Diskussion DZGL

[richy]

Hi Merman
Den Katalog will ich nicht allzusehr vollsschreiben, damit er uebersichtlich bleibt.

In dieser Gleichung kann man jede Zahl einsetzen, das Ergebnis ist immer Phi.

Das waere ein Wunder.
"Deine" Gleichung ergibt nur fuer x=1 den goldenen Schnitt.
Es gibt sehr sehr viel Darstellungen fuer diesen Zahlenwert.
Man muss einfach die Gleichung x^2-x-1 Loesen:
x1/2 =
1/2+-Wurzel(1/4+1)=
1/2+-Wurzel(1/4+1)=
1/2+-Wurzel(5)/2

dass die Kurve aussieht, wie der Blick in ein Füllhorn, welches nach unten rechts wegbiegt :- )
In der Natur spielt der goldene Schnitt auch bei Spiralen eine Rolle. Somit wohl kein Zufall.
Die Loesung besteht aus einer Sinus und Cosinusschwingung, wobei der Sinus recht schnell ausgedaepft wird. Und diese treffen die reelle Achse bei ganzen Zahlen. Die Schnecke ergibt sich fuer negative Zahlen.
Frage: Ist Mathe dein Vergnügen, ... so nebenbei?
An der Uni hatte ich damit zu tun. Aber jetzt ist es nur Hobby. Und diese Form war schon immer mein Hobby.
Kannst du vom Musizieren leben,
Gerad noch so. Aber wohl nichtmehr lange. Ein H4 hat mehr Einkommen als ich momentan. Vor allem regelmaessiger.
wenn ja, dann Allerherzlichsten, und dickes toitoitoi hinterher, ditt hättick ooch gean.

Vielen Dank und Gruesse

[mermanview]

.. um den DZGL Katalog nicht zu sehr zerstückeln, setze ich unter eigenem Thread fort (goldener Schnitt o.ä.)

Edit:

Mist, das hier war ja schon ein neuer Thread, ich dachte ich wär im DZGL Katalog,
ich hätte garkeinen eigenen aufmachen müssen, naja ich versuche alles hier rüber zu schieben,

Merman

[soon]

Das waere ein Wunder.

Doch, das stimmt schon. (wenn ich richtig umgeformt habe)

Link (http://212.80.228.216/sites/frvoeller/fib_05.gif)

Gruss

[mermanview]

Noch mal :

Fortsetzung bezügl. Fragen aus richy's DZGL - Katalog:

Habe gesehen, dass es laut Wiki viele Phi für viele Bereiche gibt(Physiker, Elektroniker, Informatiker usw)

Das in der Mathematik besprochene wird wohl Symbol-technisch unterschieden in das große Phi , für den goldenen Schnitt,
und das kleine Phi der eulersche Funktion und das große Phi des gauß'schen Fehlintegrals.

Das von mir gewählte habe ich vom "glodenenSchnitt - Phi" abgeleitet, es ergibt sich aus dem Verhältnis:

(a+b)/a = a/b

Ein Längeverhältnis, z.B. für die beiden Seitenlängen eines Vierecks, welches man den goldenen Schnitt nennt.

In meiner Umformung und Herleitung ergibt sich für das Verhältnis Phi = a/b und =(a+b)/a, folgende Formel :

b = wurzel(a^2 + (a/2)^2) - a/2, da Phi = a/b, lässt sich a mit x verallgemeinern, so ergibt sich:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/1/3/b/13b262ebe6db49c206a466f584b2d46b.png


... das Ergebnis ist (laut MS Taschenrechner) bis zu 30 möglichen Nachkommastellen für alle eingesetzten bisher (1 - 17) natürlichen Zahlen gleich:

das große Phi (goldener Schnitt): 1,6180339887498948482045868343656

( das gleiche Ergebnis, welches auch die herkömmliche Formel ergibt : 1+ Wurzel(5)/2.)

Die Fibonaccifolge nähert als Quotient zweier aufeinanderfolgender Iterationsschritte wohl auch diese Verhältniszahl.

Veranschaulichung zu Fibonacci (von Wikipedia):

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/FibonacciBlocks.svg/180px-FibonacciBlocks.svg.png

(Obwohl viereckig, man erkennt bereits die Spirale)

Das hier beschriebene stammt aus meinem nun überflüssigen eigenen Thread, wurde also vor soons Antwort geschrieben.

soon, bedankt

Gruß Merman

[richy]

Hi Merman
Ok es waere kein Wunder, denn x kann man im Nenner ausklammern und kuerzt sich dann mit dem Zaehler. Deshalb frage ich mich aber auch warum du es ueberhaupt verwendest.
Gruesse

[richy]

Zum goldenen Schnitt

Das ist nun eher Zufall, dass dieser eine Rolle spielt. Ich bin einfach mal von einer elementaren wichtigen DZGL ausgegangen. Der Fibonacci Folge. Und diese kann man wie du bereits siehst verallgemeinern. Ueber Faktoren und ueber die Anfangswerte. (Das ist alles bekannt) Ich habe 2008 spezielle Faelle betrachtet will diese nur nochmal zusammenstellen, weil ich weitere Loesungsmoeglichkeiten fuer Gleichungen anderer Form gefunden habe.

Eine modifizierte Fib Folge ist besonders interessant. Die mit der Loesung 2^k-^1. Die ist damit verwandt zu den Mersenne Primzahlen. Dazu hatte ich mal einen eigenen Thread aufgemacht :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1257&highlight=Mersenne
Eine Problematik stellt dann fib(a*b) dar. Und dieser Zusammenhang ist schon wenigstens einem Mathecrack aufgefallen :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1257&page=3&highlight=Mersenne
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Helmut_Rasinger
Aber ich meine er ist wie ich auch nicht viel weiter gekommen. Das mit den Fib Zahlen ist auch so eine Sache. Da wird seit hunderten Jahren gerechnet und geforscht. Fuehre mal eine Statistik der ersten Ziffer der Fib Zahlen. Du wirst dich wundern :-)
Ah genau dies war bei Raisinger noch interessant :
Über logische Verbindungen bei Primzahlen. In einem Buch über Fermat (Quelle? Singh) wurde erzählt, daß autistische Zwillingsbrüder sich damit amüsierten, sich gegenseitig große Primzahlen mitzuteilen. (Fortsetzung später ..., muß zuerst nachlesen.)Koennte natuerlich auch ironisch gemeint sein. Primzahlzwillinge !


Mein Ziel waere es zu versuchen die Verhulst Gleichung in eine lineare DZGL 2 ter Ordnung umzuformen. Das Teil ist aber ungemein stoerrsich. Vielleicht geht es ueberhaupt nicht. Ich meine eine Loesung fuer 3 oder 1 + Wurzel(5) waere eventuell noch drin. Obwohl ich die ganzen Problematiken schon sehe.

Viele Gruesse

[richy]

Hi
Nachdem ich nun 2 Nachte von der zentrierten Verhulst DZGL getraeumt habe versuch ich mal folgendes um diese auf die Fib Form zu bringen :

x(k+1) = 1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1)+1
****************************
x0=-1..1

Loesungen :
*********
r:=2
x(k)=exp(2^(k)*ln|x0|) (strebt gegen 0)
*****************

Zuerst muss ich versuchen das x0 in der Fib Form zu implementieren. In dieser gibt es feste Vorgaben fuer die Anfangswerte. Scheiter dies ist dieser Weg soundso keine Loesung :
Wie kann ich in der Kuehlschrankgleichung x0 durch ein k implementieren ?

Kuehlschrankform :
f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2
Loesung : 2^n
**************

Herr MAPLE walten sie ihres Amtes ! :-)
1 Versuch :
sg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+2*y(n), y(0)=1,y(1)=2*k},y(n));
Herr MAPLE bitte mehr konzentration !
(MAPLE : Seggel. Sie haben das doch eingetippt)

2 Versuch :
sg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+2*y(n), y(0)=[b]k,y(1)=2*k},y(n));

TREFFER !
lsg := k*2^n
=>
Aufnahme in den Katalog
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=64819&postcount=14


Der Weg ist somit gangbar. Und man sieht alleine jetzt schon, dass ein Verhaeltnis wie y(1)/y(0) nicht Frage kommt.

[richy]

Auf was moechte ich zusteuern ?

Eine DZGL 2 ter Ordnung die das selbe Ergebnis liefert, wie eine loesbare Verhulst Gleichung.
Ausgangspunkt sei die Kuehlschrankgleichung :

f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=k, f(1)=2*k
Loesung : y(n)=k*2^n

Die zentrierte VDZGL fuer r=2 ist aehnlich
x(n+1)=x(n)^2
Loesung : x(n)=exp(ln|x0|*2^n)=exp(k*2^n) mit k= ln|x0|

Sei ein f(n) gegeben so stellt z(k)=exp(f(n)) den Wert fuer x(n) dar oder

*************
SUBSTITUTION :
f(n)=ln|x(n)|
*************
=>

f(n+1)=ln|x(n+1)|
f(n+2)=ln|x(n+2)|

Durchfuehren der Substitution (das geht locker per Hand) :

ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, ln|x(0)|=k, ln|x(1)|=2*k
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, ln|x(0)|=ln|x(0)|, ln|x(1)|=2*ln|x(0)|
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+ln|x(n)^2|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
ln|x(n+2)|=ln(|x(n+1)|*|x(n)^2|), x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
|x(n+2)|=|x(n+1)|*|x(n)^2|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2

x(n+2)=|x(n+1)|*x(n)^2, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2

(Es kann nur eine Aussage ueber den Betrag getroffen werden.)
Die DZGL ist in sich logisch
Dennoch ein Test :


> x0:=0.1; x[0]:=x0; x[1]:=x0^2;

> for n from 0 to 5 do
> x[n+2]:=abs(x[n+1])*x[n]^2;
> od;


Passt ! sitzt, wackelt und hat Spiel :-) Und ist leider eine nichtlineare DZGL.
=>
Aufnahme in den Katalog
http://www.quanten.de/forum/showpost.php5?p=64951&postcount=20

[richy]

Sonderlich vielversprechend scheint die Form der VDZGL als DZGL 2 ter Ordnung nicht zu sein.
Aber wer weiss wozu es mal nuetzlich sein koennte.

EDIT

Fuer r=4 komme ich im Moment aufgrund der Mehrdeutigkeit nicht weiter:

[richy]

Das letzte Ergebnis kann man auch sehr viel einfacher erhalten, indem man in der Ausgangsgleichung vom quadratischen Teil einen Faktor x(n) durch x(n-1) ausdrueckt.

Beispiel :

x(n+1)=x(n)^2
x(n+1)=x(n)*x(n)
x(n)=x(n-1)^2
x(n+1)=x(n)*x(n-1)^2

Da der Faktor x(n-1)^2 stets positiv ist muss nun auch x(n) stets positiv sein.

x(n+1)=|x(n)|*x(n-1)^2
*****************

Diese Verkettung kann man auch sukzessive weiterfuehren

x(n+1)=|x(n)|*|x(n-1)|*|x(n-2)|*|x(n-3)|....|x(1)|*x(0)^2

Damit laesst sich zum Beispiel der Ljapunovexponent genauer abschaetzen.
Ebenso koennte die Produktbildung als Grundlage fuer ein Loesungsverfahren dienen.


Anwenden auf den chaotischen Fall :
(nur eine Testrechnung)

x(n+1)=2*x(n)^2-1
x(n+1)+1=2*x(n)^2
x(n+1)+1=2*|x(n)|*(2*x(n-1)^2-1)

x(n+1)=2*x(n)*(2*x(n-1)^2-1)-1
**************************

Hier darf kein Betrag verwendet werden.

> v[0]:=0.1;
> f[0]:=v[0]; f[1]:=2*v[0]^2-1;

> for n from 0 to 50 do
> v[n+1]:=2*v[n]^2-1;
> f[n+2]:=4*(f[n+1])*f[n]^2-2*f[n+1]-1;
> od:
> druck:=seq([i,f[i]],i=0..100):
> druckv:=seq([i,v[i]],i=0..100):
>
> plot([druck,druckv]);

Dei Vergleichsgroessen weichen nach ca 40 Iterationen voneinander ab
Mit dem Ausdruck
f[n+2]:=2*(f[n+1])*(2*f[n]^2-1)-1;
nach etwa 100 Iterationen


SUKZESSIVE TEILVERKETTUNG:

x(n+1)+1=2*x(n)*2*x(n-1)^2 - 2*x(n)
x(n+1)+1+ 2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)^2
x(n+1)+1+2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2-1)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*x(n-2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*(2*x(n-3)^2-1)

x(n+1)+1 + 2*x(n) + 2*x(n)*2*x(n-1) + 2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2) =
2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*2*x(n-3)^2

[richy]

Hi merman

Deine Schwingungs DZGL wuerde ich auch gerne unter merman-DZGL oder einem Namen deiner Wahl im Katalog aufnehmen. Waere das ok ?
Sie ist uebrigends (phasen) genauer als eine einfache Additionstheoremmethode.
Ich denke ich koennte dir auch grob erlaeutern warum.

Gruesse

[mermanview]

Oh, danke, ja, ich würde mich sehr freuen,

Deine Schwingungs DZGL wuerde ich auch gerne unter merman-DZGL oder einem Namen deiner Wahl im Katalog aufnehmen. Waere das ok ?
Sie ist uebrigends (phasen) genauer als eine einfache Additionstheoremmethode.
Ich denke ich koennte dir auch grob erlaeutern warum.

... auch über eine Erläuterung würde ich mich freuen

Sorry, ich war eine Weile weg, hauptsaächl. wg. anschaulichen Sinusgrübeleien.

Verdammt, ... ich freu mir ein Loch in' Bauch,

Ich hatte meine selbstauferlegten Hausaufgaben (DZGL und DGL hörerer Ordnung) fast schon beiseite geschoben (aus zeitlichen Gründen) aber die sind jetzt versprochen.

... die Grundlagen dafür sind da, ich war der einzige in meiner Klasse, der Differenzialgleichung, Polynomdivision und Integralgleichung mit Freuden gefressen hat, ... ist bloß 'ne Weile her, insofern lange liegengeblieben.

Zudem gibt es heute "Interstate" (wie A. Spooner es ausdrücken würde ;)

Deinen DZGL Katalog werd ich mir vorknöpfen : ),
und die Verhulst als DZGL 2 Ordung, .... mal sehen,

Ich spitze mein räumliches Vorstellungsvermögen an, und fokussier es auf Verhulst, egal hinter welchem Feigenbaum er sich versteckt.

Freudige Grüße Merman

[richy]

Hi Merman
Ich hoffe und denke dass du deine Erwartungen nicht so hoch ansetzt. Es ist im Grunde so gut wie unmoeglich in der Mathematik oder Physik etwas voellig Neues zu entdecken. Dafuer gibt es einfach zu viele Menschen die staendig und professionel rund um den Globus auf sehr hohem Niveau (weit ueber unseres hinaus) Probleme aus diesen Gebieten betrachten.
Aber augeschlossen ist nichts. Dass mal irgendein Teilaspekt uebersehen wird.
Aber selbst wenn man etwas fuer sich entdeckt, dass vielleicht schon bekannt war, kann man sich darueber freuen, wenn man ueber die richtige Motivation verfuegt.
Mich hat es gewundert, dass du so ploetzlich aus dem Thema der Schwingungs Differenzenglechungen ausgestiegen bist. (Thread Verhulst und Kunst).
Ich hatte ja fett hervorgehoben, dass dein Algorithmus weitaus genauer ist als die ganz einfache Methode (richies Methode ... neee eben nicht sondern die Methode heisst Euler Cromer).
Spaeter hab ich noch kurz betrachtet wie die Verwandtschaft deiner Methode zu den Additionstheoremen ist. Die ist natuerlich vorhanden. Ich habe das nur ganz kurz getestet und deine Methode scheint auch hier besser abzuschneiden (Erstmal ohne Gewaehr).
In diesem DZGL Katalog moechte ich gerne nur Ergebnisse festhalten. Ich meine das Thema fuer sich waere einen eigenen Thread wert. Und dann kann man die Ergebnisse uebernehmen.

Ich hatte meine selbstauferlegten Hausaufgaben (DZGL und DGL hörerer Ordnung) fast schon beiseite geschoben (aus zeitlichen Gründen) aber die sind jetzt versprochen.

Das sind beides sehr schwierige Themen. Ausser man betrachtet die Loesungsmethoden wie Kochrezepte. Einen (einfachen) formalen Vergleich habe ich hier schonmal in einem Thread durchgefuehrt. Der Unterschied, dass Methoden nichtlinearer Differentialgleichungen nicht fuer Differenengkleichungen verwendet werden koennen liegt daran, dass die Substitution bei beidem unterschiedliche Auswirkungen hat.
In der DGL substituiert man auch das Differential z.B. der Form df(t)/dt und erhaelt damit Vereinfachungen z.B. ueber du(t)/dt = g(t)*df(t)/dt. In der DZGL kann man auch subtstituieren. Das scheint manchen gar nicht so bekannt. Nur existiert kein Differential sondern nur Verschiebungen. Und so wird aus z(n)=f(y(n)) z.B. lediglich ein z(n+1)=f(y(n+1)). Dies alleine fuehrt im Gegensatz zur DGL nicht zu Vereinfachungen oder gar Linearisierungen.
Ausser dem Schroederschen Funktionaloperator gibt es kaum Regeln die gesichert zum Erfolg fuehren. (Die Z Transformation funktioniert nur fuer lineare DZGL. Darauf basiert die komplette Digitale Signaluebertragung)
Eine besondere Rolle scheint der Ausdruck f(n+1)/f(n) zu spielen. Probiere einfach mal aus wie man hier die Fibonacci Gleichung durch Sunbstitution auf die Form z(n+1)=1+1/z(n) bringen kann. Es ist scheinbar reiner Zufall.
Ich denke das gibt dir ein gewisses Aha Erlebnis.

Viele Gruesse

[mermanview]

Hallo richy,

ich muss schnell machen:

Ich weiß, dass das Meiste bereits entdeckt wurde, ich hege keine zu großen Erwartungen, du siehst ja, ich gehe mathematisch mit bescheidenen Mitteln vor.

Es macht mir nichts aus kleine Räder neu zu erfinden, die meisten kenne ich ja nichtmal, siehe "Additionstheorem".
Das Gute ist: Meine Herleitung des trigonometrischen Additionstheorems mit Vektoren hat zur Folge, dass ich eine physikalische und mathematisch funtionale Vorstellung habe vom Additionstheorem, das ist mehr als bloß das Wort zu kennen, mehr als die reine theoretische Aneignung, und Anwendung.

Wenn Funktionsgleichungen und "Bewegungen" oder Formen im Verständnis konvergieren, dann liest man auch unbekannte Gleichungen ganz anders.

Um DZGL und DGL werde ich mich kümmern, da ist mein Appetitt geweckt (wichtige Vorraussetzung).
Derzeit ist mein Unwissen so groß, dass ich mir viele deiner Beiträge langsam durchlesen muss, um nur halbwegs zu verstehen, du spielst drei Ligen über mir, um so mehr fühle ich mich geehrt.

Ich schreibe unter deinem neuen Thread "Math Schwingungs DZGL" weiter.


Gruß Merman