Vollständige Induktion

[George]

Hallo Zusammen,

Ich sitze grad an einer Aufgabe, die mich zum Verzweifeln bringt:

"Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für jedes (n Element N) teilt 133 die Zahl 11^(n+1) +12^(2n−1)."

Ich rechne also:

IA:
Für A1 ergibt sich A1= 1.

IS:
Ich bilde A(n+1) und erhalte:

A(n+1) = [11^((n+1)+1) +12^(2(n+1)−1)] / 133

nach dem Ausklammern siehts dann wie folgt aus

133 A(n+1) = 11^(n+1)11 + 12^(2n−1)12²

Ich will nun A(n) in Abhängigkeit von A(n+1) darstellen, um sagen zu können, dass A(n+1) ein ganzes Vielfaches von A(n) ist. Algebraisch krieg ich es jedoch nicht hin, die rechte Seite umzuformen, sodass A(n) dort steht. Ich frage mich, ob mein Anstaz überhaupt richtig ist.

Würde mich über jede konstruktive Hilfe freuen.

Grüße,
George

[George]

Hat sich doch von selbst gelöst. Aber danke für die guten Absichten ;) Der Thread kann geschlossen/gelöscht werden.

Grüße,
George

[Bauhof]

Hat sich doch von selbst gelöst. Aber danke für die guten Absichten ;) Der Thread kann geschlossen/gelöscht werden. Grüße, George

Hallo George,

was spricht dagegen, dass du deine Lösung vorstellst?

M.f.G. Eugen Bauhof

[George]

Hallo George,

was spricht dagegen, dass du deine Lösung vorstellst?

M.f.G. Eugen Bauhof

Hallo Bauhof,

Dagegen spricht wohl Nichts. Hier meine Lösung:


(i) Induktionsvoraussetzung:

A(n)= [11^(n+1) +12^(2n−1)] / 133 mit A(n) ϵ N


(ii) Induktionsanfang:

A(1)= 1

Damit ist A(n) ϵ N. Prüfe also jedes beliebige n.


(iii) Induktionsschritt (n -> n+1):

A(n+1)= [11^((n+1)+1) +12^(2(n+1)−1)] / 133
<=> 133⋅A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + 12²⋅12^(2n−1)]
<=> 133⋅A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + (11+133)⋅12^(2n−1)]
<=> 133⋅A(n+1)= [11⋅(11^(n+1) + 12^(2n−1))+133⋅12^(2n−1)]
<=> A(n+1)/ 11= [11^(n+1) + 12^(2n−1)]/133 + 12^(2n−1)/11
<=> A(n+1)= 11⋅A(n) + 12^(2n-1)

Wenn nun A(n) ϵ N gilt, dann muss aber auch A(n+1) ϵ N gelten mit n ϵ N.
Damit ist die Induktionsvoraussetzung bewiesen. □

Viele Grüße,
George

[richy]

Hi Georg

Respekt. Auf die Loesung waere ich nicht sofort gekommen.
Koennte man den Weg noch einfacher darstellen ?

A(n)= [11^(n+1) + 12^(2n−1)]

A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + 12²⋅12^(2n−1)]
A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + (11+133)⋅12^(2n−1)]
A(n+1)= [11⋅(11^(n+1) + 12^(2n−1))+133⋅12^(2n−1)]
A(n+1)= 11⋅A(n)+133⋅12^(2n−1)]

Aufgrund des Induktionsanfangs und der induktiven Vorgehensweise ist A(n) durch 133 teilbar.
Das ist der Trick, nicht ? Haette ich nicht sofort gesehen.
Und der zweite Summand ist aufgrund des Faktors 133 durch 133 teilbar.
Ich meine dass du zwischendurch durch 11 teilt ist im Grunde nicht notwendig.
Irgendwie erstaunlich, dass dies ueberhaupt so funktioniert. Alleine wegen 12^2=11+133

Gruesse