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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Quantenoptik - Kommutator von verschränkten kohärenten Zuständen


klice
13.08.14, 16:11
Hallo!

Ich bin kein Physiker sondern Ingenieur, habe aber doch in letzter Zeit relativ viel mit Quantenoptik zu tun und mich einigermaßen in die für mich relevanten Zusammenhänge eingelesen. Nun bin ich auf eine Publikation gestoßen, die nun doch etwas an meinem Verständnis rüttelt und hoffe, dass sich hier vielleicht ein Physiker findet, der mir weiter helfen kann.

Es geht um eine Quelle, die ein Pärchen von verschränkten kohärenten Zuständen erzeugt, mit den Vernichtungsoperatoren a und a'. Diese Operatoren lassen sich ja in hermitesche Operatoren aufteilen, also
a = x + i*p und a' = x' + i*p'.
Und x und p verhalten sich dabei wie Position und Impuls des harmonischen Oszillators, kommutieren also nicht, woraus auch die heisenbergsche Unschärferelation folgt. Also
[x,p] >= c bzw. dx*dp >= c.
Das heißt ja nichts anderes, als dass die Größen x,p nicht beide beliebig exakt bestimmt werden können. Mir ist auch klar, dass wenn a und a' unabhängig voneinander sind, dass dann z.B
[x,p'] = 0
ist, da die Messung der einen Größe dann keinen Einfluss auf die Messung der anderen nimmt. In der besagten Publikation sind nun aber a und a' VERSCHRÄNKT und der Kommutator [x,p'] = 0 angegeben. Das widerspricht völlig meinem Verständnis, da ja eigentlich bei einer Verschränkung die Messung des einen Zustandes sehr wohl sich auf den anderen auswirkt und somit eine exakte Messung von x auch Information über x' gibt und die exakte Messung von p' unmöglich machen müsste. Oder habe ich hier einen Denkfehler und interpretiere zu viel in den Kommutator hinein? Über eine kleine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar!

Die Publikation kann unter http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0306141v1.pdf frei heruntergeladen werden. Die entsprechende Stelle findet sich auf der Seite 5 in Gleichung (3).

Viele Grüße!

Hawkwind
13.08.14, 17:01
Hallo!

Ich bin kein Physiker sondern Ingenieur, habe aber doch in letzter Zeit relativ viel mit Quantenoptik zu tun und mich einigermaßen in die für mich relevanten Zusammenhänge eingelesen. Nun bin ich auf eine Publikation gestoßen, die nun doch etwas an meinem Verständnis rüttelt und hoffe, dass sich hier vielleicht ein Physiker findet, der mir weiter helfen kann.

Es geht um eine Quelle, die ein Pärchen von verschränkten kohärenten Zuständen erzeugt, mit den Vernichtungsoperatoren a und a'. Diese Operatoren lassen sich ja in hermitesche Operatoren aufteilen, also
a = x + i*p und a' = x' + i*p'.
Und x und p verhalten sich dabei wie Position und Impuls des harmonischen Oszillators, kommutieren also nicht, woraus auch die heisenbergsche Unschärferelation folgt. Also
[x,p] >= c bzw. dx*dp >= c.


BTW, das muss wohl "hquer/2" heissen und nicht "c".


Das heißt ja nichts anderes, als dass die Größen x,p nicht beide beliebig exakt bestimmt werden können. Mir ist auch klar, dass wenn a und a' unabhängig voneinander sind, dass dann z.B
[x,p'] = 0
ist, da die Messung der einen Größe dann keinen Einfluss auf die Messung der anderen nimmt. In der besagten Publikation sind nun aber a und a' VERSCHRÄNKT und der Kommutator [x,p'] = 0 angegeben. Das widerspricht völlig meinem Verständnis, da ja eigentlich bei einer Verschränkung die Messung des einen Zustandes sehr wohl sich auf den anderen auswirkt und somit eine exakte Messung von x auch Information über x' gibt und die exakte Messung von p' unmöglich machen müsste. Oder habe ich hier einen Denkfehler und interpretiere zu viel in den Kommutator hinein? Über eine kleine Hilfestellung wäre ich sehr dankbar!

Die Publikation kann unter http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0306141v1.pdf frei heruntergeladen werden. Die entsprechende Stelle findet sich auf der Seite 5 in Gleichung (3).

Viele Grüße!

Ohne jetzt mal in die angegebene Publikation hineingeschaut zu haben, die ungestrichenen Größen beschreiben das eine Teilchen (Subsystem) und die gestrichenen das andere:

[x,p'] = 0

bedeutet dann, dass zugleich der Impuls des einen und der Ort des anderen Teilchens beliebig genau messbar sind. Mir scheint, das ist okay.

Interessant wird es nach meinem Verständnis erst, wenn genau die Observable betrachtet bzw. gemessen wird, über welche die Verschränkung stattfindet, also in den üblichen Verschränkungsexperimenten meist Spin oder Polarisation. Da legt die Messung am einen Teilchen automatisch den Wert derselben Observablen am anderen Teilchen fest.

Keine Ahnung, ob das weiterhilft?

Gruß,
Uli

klice
13.08.14, 17:25
BTW, das muss wohl "hquer/2" heissen und nicht "c".
Habe nur "c" als eine beliebige Konstante eingesetzt, da es ja auch oft unterschiedliche Normierungen gibt.

Ohne jetzt mal in die angegebene Publikation hineingeschaut zu haben, die ungestrichenen Größen beschreiben das eine Teilchen (Subsystem) und die gestrichenen das andere:

[x,p'] = 0

bedeutet dann, dass zugleich der Impuls des einen und der Ort des anderen Teilchens beliebig genau messbar sind. Mir scheint, das ist okay.

Also die Idee dieser Verschränkung in der Publikation ist gerade durch Messung von x Informationen über x' zu erhalten. Also sind die Zustände ja über Position und Impuls miteinander verschränkt, nicht über Polarisation oder Spin. Aber je genauer ich über x' bescheid weiß, desto unsicherer wird doch p'. Somit kann ich doch eben nicht den Ort des einen Teilchens messen, ohne den Impuls des anderen mit mehr Unsicherheit zu behaften. Also mein Gedankengang ist: Messung von x' -> gibt Information über x -> verwässert p.
Ich vertraue der Publikation allerdings mehr als meinem eigenen Verständnis. Könntest du mir vielleicht den Gefallen tun und mal kurz reinschauen? Dort ist ein Bild angegeben und du müsstest nur einen kurzen Absatz lesen in dem das steht. Ich verzweifle wirklich daran weil ich auch nichts vergleichbares in anderer Literatur finden konnte bisher.

Viele Grüße!

Hawkwind
14.08.14, 14:08
... In der besagten Publikation sind nun aber a und a' VERSCHRÄNKT und der Kommutator [x,p'] = 0 angegeben. ...

Ich vermute, der Hintergund ist einfach, wenn sich die beiden Teilchen weit genug voneinander entfernt haben, sodass es keine Wechselwirkungen mehr geben kann, dann separiert die Gesamtwellenfunktion PSI des Systems in Produkte der Einzelwellenfunktionen, und das entsprechend Quantenstatistik (d.h. Symmetrisierung bzw Antisymmetrisierung der Gesamtwellenfunktion gegenüber einer Vertauschung der Koordinaten x und y der beiden Teilchen)

PSI(x,y) = psi1(x) * psi2(y) + psi1(y) * psi2(x)

Für Fermionen müsste das "+" durch ein "-" ersetzt werden. x seien dabei die Koordinaten des 1. und y die des 2. Teilchens.

Dann hätten wir für den Impulsoperator des 1. Teilchens i*d/dx und für den des 2. Teilchens i*d/dy (partielle Ableitungen) und für die Ortsoperatoren der beiden Teilchen einfach die Multiplikation mit x bzw y für das 2. Teilchen. Natürlich kommutiert nun d/dx mit y und umgekehrt, denn sie wirken ja auf unterschiedliche Koordinatenräume.

Vielleicht ist die historische Orginalpublikation von Einstein, Rosen & Podolsky hilfreich?
http://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.47.777

Siehe z.B. Gl. (8) dort.

Gruß,
Hawkwind

klice
14.08.14, 14:28
Vielen Dank Hawkwind. Ich glaube ich weiß jetzt in etwa, wo mein Denkfehler lag. Ich schaue mir die Formeln nochmal in Ruhe genauer an.