellung ist bereits zu schwierig. Formulieren wir eine etwas einfachere Aufgabe :
************************************************** **************
DGL :
dy/dt=exp(t)/y
Die allgemeine Loesung lautet :
y(t)^2=2*exp(t)+C
DZGL :
y[k+1]=exp(k)/y[k]
y[k+1]*y[k]=exp(k)
ln(y[k+1])=k-ln y[k])
Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-z[k]+k
************
Diesmal erhalten wir eine geschlossene Loesung (k durch t ersetzt) :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb2.gif
Test der Loesung :
Wir bilden y[k+1]*y[k] und erhalten tatsaechlich ueber einen Exponentenvergleich y[k+1]*y[k] = exp(k)
Graphischer Test :
Gewaehlt wurde der Anfangswert y(0)=1 :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb2.gif
y(t) ist wegen (-1)^k nur fuer geradzahlige k reell. Ansonsten komplexwertig :
complexplot(z,t=0..5);
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb3.gif
Vergleich mit der Differenzengleichung :
Programmcode :
s[0]:=(1);
for i from 1 to 20 do
s[i]:=evalf(exp(i)/s[i-1]);
od;
Ausdruck :
s[0] := 1
s[1] := 2.718281828
s[2] := 2.718281829
s[3] := 7.389056096
s[4] := 7.389056102
s[5] := 20.08553692
Die Werte stimmen mit den Schleifenschnitten der reellen Achse ueberein.
=>
Wir haben tatsaechlich eine Loesung der DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] gefunden !
Dabei haben wir eine aehnliche Methode verwendet wir beim Trennen der Variablen. Diese enthaelt statt Integration eine Substitution und eine Logarithmierung. Die Methode funktioniert daher nur fuer einige spezielle Faelle.
Aber immerhin !
Anm: Auch in der Loesung y(k) faellt der Ausdruck 2^k auf.
Gruesse
Hmm ... ich weiss nicht ob meine obigen Ueberlegungen wirklich neu sind, so dass ich dem Kind einen neuen Namen geben darf.
Kann mich jemand diesbezueglich aufklaeren ? Mist, Ralf Kannenberg wuesste das sicherlich. Kann jemand hier im AC Forum bei Ralf anfragen was er von der Sache haelt ?
Ich nenne solange den DZGL Prototypen mal unverfaenglich Ram-DZGL :
Hypothese : (D.h. ich denke die Loesung ist schluessig)
Die RAM DZGL :
z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m
hat die allgemeine Loesung :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb4.gif
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
Defenitiv NEIN !
Ich weiss inzwischen, dass meine Monologe hier nur wenige verstehen. Weil hier keine Mathematiker unterwegs sind.
Daher poste ich mathematische Beitraege in der Plauderecke.
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
Fuer lineare DZGL's wird die Z Transformation angewendet
Mit nichtlineaeren DZGL's beschaeftigen sich nur wenige Mathematiker.
Verfiziere einfach meine Aussage :
Die DZGL :
z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m
hat die allgemeine Loesung :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb4.gif
Ich vermisse im Forum hier tatsaechlich einen mathematischen Spezialisten wie Ralf Kannenberg :-(
"Schnelltest" der Loesung ueber den Ausdruck z[t+1]*z[t]
z[t] ist eine Exponentialfunktion und daher fuehrt das Produkt z[t+1]*z[t] zu einer neuen Exponentialfunktion die die Summe der Exponenten von z[t+1] und z[t] enthaelt.
Der gemeinsame Nenner des Exponenten ist m^2+2*m+1
Betrachten wir zunaechst den Ausdruck (-m)^k des Zaehlers
Dieser ergibt in der Summe :
(-m)^k + (-m)^(k+1) = (-m)^k*(1-m)
Fuer m=1 werden diese Terme kompensiert. Daher erhielten wir die einfache Verifikation der DZGL y[k+1]=exp(t)/y[k]
y[k+1]/y[k]=exp(t)
Fuer m<>1 trifft diese Kompensation leider nicht mehr zu.
Die (-m)^k Teme bilden fuer m<>1 alternierende Faktoren :
(-m)^k*(1-m)
Trennen wir die Summanden dennoch nach ihrem (-m)^k Charakter.
Nach (-m)^k und den restlichen Summanden.
Die nicht (-m)^k Klasse im Zaehler besteht aus folgende Summanden :
a*t*m
a*t
-a
Diese Klasse K1 erzeugt im Zaehler von z[t+1]*z[t] folgenden Ausdruck :
K1=
a*t*m + a*(t+1)*m +
a*t + a*(t+1) +
-a -a
K1=
a*(2*t*m+m+2*t-1)
Die Klasse K2 wird in der Summe durch den alternierenden Faktor (-m)^k*(1-m) bestimmt. Sie ist fuer m<>1 schwieriger im Handling.
Fassen wir die Nenner Faktoren in der Loesung zusammen :
K2:
y(0)*m^2 +
2*y(0)*m +
a +
y0 + .....
dieser Stelle breche ich mal ab ...
zttl hat mich leider aus meinem Konzept gebracht.
Ich kann es mir auch einfach machen
Die von mir angegebene Loesung der RAM DZGL ist korrekt.
Die DZGL
z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m
hat die allgemeine Loesung :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb4.gif
BASTA !!!
Ich frage dich ob dir deine Monologe nicht allmählich zu doof werden, gebe dir sogar noch einen Link für das deutschsprachige Mathematik Usenet an das du dich wenden könntest...
...und stattdessen regst du dich auf.
Ich werde deine Kreise nicht stören. Vergnüg dich schön mit deinen Monologen!
Ich werde deine Kreise nicht stören.
Das hast du bereits getan.
Natuerlich darfst du gerne anhand der bisherigen doch recht einfachen Vorgehensweise auch Fragen stellen.
Welche Fragen stellen sich fuer dich ?
Du kleines A-rschloch. Das ist dir bestens gelungen.
Du hast deinen Text zu spät redigiert. Deswegen bist du u.a. auch aus dem AC rausgeflogen, weil du deine Kommentare mehrfach und sinnentstellend geändert hast.
Ich wollte dich wirklich nicht mehr stören, aber solche Nettigkeiten verdienen allemal eine gebührende Erwiderung!
Mein Hinterteil fühlt sich einigermaßen geehrt und richtet dir einen Gruß aus:
Ciao, piccolo stranzo
Natuerlich darfst du gerne anhand der bisherigen doch recht einfachen Vorgehensweise auch Fragen stellen.
Welche Fragen stellen sich fuer dich ?
Das ist widerliche A-rschkriecherei
Ich wollte meinen letzten Beitrag eigentlich noch um die persoenlichen Belange bereinigen. Du hast mich mit deinem Beitrag persoenlich angegriffen und daher habe ich zunaechst persoenlich reagiert.
Ich war bis 2001 in einem mathemathischen Forum unterwegs. chaostheorie.de. Kein hohes Niveau. Das Forum wurde von Spam Robots zerbroeselt. Ich muss wohl keine Rechenschaft darueber ablegen warum ich schliesslich bei quanten.de also in einem physikalschen Forum gelandet bin.
Aufgrund einer einfachen Frage meinerseits : Ist die Zeit quantisiert ?
Ich habe sehr viel von den Physikern hier gelernt. Auch viele Menschen hier schaetzen gelernt.
Aber vielleicht sollte ich mir deinen Rat zu Herzen nehmen. Das Forum hier verlassen und meine Ideen in einem Mathematik Forum vorstellen.
Da gibt es jedoch ein Problem. Ich bin kein Mathematiker. Ich wende nur Ingenieursmathematik an.
Ok, ich muss darueber nachdenken.
Letzendlich kann ich einfach die Ergebnisse auch auf meiner Webseite vorstellen.
Das ist allerdings ein wenig mehr muehsam als die Gedanken in ein Forum zu schreiben.
Und in einem Forum hat man auch einen groesseren Antrieb.
Auch darueber sollte ich nachdenken.
Hi Emi
Zttl hat schon recht. Ich sollte mich auch mal in einem richtigen Mathematikforum anmelden um meine Loesungen kniffeliger Probleme vorzustellen.Allerdings habe ich da etwas bedenken, da ich kein Profi Mathematiker bin sondern nur Ingenieur Mathematik anwende. Aber Danke dass du meine nun wirklich manchmal seltsamen Rechnungen verteidigst.
Manno :-(
Ich war an einer interessanten Sache dran. Bemuehe mich .. und dann das...
Du hast deinen Text zu spät redigiert. Deswegen bist du u.a. auch aus dem AC rausgeflogen, weil du deine Kommentare mehrfach und sinnentstellend geändert hast.
Ja, das kann man mir vorwerfen. Ich editiere exzessif. Rechtschreibfehler, Woerter, Saetze. Wie konnte man es besser formulieren, ergaenzen ?
Selten ob ich vielleicht nicht doch nachtraeglich persoenliche Schaerfe aus dem Beitrag loesche, die ich morgen bereuhe. So wie gerade passiert.
@Zttl
Entschuldigung.
Im Forum hier kommt das bei mir ansonsten recht selten vor. Gegenueber dem AC Forum.
Weil man im Forum hier alles sehr viel lockerer handhabt.
Das sehe ich auch nicht als Mangel von quanten.de an. Denn fuer einen vernuenftigen Menschen muss man keine Naturgesetze diktieren. Sie ergeben sich von alleine fuer denjenigen der sich damit beschaeftigt. Auch aus den Erkenntnissen aller grossen Denker der Vergangenheit. Fuer wen sich das nicht ergibt. Ist derjenige deswegen ein Mensch den man ueber Jahre verfolgen muss ? Alles kann ein Einzelner soundso nicht wissen.
Ich editiere niemals den Sinngehalt eines Beitrages. Wenn ich mal einen Fehler gemacht habe gebe ich den auch zu, Und vermerke ihn nachtraeglich mit EDIT :
Wir sind hier ja nicht in einem Forum des Beweises der Kompetenz bestimmter Benutzer sondern die Threads sollen letztendlich versuchen einen Sachverhalt aus verschiedenen Prespektiven zu beleuchten.
Es ist voellig normal dass man sie daher editiert. Es ist kein Wettbewerb.
An einem Rechtschreib oder Stilistikwettbewerb im gallileo Stil nehme ich nicht teil !
Ansonsten bin ich sofort weg aus allen Foren !
Dennoch :
Zttl hat recht :
Ich muss mich in einem Mathematikforum anmelden. Da tragen solche Beitrage nicht als Monologe sondern eventuell auch zur Unterhaltung bei.
Diese obige DZGL und deren Loesung ist kein einfacher Sachverhalt.
Aber nun auch kein Kunstwerk.
Ich hatte zuerst die DZGL y[k+1]=k^2/y[k]^2 auf dem "Labortisch"
Aber die ergibt ja eine unpraktsiche Faltungssumme.
ln(exp(t))=t ist eine sehr viel einfachere DZGL.
Ja ja ja. Es ist nichts besonderes.
Aber immerhin ein kleiner Schritt ! :D
Wohin ? Na woher soll ich das denn wissen :D
Hi ZTTL
Welchen Vergehen habe ich mich denn im AC Forum schuldig genmacht ?
Du kannst das doch gar nicht wissen ab welcher Stelle ich da ploetzlich das ganze Forum gegen mich hatte. Und das Gefuehl musst du erstmal erleben wenn du dich permanent gegen ein ganzes Forum verteidigen musst. Ja Gott. Ich war sprachlich noch nie sonderlich versiert. Aber meinen mathematischen KO Schlag gegen das Jupiterexperiment, ganz ohne Datenschnuefflerei, hatte das AC Forum dennoch gerne angenommen.
@EMI
Du hast dich getaeuscht. Zeitgenosse hat mit diesem Dreck nichts zu tun.
Dafuer lege ich meine Hand ins Feuer. Ok nur die linke. Bin ja Organist :-)
Wie fing mein Ende im AC Forum an ?
Es fing ganz trivial an. Einer Verwechslung von "interstellar" mit "intergalaktisch"
Orbits oder mein Fehler ? Ich weiss es nicht mehr. Er hat mich daraufhin in uebelster Weise persoenlich angeklaefftt. Ja ich habe ihm das verziehen. Die Geschichte mit Orbit ist ja bekannt. Tut mir auch wirklich leid. Wirklich !!!
Am schlimmsten finde ich dass Kondensat wohl seinen besten Freund verloren hat.
Das tut mir auch von ganzem Herzen weh. Kondensats Avantar spricht wohl Baende.
Ich habe versucht die Sache nicht persoenlich zu ernst zu nehmen. Schau mal in meiner Gummizelle ob ich da Orbit oder Kondensat jemals persoenlich beleidigt habe. Wirst nichts finden. Geneckt. Das ja :-)
Dennoch
Nachdem Orbit dieses Klaeff Signal abgegeben hatte ist das ganze Forum ueber mich hergefallen. Ich kann dir gerne die Stelle belegen. So habe ich es erlebt !
Und am schlimmsten fuer mich war, dass sogar Barney und zeitgenosse das alles korrekt fanden.
Naja was solls :D Solche "Freunde" brauch ich nicht.
Zeig mir irgendeine Aussage im AC Forum in dem ich den LHC massif angegriffen haette.
Du wirst keinerlei Aussage in dieser Richtung von meiner Seite im AC Forum finden !
Auch keinerlei persoenliche Beleidigungen. Ausser vielleicht die Holzkoepfe :-)
Meine Vergehen waren folgende :
- Ich habe gegenueber Prof. Roessler mehr Respekt und Verstaendnis verlangt. Auch aufgrund seiner privaten Angelegenheiten, die sicherlich zu einem Bruch mit der Mainstream Wissenschaft gefuehrt haben. Wenn das Haus vom Staat gepfaendet wird. Ja liebe ich den dann noch ?
Anmerkung :
IM AC Forum hat der SYSADMIN das Wort "Prof. Roessler", "Professor Roessler" inzwischen gesperrt. Man kann nur noch "Roessler" schreiben. Man will dort Prof. Roessler seinen Prof Titel ueber idiotische Forenmechanismen nehmen. Kindischer geht es doch wohl kaum noch.
Ok Prof. Roessler ist wohl ein schlechter Physiker aber er war und ist einer der Top Mathematiker in Deutschland.
Statt Roessler Attraktor nun AC Attraktor oder wie ?
- Ich habe postuliert, dass keine physikalischen Prognosen mit einer 100% Sicherheit behaftet sind.
EIn Vogel und ein Stueck Toastbrot haben dies bestaetigt.
Es gibt in der Physik keine 100% Sicherheit.
- Ich habe postuliert, dass ein Neutronenstern nur bedingt mit der Erde vergleichbar ist. Das ist selbstverstaendlich.
- Ich habe postuliert , dass die M Theorien die im LHC Sicherheitsbericht verwendet wurden ein Problem haetten wenn es keine Hawking Strahlung gaebe.
Denn dann waeren alle Neutronensterne Modelle die zeigen, dass diese M Theorien nicht zutreffen koennen. Denn die kosmische Strahlung ist energiereicher als die Energien am LHC.
Daraufhin hat das AC Forum angefangen das astronomische LHC Argument anzuzweifeln.
Wie die Lemmings !
- Ich hab eine Unkorrektkeit von Herrn Mangano aufgedeckt. Er hat in einem Interview behauptet Neutronensterne muessten aufgrund der Berechnungen quasi sofort von MBH's aufgefressen werden. Das stimmt nicht. Der Vorgang wuerde laut Sicherheitsbericht mehrere Millione Jahre dauern.
Sofort = mehrere Millionen Jahre ?
- Ich habe viele Rechtschreibfehler begangen und viel editiert.
Ich moechte dich sehen wenn dich versucht ein ganzes Forum zu zerlegen.
Das kannst du ueberhaupt nicht nachempfinden. Es ist ein Horror.
Ok das waren meine Verbrechen im AC Forum.
Welche haben eine tatsaechliche Relevanz ?
Und ok ich muss diese DZGL nicht RAM nennen.
Andere Vorschlaege ? Oder gibt es bereits einen Namen ?
Gruesse
zeitgenosse
14.09.10, 09:44
Und am schlimmsten fuer mich war, dass sogar Barney und zeitgenosse das alles korrekt fanden.
So ist es nicht! Ich empfand die damalige Situation als nicht besonders beglückend, sagte mir aber, dass der richy diese Suppe selbst auslöffeln muss. Umgekehrt war's ja auch schon so, dass die Mehrheit gegen mich stimmte und mich zum Abschuss freigab. Zum Beispiel, als ich fragte, wohin sich die 44 überdimensionierten Stützen der gefallenen WTC-Tower verflüchtigten. Baustahl zerbröselt ja nicht einfach so zu Granulat.
Gr. zg
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
Hallo zttl,
wer ist Kannenberg? Ist das ein Alias von richy?
M.f.G. Eugen bauhof
Lieber richy
Ich habe wirklich an nichts Böses gedacht als ich dir die Mathe Newsgroup empfahl. Es war auch keine Aktion dich von hier zu vergraulen, eher konstruktiv gemeint um eine Diskussion zu ermöglichen, die du hier niemals führen könntest.
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!
Ich hätte den Ausdruck "doof" besser durch einen anderen ersetzen sollen, z.B. durch mürbe, langweilig oder mühsam. Wie auch immer möchte ich mich bei dir für die entstandene Gefühlslage entschuldigen. Du hast ja auch diese Größe dazu besessen.
wer ist Kannenberg? Ist das ein Alias von richy?
Nein, das ist ein Teilnehmer des AC.
Hi
Zum Beispiel, als ich fragte, wohin sich die 44 überdimensionierten Stützen der gefallenen WTC-Tower verflüchtigten. Baustahl zerbröselt ja nicht einfach so zu Granulat.
Oder die Unstimmigkeiten bei WTC 7 ...
Es hat mich damals gewundert, dass das Forum so drastisch reagiert hat.
@Zttl
Ich hab deine Aussage wirklich in den falschen Hals bekommen. Sorry. Wobei ich in diesem Thread versucht habe auch mal Grafiken der Formeln zu verwenden, damit es anschaulicher wird. Das Problem bei Mathematik Foren ist, dass dort entweder Schueler und Studenten nach Loesungen suchen, oder wirklich in mathematischer Spache (die ich nicht beherrsche) grosse Probleme gewaelzt werden.
Chaotstheorie.de war im Grunde ideal, aber das Forum ist leider hinueber.
Ich werde aber nach etwas in dieser Richtung suchen.
Ein Chaostheroieforum.
Es gab aber auch hier immer wieder Resonanz auf mathematische Themen. Und mir macht es auch nichts aus wenn es diese einmal nicht gibt. (Vielleicht unbewusst doch ) Es ist dennoch praktischer spontan etwas in ein Forum zu schreiben anstatt den HTML Editor anzuwerfen. Auf meiner Homepage versuche ich dann spaeter Punkte die mir besonders interessant erscheinen festzuhalten.
Gruesse
Oder die Unstimmigkeiten bei WTC 7 ...
Es hat mich damals gewundert, dass das Forum so drastisch reagiert hat.
Nun zerrt dieses Thema nicht auch noch hier in dieses Forum!
Es gab über 3000 Tote, denkt ihr auch mal an deren Angehörige mit eurer Verschwörungsdudelei?
Die Stahlträger hat's "zerbröselt", genauso wie die Schreibtische, Fahrstühle, Telephone und MENSCHEN!
Triebwerke der Flugzeuge, die die Massenmörder entführt hatten, flogen mehrere 100 Meter weit durch New York und krachten runter auf die Strassen.
So nun ENDE, und gedenkt der unschuldigen Toten.
EMI
Nun zerrt dieses Thema nicht auch noch hier in dieses Forum!
Ok dann fange ich nochmal von Vorne an.
Motivation meiner Eingangsrechnung :
Mathematische Grundlage der Physik und insbesonders der Ingenieurwissenschaften sind die Differentialgleichungen. Schon F=m*a stellt eine solche dar. Denn a=dv/dt
Sind solche DGL's linear, dann lassen sie sich ueber Vefahren wie die Integraltransformationen oder einen Seperationsansatz analytisch loesen. Teilweise mit nicht unerheblichem Aufwand. Fuer nichtlineare DGL's existieren einige Loesungsverfahren, die ich in einem Thread im Forum zusammengestellt habe. Aber selbst damit lassen sich nicht alle Aufgabenstellungen loesen.
Beispielsweise der realistische Sprung eines Fallschirmspringers unter Beruecksichtigung der Reibung. (Den Thread krame ich nicht mehr vor)
In den 70 er Jahren hat man solche Probleme daher am Analogrechner simuliert. In den 80 er Jahren waren die Digitalrechner leistungsfaehig genug, so dass diese die Analogrechner abloesten.
Das sollte alles bekannt sein.
Bei einer numerischen Simulation auf dem Digitalrechner werden aufgrund der Diskretisierung keine Differentialgleichungen geloest sondern Differenzengleichungen. Im linearen Fall gehen DZGL und DGL ineinander ueber wenn gewisse Stabilitaetskriterien eingehalten werden. Im nichtlinearen Fall ist dies nicht mehr gegeben.
Beispiel :
Die logistische Differentialgleichung (logistische Funktion)
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
hat ein voellig anderes Loesungsverhalten als die logistische Differenzengleichung, logistische Gleichung, Verhulstgleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Insbesonders ist letztere bis heute nicht analytisch loesbar.
Von besonderem Interesse ist heutzutage die Simulation nichtlinearer Differntialgleichungen. (Wetterbericht, Stroemungsdynamik ...) Dafuer gibt es einige Simulationsalgorithmen. Im Bereich des digitalen Filterentwurfs beschraenkt man sich auf den linearen Fall und wendet die Z-Transformation an, die ueber eine Substitution aus der La Place Transformation hervorgeht.
Die Z Transformation ist wie die F-Transformation oder Laplacetransformation nur fuer die Loesung linearer Probleme anwendbar.
Es existieren somit keinen allgemeinen Werkzeuge zur Loesung von nichtlinearen Differenzengleichungen. Die Verhulstgleichung, Mandelbrotmenge sind Paradebeispiele fuer diese Situation. Solche Werkzeuge existieren nur fuer nichtlineare Differentialgleichungen.
Es stellt sich somit die Frage, ob man aufgrund der Verwandtschaft von DGL und DZGL nicht einige dieser Werkzeuge nichtlinearer DGL's nicht auch in modifizierter Form auf Differenzengleichungen anwenden koennte.
Und wie mein erster wirklich einfacher Versuch zeigt :
Jawohl, in beschraentem Maße ist dies scheinbar moeglich :
dy/dt=f(t)/g(y) :
Loest man klassisch ueber Trennen der Variablen
y[k+1]=f(k)/g(y[k])
laesst sich fuer spezielle Funktionen g() mittels Logarithmieren loesen.
Und besonders einfach ist der Fall f(k)=exp(a*k)
Fuer beliebige Funktionen f(k) gibt es wahrescheinlich keine Loesung.
Dies koennte man weiter untersuchen. Und es stehen noch weitere Hilfsmittel fuer nichtlineare DGL's zur Verfuegung, die man modifizieren koennte.
Das war mein Grundgedanke fuer diesen Threads hier.
In Gedenken an die Hinterbliebenen waren es gerade sie, die eine lückenlose Aufklärung der Ereignisse um 9/11 verlangten.
Diese bekamen sie in Form des Kean Commission Report, der mehr Fragen aufwarf als beantwortet wurden.
Oder wie normal ist es, daß eine gewaltige Stahlträgerkonstruktion in nahezu Freifallgeschwindigkeit herunterbröselt? Selbst eine thermisch geschwächte Konstruktion müßte einen gewissen Widerstand entgegenbringen. In den Staubproben fand man Thermat und Rückstände von C4.
Oder wie normal ist es, dass WTC 7 wegen einiger Feuerchen wie nach einer klassischen Sprengung implodiert?
Oder wie normal ist es, daß Tage zuvor mit Put Optionen gegen die American Airlines gewettet wurde?
Da hast du dich hinter der falschen Personengruppe versteckt um auf die Mitleidsdrüse draufzudrücken.
http://infoblogmedia.wordpress.com/911-2/
In Gedenken an die Hinterbliebenen waren es gerade sie, die eine lückenlose Aufklärung der Ereignisse um 9/11 verlangten.
Das sehe ich genauso. Man haette sich z.B. ruhig etwas mehr Zeit nehmen koennen den Stahl zu untersuchen.
Und ich untersuche nun ( hoffetlich voellig relaxed :-) eine zweite DZGL :
Zur Erinnerung :
Ich will lediglich rein formal gewisse Loesungsprinzipien erkennen.
Wichtig :
Dabei betrachte ich z[k+1] als dz/dt und z[k+2] als zweite Ableitung.
Ich betrachte also keine Approximation der Form z[k+1]-z[k] als Ableitung.
Eine rein formale Angelegenheit wie sie auch durchaus ueblich ist.
Diesmal gehe ich aber anders vor.
Ich gehe von einer nichtlinearen DZG aus deren Loesung mir bereits bekannt ist :
DZGL1:
*****
y[k+1]=1+1/y[k]
( Die DZGL stellt den bekannten Kettenbruch des goldenen Schnittes dar)
Diese nichtlineare DZGL erhaelt man bekanntlich aus der linearen Fibonacci DZGL :
fib[k+2]=fib[k+1]+fib[k] =>
fib[k+2]/fib[k+1]=1+fib[k]/fib[k+1]
Substitution :
y[k]=fib[k+1]/fib[k]
=>
y[k+1]=fib[k+2]/fib[k+1]
sowie
fib[k]/fib[k+1]=1/y[k]
eingesetzt :
y[k+1]=1+1/y[k] , mit y[k]=fib[k+1]/fib[k]
Wir kennen somit schon die Loesung von y[k]. Das ist der Quotient der Loesung der Fib[k+1] Folge und der Fib[k] Folge.
Z.b. in diskreter Form bei Wiki :
http://upload.wikimedia.org/math/5/5/e/55e16df31aed285ce1c6e074d832b354.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/4/2945e3f774483f06d73f20f9d1bf094c.png...http://upload.wikimedia.org/math/8/4/5/845621a806b5235d5d60e2062e0b431c.png
Die Loesung lautet somit :
[PHI^(k+1)-phi^(k+1)]/[PHI^(k)-phi^(k)]
fuer groesse k erhaelt man die Naeherung [PHI^(k+1)]/[PHI^(k)]=PHI
Dies laesst sch auch ueber den Attraktor der DZGL 1 zeigen.
Ebenso koennte man die dritte bonomische Formel anwenden.
Was mich aber interessiert waere : Frage an alle (Interessierten :-)
Wenn ich die Loesung ruckwaerts betrachte. Gegeben sei also
y[k+1]=1+1/y[k] =(y[k]+1)/y[k]
Welchem der DGL Loesungsverfahren kommt die Vorgehensweise dann am naechsten ?
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=54441&postcount=28
Der Ausdruck fib[k+1]/fib[k] entspricht df(x)/dx/f(x)
Erinnert auch an die Kettenregel, logarithmische Differentation.
Auf eine DZGL zweiter Ordnung wie die Fib Folge moechte ich nicht unbedingt hinaus.
Gibt es einen anderen Weg als Loesung ?
Gruesse
Wer ist denn eigentlich dieser Wolfram ?
Auch backe :-)
Stephen Wolfram
Auch fuer Physiker recht interessant
http://de.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram
http://www.johannarauch.de/PDF/Dath_Wolfram_FAZ.pdf
zeitgenosse
15.09.10, 08:47
Auch wenn es nicht zum Kernthema dieses Threads gehört kann die nachfolgend zitierte EMI-Antwort so nicht stehen gelassen werden.
Die Stahlträger hat's zerbröselt..
Unbegreiflich, solches aus dem Munde eines Ingenieurs (?) zu hören. Stahl zerbröselt nicht durch Brände.
Der WTC-Kern bestand aus 47 überdimensionierten Stahlstützen:
http://www.wtc-terrorattack.com/construction-2.gif
http://911research.wtc7.net/talks/towers/docs/site1099.jpg
Beachte die Ausmasse der inneren Stützen. Selbst wenn sich diese unter dem Einfluss der Temperatur (Kerosinbrand 800 bis 1'000 °C) erweicht hätten, wären sie nicht einfach verschwunden. Stahl schmilzt bei rund 1'500 °C. Nach dem quasi freien Fall der Etagen und der Fassadenelemente müssten die zentralen Stützen zumindest im unteren Drittel des Towers noch immer stehend zu sehen gewesen sein. Darüber hätte es Verformungen gegeben, so dass die Stützen umgebogen wie die Stahlstäbe eines Regenschirms herabgehangen hätten. Doch nichts dergleichen. Und gerade dies ist äusserst seltsam.
Anstelle dessen erblickt man abgeschnittene Stützen, wie sie durch Schneidladungen (Cutter Charge) erzeugt werden!
http://www.911-archiv.net/images/stories/artikel/bild4.png
Beim klassischen Brennschneiden mit der Sauerstofflanze entstehen völlig andere Schlackenränder als hier zu sehen ist.
Ebenso merkwürdig ist der Einsturz von WTC 7. Es gab dafür keinen triftigen Grund - ausser es war eine gezielte und von langer Hand vorbereitete Abbruchaktion.
Gr. zg
Auch wenn es nicht zum Kernthema dieses Threads gehört kann die nachfolgend zitierte EMI-Antwort so nicht stehen gelassen werden.
Hallo zeitgenosse,
Verschwörungstheorien gehören überhaupt nicht zum Thema "DGL versus DZGL". EMI hat zwar recht, aber er hätte gar nicht auf diesen Verschwörungsmist antworten sollen, sondern uns Moderatoren eine Nachricht senden sollen.
Falls weitere Beiträge zu diesem Verschwörungsmist erscheinen, werden sie gelöscht.
M.f.G. Eugen Bauhof
Mich hat das 911 Thema nicht gestoert :-)
Bezueglich dem Vergleich DGL und DZGL ist mir inzwischen einiges klarer geworden.Die Substitution stellt ein wichtiges Hilfsmittel bei der Loesung nichtlinearer Differentialleichungen dar.Hierbei nuetzt man aus, dass nicht nur die Funktion zu substituieren ist wie
u(x)=g{y(x)} => y(x)= g_invers{u(x)}
sondern auch das Differential
y(x)=g_invers{u(x)}
dy(x)/dx=dg_invers{u(x)}/dx=dg_invers{u}/du*du/dx
Man denke sich y(x) und dy(x)/dx in die DGL eingesetzt.
Wird die Abbildung g{y(x)} geschickt gewaehlt, laesst sich die DGL vereinfachen und oft sogar linearisieren oder loesen.
Die Substitutionsregeln wie in der Bernoulli DGL koennen bei der DZGL leider nicht einfach uebernommen werden. Denn die Verschiebung wird gleich behandelt wie die verschobene Funktion :
u(k)=g{y(k)} =>
y(k)= g_invers{u(k)}
u(k+1)=g{y(k+1)} =>
y(k+1)= g_invers{u(k+1)}
Man sieht. An der Gestalt aendert sich hier zunaechst nichts. Erst wenn man einsetzt macht sich die Substitution nur alleine durch die Nichtlinearitaet bemerkbar. Und das scheint meist nicht ausreichend. Eine wichtige Substitutionsform fuer quadratische Nichtlearitaeten scheint von folgender Gestalt zu sein :
u(k)=g{y(k+1)}/g{y(k)}
Man bildet das Verhaeltnis der Iteration und versucht mittels einer Funktion g{} dieses zu vereinfachen. Im Idealfall Konstant zu halten. Denn dann ist die Loesung gefunden.
Man fuehrt somit ZWEI Substitutionen durch !
1)
Abbildung auf einen Raum z
z(k)=g{y(k)}
z(k+1)=g{y(k+1)}
2)
Abbildung des Verhaeltnisses auf einen Raum u
u(k)=z(k+1)/z(k)
Beispiel (in umgekehrter Reihenfolge zur Erzeugung einer DZGL :
***********************************************
Annahme :Wir haben ein konstantes u gefunden :
u(k)=const
z(k+1)/z(k)=const
und koennen somit sofort die Loeung fuer z[k] angeben
z(k)=z0*const^k
(Dies entspricht einer Art Exponentialansatz)
**************
Angenommen z(k) hatte folgende Substitution :
z(k)=ln(y(k)-0.5)
Dann kennen wir die Loesung von y(k)
ln(y(k)-0.5)/ln(y0-0.5)=const^k
ln(y(k)-0.5)=ln(y0-0.5)*const^k
ln(y(k)-0.5)=ln( (y0-0.5)^const^k)
y(k)-0.5=(y0-0.5)^const^k
Loesung :
*******
y(k)=(y0-0.5)^const^k+0.5
*********************
Konstruktion der zugehoerigen DZGL :
****************************
Es galt :
z(k+1)/z(k)=const
daher
ln(y(k+1)-0.5)/ln(y(k)-0.5)=const
daraus koennen wir die DZGL zur Loesung konstruieren :
ln(y(k+1)-0.5)=ln((y(k)-0.5)^const)
y(k+1)-0.5=(y(k)-0.5)^const
y(k+1)=(y(k)-0.5)^const+0.5
**********************
Die Konstante ist in der konkreten log Substitution somit der Grad der Gleichung, der ueber Verkettung das verkettete Polynom const^k ten Grades erzeugt.
Auf diese Weise habe ich jetzt auch rein analytisch die Verhulst Gleichung in wenigen Zeilen fuer r=2 geloest :
(Man sollte dazu aber vorher schon die Loesung kennen (z.B meine graphische Methode )
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=54535&postcount=29
Ich meine uebrigends die r=4 Loesung von Stephan Wolfram ist nicht ganz korrekt.
Edit
Wolframs Loesung ist korrekt.
Gruesse
Hi
Nochmals zu Stephen Wolframs r=4 Loesung, die im Test Unstimmigkeiten ergab :
Ich moechte diese im folgenden Beitrag daher korrigieren, modifizieren.
http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
Wolfram meint somit fuer r=4 :
arccos(1-2*y(n)) = 2^n *arccos(1-2*y0)
d.h.
arccos(1-2*y(n+1)) = 2^(n+1) *arccos(1-2*y0)
=>
arccos(1-2*y(n+1))
-------------------- = 2
arccos(1-2*y(n))
Den Zahler kann man aus y(n+1)=4*y(n)*(1-y(n)) gewinnen
1-2*y(n+1)=1-8*y(n)+8*y(n)^2
Plottet man nun
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
------------------------------------ = angeblich gleich zwei
arccos(1-2*y(n))
ergibt sich folgendes Bild :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb5.gif
Wo liegt der "Fehler" ?
1-8*y(n)+8*y(n)^2 weist bei y=0.5 einen Wendepunkt auf
1-2*y(n) dagegen eine Nullstelle
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb6.gif
Im Arcuskosinus ergibt dies die folgende Unsymetrie
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb7.gif
Entweder bildet man den Betrag
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
--------------------------- ist gleich zwei !
arccos|1-2*y(n)|
oder die Wuerzel (1-2*y(n))^2
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
------------------------------- ist gleich zwei !
arccos( Wurzel (1-2*y(n))^2) )
Und jetzt passen die Proportionen im gesamten Intervall 0..1 !
sogar fuer alle y. Hab ich fuer y=-30 000 bis 30 000 getestet
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb8.gif
Wobei ich diese Propertion noch immer nicht recht glauben will.
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb9.gif
Der Mini Peak ist sicherlich Numerik.
arccos|1-2*y|=2*arccos(1-8*y+8*y^2)
scheint fuer alle y eine Identitaet darzustellen. Kanns mir bisher nicht erklaeren.
Und natuerlich fangen jetzt erneute Probs an. Denn wir muessen die Substitution modifizieren. Aber dass es komplizierter wird ist eigentlich ein Zeichen dass der Weg stimmt.
Was aus der Loesung fuer r=4 alles folgt weiss ich noch gar nicht abzuschatzen.
PRAXISTEST !!!
Also nochmals der numerische gagga Test :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb10.gif
Die Haelfte geht daneben :D
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb11.gif
numerischer Versuch:
****************
Direker Vergleich von Wolframs Loesung mit der Iteraton :
restart;
with(plots):
Digits:=20;
N:=100;
s:=0.8;
sta:=s;
for k from 1 to N do
gagga[k]:=1/2*(1-cos(2^(k)*arccos((1-2*sta))));
s:=4*s*(1-s);
loes[k]:=s;
od:
druck2:=seq([i,gagga[i]-loes[i]],i=1..N):
plot([druck2],r=0..N,style=line);
Dargestellt wird die Differenz zwischen Iteration und analytischer Loesung :
Rechnung mit einer Genauigkeit von 20 Stellen :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb12.gif
Rechnung mit einer Genauigkeit von 30 Stellen :
http://home.arcor.de/richardon//2010/DGL_DZGL/abb13.gif
Wolframs Loesung ist korrekt !
Die Loesung enthaelt den Ausdruck 2^k. Daher kann sie auf dem Digitalrechner nur annaehernd berechnet werden. Bei einer Aenderung der Rechengenauigkeit zeigt sich dies deutlich.
Warum macht sich der von mir gezeigte "Fehler" nicht bemerkbar ?
Auf beiden Seiten der Gleichung wird der cos gebildet. Und dieser ist eine gerade Funktion. Wahrscheinlich deshalb. Es war dennoch wichtig zu zeigen , dass gilt
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
--------------------------- = 2
arccos|1-2*y(n)|
Der Betrag ist wichtig.
Es muss noch gezeigt werden warum dieser Zusammenhang ueberhaupt gueltig ist.
Dieser Zusammenhang gilt fuer alle verketteten Polynome p[k+1] und p[k] !
Also Polynome 2^k ter Ordung.
Der Zusammenhang entspricht dem Logarithmengesetz log(x^a)=a*log(x)
Das witzige ist, dass ich fuer meine Loesung damals im Grunde die selbe Methode angewendet habe wie Wolfram, aber in einer graphischen Anschauung.
Hi
Neben der Z Transformation fuer lineare Differezengleichungen habe ich gerade ein maechtiges Hilfsmittel gefunden, dass auch fuer nichtlineare DZGL's einsetzbar sein koennte. Die erzeugende Funktion. Ein Potenzreihenansatz. Verwandt mit der Z Transformation.
Hier gibt es ein komplettes Buch darueber zum kostenlosen Download :
Hab mal reingeschaut. Wirklich empfehlenswert :
generatingfunctionology
http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
Die kalten Winterabende sind gerettet :-)
ANMERKUNG
Ich hatte in diesem bischen ungewoehnlichen Beitrag tatsaechlich ausgehend von der Grundidee des ersten Beitrages die Loesungsmethode von Wolfram selbst hergeileitet. Wobei sich spaeter herausstellt, dass diese Loesungsmethode schon seit 1870 bekannt aber wenig verbreitet ist. Sie wurde von Ernst Schroeder in Karlsruhe "entdeckt"
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