Math - Polya und Primzahlen
Hi
Im Thread "Wasserwellen..." hat Timm auf interessante Aspekte zum Thema Primzahlzwillinge, "n-linge" von Polya und Lehmer aufmerksam gemacht. Ich wuerde die Diskusion an dieser Stelle gerne weiterfuehren. Ich hoffe Timm hat nichts dagegen wenn ich den Gegenstand derselben, den Timm mir per PN gesendet hat, hier zitiere : Zitat:
Zitat:
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Hi Timm
Zu Polyas Wahrscheinlichkeit habe ich auch nur einen kleinen Abschnitt im www gefunden : http://books.google.de/books?id=1MTc...Lehmer&f=false Hat man hier den Bruchstrich vergessen ? Polyas Argumentation,um was es ueberhaupt geht verstehe ich jetzt schon besser, aber noch nicht komplett. Unter diesem Link habe ich jede Menge interessanter Informationen zum Stand der "Primzahlforschung" gefunden. http://www.mathe.tu-freiberg.de/~heb...h/zahlenth.pdf Ich bin lediglich E-Ing, kein Mathematiker und mich erschlaegt es regelmaessig, wenn ich lese mt welchen Problemen sich die Mathematiker nur mal so als Uebungsaufgaben beschaeftigen :-) Der Beweis dass zwei folgende Fib Zahlen keinen gemeinsamen Teiler aufweisen ist in dem PDF auch als Uebungsaufgabe mit dabei :-) Dieser Summensatz ist somit wohl zu trivial, dass er extra erwaeht wird. Aber gerade weil er so schoen einfach ist gefaelt es mir damit zu argumentieren. In dem PDF kommt an einer Stelle auch die Primfakultaet vor. Anscheinend gibt es dafuer tatsaechlich keinen ofiziellen Namen, was mich schon wundert. In dem Skript wird fuer dieselbe lustigerweise das Symbol p# verwendet. (Ich hatte das frei erfunden) p? faende ich auch passend. Kleine Ueberlegung : Wenn man in der Primfakultaet p(n)# auch Mehrfachheiten der Primfaktoren zulaesst, also 2^k2* 3^k3* 5^k5* 7^k7 ... dann stellt diese "Mehrfachprimfakultaet" eine verallgemeinerte Form der Fakultaet n! dar. Einfaches Beispiel wie dies zu verstehen ist : Betrachten wir 10! 10!=2*3*4*5*6*7*8*9*10 und zerlegen die Nichtprimzahlen in ihre Primfaktoren : 10!=2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5) 10!=2^8 * 3^4 * 5^2 * 7 so sieht man, dass die Fakultaet natuerlich nur eine spezielle Form der Primfakultaet ist. Mit Mehrfachheiten. Damit lassen sich die im PDF betrachteten Primzahlen n! +1 auf die Betrachtungen im regeli Thread ueber den Summensatz zurueckfuehren. Allerdings ist es manchmal ungeschickt n! zu verwenden statt n# oder n#/pi. Die grundlegende Eigenschaft von n# ist die, dass es die kleinste Fakultaet ist, in der alle Primfaktoren lueckenlos vorkommen. Dafuer ist n! analytisch berechenbar. Man koennte einen Kompromiss finden, indem man z.B. alle geradzahligen Faktoren aus n! streicht. Will ich in Kuerze mal ausprobieren. EDIT : Die offizielle Bezeichnung unserer Primfakultaet p# lautet Primfakultaet oder Primorial http://de.wikipedia.org/wiki/Primfakult%C3%A4t Auf der Seite ist auch schon durchgefuehrt was ich gerade noch ausprobieren wollte. http://upload.wikimedia.org/math/1/f...f2d57556d1.png Das bietet sich natuerlich an, weil diese Konstante das Gegenstueck zur Eulerschen Zahl e ist. Zitat:
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Zitat:
In aller Kürze: Ich habe mir erlaubt das Zitat in Deinem Beitrag mit dem Autor zu ergänzen. Herr Herrmann, der damals, als ich ihn in 2001 aufsuchte, schon emeritiert war, hatte die Orginal Publikationen von Polya und Lehmer nicht zur Hand, hat diese Herleitung aber aus dem Gedächtnis geschöpft. Ja, der Bruchstrich fehlt, Gruß, Timm |
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Zitat:
inwiefern ist diese Konstante 0,70523... das Gegenstück zur Eulerschen Zahl e? M.f.G. Eugen Bauhof |
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Hi Bauhof
Zitat:
exp(1) ist die Summe der Kehrwerte aller Fakultaeten e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/5! ..... Im Grunde ist es zunaechst eine rein formelle Spielerei hier die Primfakultaet statt Fakultaet einzusetzen. Als unvollstaendige Taylorapproximation kann man dies dann nicht betrachten, denn die Fakultaet resultiert auf einer fortgesetzten Differentation der Terme x^n. Man koennte sich fragen welche Funktionsbasis diese Primorials bei einer Approximation erzeugen wuerde, aber solch eine Funktion kann es in geschlossener Form natuerlich nicht geben. Wie man sieht hat diese Idee dennoch schon jemand aufgegriffen. Die Konstante scheint leider keine besondere Bedeutung zu haben. Die Kettenbruchdarstellung des Wertes enthaelt natuerlich auch keine erkennbare Struktur, denn ansonsten haette man die Primzahlen "geknackt". Ich gehe uebrigends davon aus, dass man prinzipiell keinen analytischen Ausdruck finden kann , der alle Primzahlen erzeugt. Mit ein paar wenigen gebe ich mich schon zufrieden :-) Hast du eine Idee wie man diese Reihe interpretieren koennte ? |
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Zitat:
vermutlich hast du dich dabei nur vertippt. Das ist nicht e, sondern e wird durch folgende unendliche Reihe angenähert: e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus: 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam. M.f.G. Eugen Bauhof |
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Hi Bauhof
Bin zu bloed um bis fuenf zu zaehlen :-) Ja, ich hab statt 1/4! 1/5! getippt Zitat:
Weiterhin : Die Fakultaet einer Primzahl ist nicht die Primfakultaet=Primorial. Offizielles Symbol: p# Das Primorial entspricht der Fakultaet in der man alle nichtprimzahligen Faktoren streicht 2*3*5*7*11*13 .... Oder eben dem Produkt der Primzahlen bis zu einer Stelle n. Das besondere daran ist, dass das Primorial wie die Fakultaet alle aufeinanderfolgenden Primfaktoren enthaelt, (aber nicht so steil waechst wie die Fakultaet). Einen geschlossenes Ausdruck gibt es dafuer natuerlich leider nicht, denn sonst koennte man ueber p(n+1)#/p(n)# jede Primzahl berechnen. In Timms zitierter Vermutung zeigt sich, dass Primzahlen im Abstand von Primorials am haeufigsten auftreten. Das ist auch das eigentliche Thema, von dem ich bischen abgewichen bin. Zitat:
Es muessste doch gelten 0 < 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... < e BTW Mit der "ungerade"Fakultaet(n) + 2 komme ich immerhin auf eine 241 stellige Primzahl (Test n=1..150) 65639426708018986672507151381772735265405805254795 22779750428143933771428487157029025600572193689502 76104285285516744221164562355173053752804275846126 24336324231768502783970671432560740560286937050977 03902486688990937373600900173187255859377 ist prim Bis prim(150)#/2 + 2 sind es nur 188 Stellen Mit (n!+1) bis n=150 sind es auch nur 191 Stellen |
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Zitat:
nein, ich habe mich nicht vertippt. Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt. Gibt es dazu eine Quelle? M.f.G. Eugen Bauhof |
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Hi Bauhof, Timm, all
Doch, du hast dich irgendwo vertippt. Zitat:
Zitat:
Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/On-Line...eger_Sequences Dort habe ich die Summe der Kehrwerte der Primorials gefunden, aber nicht die der Fakultaet der Primzahlen. Scheint tatsaechlich zu fehlen Hier wenigstens die Reihe der einfachen Fakultaet der Primzahlen : http://www.research.att.com/~njas/se...erman&go=Suche (Die Primzahlen als Kettenbruchkoeffizienten gibt es dort auch) Mit Maple kann man den gesuchten Wert leicht numerisch simulieren. Die Reihe konvergiert sehr schnell gegen s := 0.6751984380 Die SUmme der Nichtprimzahlkehrwertfakultaeten muesste dann sg:=2.043083390 sein. Man koennte spasseshalber Taylorreihen von Funktionen in ihre primzahligenund und nichtprimzahligen Reihen zerlegen. Aber Sinn macht das wohl keinen, ansonsten waere schon jemand anderes auf die Idee gekommen. Hast du eine Quelle fuer die von dir gemeinten divergenten Reihe ? 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... Und damit waeren wir nahe bei der eigentlichen Fragestellung von Timm. Ich moechte erstmal zusammenfassen ob ich diese richtig verstanden habe : i=0..N sei die Folge der natuerlichn Zahlen ifactors(i)=p1,p2,p3...p_anzahl seien die Primfaktoren von i "anzahl" sei die Anzahl der Primfaktoren von i Jetzt bestimmt man fuer jeden Primfaktor pk den wert ak=(pk-1)/(pk-2) k=1..anzahl Da waere meine erste Frage: Fuer i=2 geht a doch gegen unendlich. 2 wird also ausgeschlossen und H(2) zu 1 normiert ? Ansonsten berechnet sich H(i) als product(ak,k=1..anz) ? So hast du es im Beispiel erlaeutert : Zitat:
Die Frage waere dann, ob das Produkt H gegen unendlich strebt oder konvergiert. Der Ausdruck besteht aus zwei Teilen. Der inneren Funktion, die im Intervall [3...OO] monoton vom Wert 2 auf 1 faellt. Mit jeder neuen Primzahl naehert sich der Bruch dem Wert 1. Und mit jeder neuen Primzahl wird ein Faktor groesser eins hinzugefuegt. So dass es rein formell klar ist, dass der Wert fuer die Primonials am groessten ist, da sie die meisten Faktoren enthalten. Allerdings ist mir noch immer nicht ganz klar wie Polya auf diesen Ausdruck kommt. Jetzt koennte man voreilig argumentieren : Na ich habe unendlich viele Faktoren eines Produkts, denn es gibt unendlich viele Primzahlen und jeder ist groesser 1 kleiner 2. Das divergiert. Ich meine aber dem ist nicht so. Aehnlich wie bei exp(1)=limit( (1+1/n)^n,n=infinity) tritt der entscheidende Vorgang genau beim Grenzuebergang auf. (1+1/n)^n ist dem Produkt H auch ansonsten recht aehnlich. Der Ausdruck in der Klammer strebt genauso gegen eins und der Exponent erzeugt schliesslich unendlich viele Faktoren. Aber der Wert konvergiert gegen exp(1) @timm Das Problem ist nun, dass wir keinen analytischen Ausdruck dafuer haben. wie der Wert des jeweils neuen Primfaktors waechst. Man koennte sich hier vielleicht dem Primzahlsatz von Gauss bedienen, dass die Verteilung etwa x/ln(x) betraegt. Zunaechst ueberlegen, wie sich dies auf das Wachstum der Primfaktoren auswirkt. Hier einige Beispiele die ich mit Maple gerechnet habe und die Problematik anschaulich darstellen. Fuer die unbekannte Wachstumsfunktion der Primzahlen habe ich einfach mal einige elementare Funktionen wie 2*p, p^2, p! eingesetzt: product((p-1)/(p-2),p=3..infinity) = infinity product((2*p-1)/(2*p-2),p=3..infinity) = infinity product((10*p-1)/(10*p-2),p=3..infinity) = infinity p waechst aber natuerlich nicht linear lassen wir es quadratisch wachsen : product((p^2-1)/(p^2-2),p=3..infinity)=1.536421919 Schon jetzt konvergiert das Produkt. (uebrigends gegen sehr eigentuemliche algebraische Ausdruecke, die natuerlich die Gammafunktion als allgemeine Fakultaet enthalten) product((p!-1)/(p!-2),p=3..infinity) kann Maple nicht loesen,komisch gestern ging das noch,stattdessen product((p!-1)/(p!-2),p=3..10)= s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..10))= 1.320027113 s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..100))=1.320027149 Wenn p^2 konvergiert muss auch p! konvergieren. (Ich dachte anfangs in p wird die Primfakultaet eingesetzt. Schliesslich noch ein Programm fuer die reale Situation : a:=1; > for i from 2 to 10000 do > p:=ithprime(i); > a:=evalf(a*(p-1)/(p-2)); > od; ithprim(10 000)=104729 a=15.597311318 Da liege ich noch weit unter deinem numerischen Experiment .. Moment geht gleich weiter ... i=100 000 laeuft gerade |
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...
hab das Programm bei 33409, der Primzahl 394129 abgebrochen. a=17.38318378 So kommt man ja nicht viel weiter, sondern man benoetigt 1) eine Abschaetzung des Wachstums der Primzahlen 2) Eine Angabe ob die von dir genannte Haeufigkeit H damit konvergiert oder divergiert 2a) Indem man das Produkt direkt auswertet 2b) Indem man ein Konvergenzkriterium fuer Produkte anwendet zu1) http://www.math.uni-bielefeld.de/bir...r/leit01-2.pdf Zitat:
Hier habe ich die Funktion fuer 2 Schranken bis 10 000 dargestellt : http://home.arcor.de/richardon/2009/primxlogx.gif Den Faktor 1.18 koennte man ueber die Methode der kleinsten Quadrate natuerlich noch genauer bestimmen. Hier nochmals fuer die ersten 15 Primzahlen http://home.arcor.de/richardon/2009/primxlogx2.gif Die Approximation ist hier noch sehr ungenau Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint : s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000)); Error, (in product) object too large for the Student Edition Tja, diese ewigen Studenten :-) Fuer das Produkt s:=evalf(product((1.18*p*ln(p)-1)/(1.18*p*ln(p)-2),p=3..1000)); spuckt Maple noch den Wert s := 7.180852157 aus NUMERISCHES *********** Ich will jetzt erstmal untersuchen wie gut 1.18*x*ln(x) EDIT 1.15*x*ln(x) das Haufigkeitsprodukt approximiert. Fuer kleine Primzahlen ist die Uebereinstimmung sehr schlecht. Also starte ich den Vergleich bei der tausendsten Primzahl : Das kleine Programm : Zitat:
http://home.arcor.de/richardon/2009/timmvgl.gif NUMERISCHE IDEE ************** Sachgemaess waere es natuerlich ein Konvergenzktiterium auf das Produkt anzuwenden. Mein hohler Bauch sagt mir aber jetzt schon, dass dies eventuell nicht so einfach sein koennte. Dieses Produkt liegt wahrscheinlich irgendwo an der Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz. Und falls es konvergiert wuerde mich ein Naeherungswert interessieren. Kann aber durchaus auch sein, dass es divergiert. Im Moment habe ich folgenden numerischen Plan : Wir koennen das Produkt relativ einfach numerisch simulieren. Allerdings ergibt sich das Problem, dass unser Rechengeraet sehr viel Zeit benoetigt um grosse Primzahlen zu berechnen. Dafuer scheint fuer grosse Primzahlen die Funktion c*x*ln(x) wenigstens qualitativ eine gute Naeherung zu sein. Daher zerlege ich das Produkt, nennen wir es H, an der Stelle m in zwei Faktoren. H=product(f(i),i=3..infinity) H=product(f(i),i=3..m)*prod(f(i),i=m+1..infinity)= H1*H2 H1 haben wir fuer m=10000 bereits exakt numerisch simuliert. Der Wert fuer H1 war : H1(m=10000)=15.597311318 Meine Idee waere es H2 nun durch c*x*ln(x) x=m+1..grosse Zahl versuchen numerisch zu ermitten. Damit erspart man sich grosse Primzahlen und kann daher eine sehr gross obere Schranke verwenden. OK lets go :) |
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Maple benoetigt auch fuer die Produkte von c*x*ln(x) recht lange Rechenzeiten.
Ich meine momentan dieses Produkt, die Haeufigkeit H konvergiert. @Bauhof,Timm,all Kennt jemand eine Quelle fuer Konvergenzkriterien von Produkten ? Ansonsten muss ich wohl dochmal wieder in die Bronstein Bibel schauen. Zuvor noch zwei bescheidene Versuche um Timms Prob zu loesen : Statt dem Produkt H kann ich auch ln(H) betrachten. Dann wird das Produkt natuerlich zu einer Summe : H(i)=product( c*(p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2), p=3..N) ln(H(i))=sum(ln[c*(p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2)], p=3..N) Fuer ln(c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) muss ich jetzt nach einem geeigneten Konvergenzkriterium fuer Summen suchen. Damit laesst sich die Konvergenz der Abschaetzung beurteilen. Das waere die grundlegende Aufgabe, die man zunaechst loesen sollte um die Konvergenz wenigstens abzuschaetzen. Der zweite bescheidene Versuch waere es das Differential des Produktes H zu betrachten. Viele Gruessse |
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Zitat:
danke für den Hinweis, du hast recht. Ich habe das inzwischen richtiggestellt. M.f.G. Eugen Bauhof |
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Zitat:
die Reihe (1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe (2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e (3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist. So richtig? M.f.G. Eugen Bauhof |
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Hallo Richy,
vor ein paar Jahren schrieb ich ein Fortran-Programm, das mit Hilfe der Riemannschen Näherung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmen natürlichen Zahl N (N kleinergleich 10^308) auf den Bildschirm ausgibt. Falls es für dich hilfreich ist, kannst du dir das EXE-File hier herunterladen: http://www.eugen-bauhof.homepage.t-o...EMANN_TEST.exe Diese Programm läuft auf den Windows-Systemen, z.B. unter Windows Vista, vielleicht auch unter XP oder Windows 98. Unter Vista habe ich es gerade noch mal ausprobiert. Falls nötig, kann ich dir auch das Quellprogramm zur Verfügung stellen. Das könntest du dann mit dem kostenlosen Fortran-Entwicklungssystem von "openwatcom" für spezielle Zwecke erweitern. Dieses Fortran-Entwicklungssystem kann hier heruntergeladen werden: http://ftp.openwatcom.org/ftp/ Mit freundlichen Grüßen Eugen Bauhof |
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@Richy
mir brennt's :) , die Primzahlen mit der Physik zu verbinden. Sonst wird's doch viel zu mathematisch hier, oder? Gruß, Lambert |
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Zitat:
Grüsse, rene |
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Hi
Zitat:
s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity)); Zitat:
EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich. Danke fuer das Programm. Sicherlich ist das schneller als Maple, aber rein numerisch kommen wir wohl nicht weiter. Eine Naeherung fuer die Primzahlen ist c*x*ln(x), so dass fuer die Konvergenzbetrachtung die Primzahlen nicht mehr notwendig sind. Auf den ln der Funktion habe ich das Wuerzelkriterium angewendet : http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2)); limit(a^(1/x),x=infinity)=1 Na toll, denn ausgerechnet fuer den Wert 1 ist damit keine Aussage ueber die Konvergenz moeglich. Aehnliches liefert das Quotientenkriterium : http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2)); a1:=ln((c*(x+1)*ln(x+1)-1)/(c*(x+1)*ln(x+1)-2)); q:=a1/a Die Funktion ist monoton wachsend und kleiner 1 strebt aber fuer x->00 gegen 1. Damit ist keine Konvergenzaussage moeglich. Zitat:
@Lambert Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst. |
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Zitat:
Die Berechnung mit einer unendlichen Anzahl Faktoren kann mein Maple aus dieser Gleichung auch nicht angeben: "Cannot show that (c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) is continuous on [3,infinity]" Grüsse, rene |
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Zitat:
nein, aber mir geht es um Mathematik und Physik, nicht um reine Mathematik. Da sehe ich ein Wenig Zeitvergeudung in diesem Stadium. Ich setze an bei Primzahlen und Unendlichkeiten, wie Du weißt. Und möchte wissen, was das Zeug :) miteinander zu tun hat. Gruß, Lambert |
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Zitat:
ja, die harmonische Reihe (1) 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+... divergiert, aber das macht die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte (2) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+... nicht wahrscheinlicher, weil (1) die Majorante zu (2) ist. Wenn man aus einer Majorante sehr viele Glieder herausnimmt, dann könnte es sein, dass die neue Reihe konvergiert. Nur wenn (2) die Majorante zu (1) wäre, dann wäre die Divergenz von (2) bewiesen. Der Beweis für die Divergenz der Reihe der Primzahl-Kehrwerte ist in [1] im Kapitel "3.2 Harmonische Primzahlreihe" zu finden. Leonhard Euler lieferte den ersten Beweis und Erdös verallgemeinerte danach Eulers Beweis. Die Beweisführung von Erdös führte zur Entstehung der analytischen Zahlentheorie. Im Buch wird auch erwähnt, dass die Reihe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge: (3) (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) +... konvergiert. Die Summe von (3) beträgt ungefähr 1,902160582... und wird als Brunsche Konstante bezeichnet. Ein gewisser Thomas Nicely bildete die Summe von (3) auf seinem Computer und entdeckte dabei 1994 den berüchtigten Divisionsfehler des Pentium-Prozessors. Man weiß bis heute nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Wenn (3) divergieren würde, wäre die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge gegeben. Aber aus der Konvergenz von (3) folgt nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt. Mit freundlichen Grüßen Eugen Bauhof [1] Julian Havil GAMMA. Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Berlin 2007. ISBN=978-3-540-48495-0 http://www.science-shop.de/artikel/865725 |
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Vielen Dank fuer die Quellenangabe. Ein Buch ueber Erdoes steht bei mir im Regal. Wohl zu lange her, dass ich das gelesen habe. Zitat:
Zitat:
Selbiges trifft dann auch fuer Timms Frage zu. Meine Naeherung ueber C*x*ln(x) waere auch nur eine qualitative Abschaetzung. Da nun aber bekannt ist dass die Summe der Primzalkehrwerte divergiert, koennte man das Majorantenkriterium verwenden.( Falls meine Vorgehensweise ueberhaupt korrekt ist das Produkt ueber den ln in eine Summe zu transformieren und dann zu argumentieren, dass wenn diese Summe divergiert auch das Produkt divergiert. ) Ich hab mir das nur mal kurz graphisch mit der Naeherung ln[(C*x*ln(x)-1)/(C*x*ln(x)-2)] angeschaut. Die scheint fuer alle C groesser zu sein als 1/(C*x*ln(x)) Wobei beide Funktionen fuer groessere Werte "fast gleich" sind. (Warum eigentlich ?) Korrekterweise muesste man dies statt C*x*ln(x) fuer die Primzahlen zeigen. Und dann waere Timms Produkt divergent. Ich vermute jetzt doch eher, dass es divergent ist. Zitat:
Zitat:
Ich bin davon aber nicht infiziert. Zitat:
Zitat:
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@Timm
Anhand der Vorbetrachtungen hatte ich eine Beweisidee : 1) Zeige dass gilt : exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>epsilon, z.b. x>=3 Leider ist mir dies bisher noch nicht gelugen :-( Die Idee waere dann wie folgt gewsen : 2) Damit wuerde die Ungleichung auch fuer alle Primzahlen gelten : exp(1/p) < (p-1)/(p-2) 3) Untersuche statt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) das Produkt product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist Wuerde 1) gelten, so wuerde auch das Produkt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) divergieren. |
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warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle :
1/p hat die Ableitung -1/p^2 ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)] -1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3 Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so. ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen. Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ? |
AW: Polya und Primzahlen
Folgendes scheint recht einfach zum Erfolg zu fuehren :
Zitat:
Anmerkung : die Taylorreihe von 1/(1-x) lautet 1+x+x^2+x^3+x^4 ... Zitat:
Und ich meine jetzt fuehrt das Minorantenkriterium tatsaechlich zum Erfolg. Betrachten wir nur : ∏(1-1/p)^-1 = ∞ p prim 1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von (p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich : p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen. Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2). Jetzetles aber :-) Traera und A u s m a r s c h |
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Zitat:
hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert? M.f.G. Eugen bauhof |
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Erstmal warum habe ich geschrieben die Funktionen streben gegen 0 ? exp(1/x) und (x-1)/(x-2) streben gegen 1 oder (1/x) und ln[(x-1)/(x-2)] streben gegen 0 Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt. Zitat:
Geht auch z.B. ueber (1-1/x)/(1-2/x) 1) Fuer x>2 sind beide Funktionen streng monoton fallend. Das sieht man an den Ableitungen. 2) und fuer z.B. x= 2 oder x=3 ist (x-1)/(x-2) groesser als exp(1/x). http://home.arcor.de/richardon/2009/exprim.gif Die Expo Funktion ist rot. 3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1 Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ? Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt. Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein. Was meinst du ? Im Grunde ist die Divergenz mit dem zweiten Beweis aber bestaetigt. Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-) Gruesse richy |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung (1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen? Zitat:
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden. Mein PC verfügt über eine CPU mit zwei Kernen mit je 3,2GHz Taktfrequenz und einen Hauptspeicher mit 4GB. M.f.G. Eugen Bauhof |
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Zitat:
UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3 Den nur dann kann ich das Minorantenkriterium anwenden. Nach einem Produkt suchen dessen Faktoren kleiner als die des betrachteten Produktes sind und das dennoch divergiert. Dafuer waeren natuerlich die Loesungen der Gleichung exp(1/x) = (x-1)/(x-2) interessant. Die ist aber transzendent. Gibt es fuer x>3 keinen endlichen reelen Wert als Schnittpunkt, so gilt die UGL). Ich meine aus meinen Punkten 1)2)3) geht dies bisher nicht hervor. Ein Punkt 4) waere aber, dass sich die Ableitungen der beiden Funktionen fuer x>3 nicht schneiden. D.h. der Betrag der Steigung der gruenen Funktion ist stets groesser als der der roten. Sie faellt stest steiler. Und daher kann sie sich nicht unterhalb der roten Funktion dem Grenzwert 1 naehern. Ud aus selbigem Grund die rote Funktion auch nicht mehrmals schneiden. Das koennte mit 1)2)3) ausreichend sein, das der einzigste Schnittpunkt im Unendlichen liegt. Zitat:
Zitat:
richy |
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Zitat:
welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint: für x>epsilon mit epsilon=3? M.f.G. Eugen Bauhof |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
(x-1)/(x-2) - exp(1/x) = 0 Die beiden Funktionen verlaufen asymptotisch und die Differenzen ihrer Funktionswerte konvergieren im Unendlichen gegen Null. Als einen Beweis kann man das nicht gelten lassen, jedoch als ein sehr starkes numerisches Indiz. Grüsse, rene |
AW: Polya und Primzahlen
Hi rene , Bauhof
Erstmal vielen Dank fuer eure Muehe. Zitat:
Bei den beiden Funktionen ist es so , dass nicht eine davon fuer alle x groesser ist. Auch nicht fuer alle x>0. Ich moechte das Minorantenkriterium anwenden. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium Dazu muss ich ein Intervall finden [epsilon....oo] in dem garantiert ist , dass meine zu testende Funktion stets groesser ist als die Verglechsfunktion. Alles im Intervall von [startindex.. epsilon] interessiert nicht, da die Summe oder das Produkt endlich bleibt. Vorausgesetzt es gibt keine Polstellen. Den Pol x=2 hat Polya umgangen. Die Divergenz verursacht dann letztendlich ein unendlich langes Intervall. @rene Zitat:
Davon mache ich noch ne Skizze. Und dann waere exp(1/x)<(x-1)/(x-2) fuer x>3 oder x>100. Das spielt keine Rolle. Polya startet mit der Primzahl 3. Die Primzahl 2 nimmt er als Referenzwert. Polyas Herleitung habe ich noch nicht so ganz verstanden. Aber es ist interessant, dass seine Haeufigkeit fast identisch ist mit dem Produkt in dem Beweis zur Primzahlkehrwertsumme. (Der Beweis ist ueberhaupt ausgesprochen raffiniert) ciao |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
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Das ganze steht und fällt mit dem Gültigkeitsbereich von (p-1)/(p-2). Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht? Gruß, Timm |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
leider verstehe ich deine Formulierungen nicht immer. Einmal schreibst du (p-1)/(p-2) und dann wieder (x-1)/(x-2). Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten? Für alle reelle Zahlen x soll gelten: (1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) (mit 3 ≤ x ≤ unendlich) Setze y=1/x ? x=1/y; dann ergib sich: (2) exp(y) = (1/y - 1)/(1/y - 2) (mit 0 < y ≤ 1/3) (3) exp(y) = (1 - y)/(1 - 2y) (4) ln[exp(y)] = ln[(1 - y)/(1 - 2y)] (5) y = ln(1 - y) - ln(1 - 2y) Für y → 0 strebt ln(1 - y) - ln(1 - 2y) gegen Null, die Gleichung (5) ist also erfüllt. Wegen y → 0 und x=1/y strebt exp(1/x) gegen 1 für x → unendlich. Somit muss wegen (1) auch (x-1)/(x-2) gegen 1 streben für x → unendlich. Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung: (6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich Nehmen wir mal an, dass dies so ist (die asymptotische Annäherung können wir vielleicht später noch beweisen, falls dein Argument mit den Steigungen nicht hinreichend sein sollte). Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau? Mit freundlichen Grüßen Eugen Bauhof |
AW: Polya und Primzahlen
Hi
@Timm Zitat:
Zitat:
Mehrfachheiten waeren auch keine Primzahlen. In einem Intervall(2....X) soll es N Primzahlen geben. Dann ist fuer die Prifakultaet dieses Produkt maximal, denn es enthaelt die groesste Anzahl, naemlich N Faktoren. Fuer eine Folge der natuerlichen Zahlen wuerde das Produkt in einer Art Saegezahnform oder aehnlichem schwanken. An diese Kurve laesst sich eine konvexe Huellenkurve anlegen. Diese habe ich betrachtet. Also alle Primfakultaeten. Zitat:
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@Bauhof Zitat:
p(i) i=1...N oder p, p=2,3,5....N Warum ist es in manchen Faellen ncht relevant ? Die Primzahlen kann ich analytisch nicht erfassen. Auch die natuerlichen Zahlen sind recht unhandlich. Benutze ich das Minorantenkriterium so interessieren Ungleichungen : f(x) < g(x), x element R Gilt dies fuer reele Zahlen, so gilt dies auch fuer natuerliche Zahlen : f(i) < g(i), i element N und ebenso fuer Primzahlen f(p) < g(p), p element Primzahlen Zitat:
Und das Prob war die asymptodische Naeherung, ob es zuvor keinen Schnittpunkt gibt. Wobei der Betrag der Ableitung von (x-1)/(x-2) stets groesser ist als der von exp(1/x). Bin mir jetzt fast sicher, dass daher nur der Schnittpukt im Unendlichen existieren kann. Zitat:
exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>=3, x element reelle Zahlen Dies gilt auch fuer alle Primzahlen : exp(1/p) < (p-1)/(p-2) fuer alle p>=3, p element Primzahlen Minorantenkriterium : Untersuche statt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) das Produkt der stets kleineren Faktoren product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist Daraus folgt : exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) = exp(00) = 00 Und daher auch product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = 00 und daher auch product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) = 00 Viele Gruesse |
AW: Polya und Primzahlen
Dass sich g(x)=exp(1/x) und f(x)=(x-1)/(x-2) im Intervall [3...oo] nur im Unendlichen schneiden folgt wahscheinlich aus deren Ableitung |f´(x)|>|g´(x)| und aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Anschaulich: Voraussetzung : alle Ableitungen kleiner 0, beide Funktionen streng monoton fallend Gilt f(x0)>g(x0) so koennen sich die Funktionen fuer x>xo nur schneiden wenn gilt |f´(x)|>|g´(x)| xs sei dieser Schnittpukt Entweder ist dies eine Tangente oder es gilt nun g(x>xs)>f(x>xs) Damit sich die Funktionen ein zweites Mal schneiden muesste gelten |g´(x)|>|f´(x)| (oder f´(x)>0) Dieser Fall liegt aber nicht vor : http://home.arcor.de/richardon/2009/schnitt.gif Kuerzer formuliert : Wenn im betrachteten Intervall die Funkrion f(x)=(x-1)/(x-2) kleiner waere als g(x)=exp(1/x) dann muesste es auch eine Stelle geben an der der Betrag deren Ableitung kleiner ist als der von g(x), da sich beide Funktionen im Unendlichen schneiden. Das ist aber nicht der Fall und daher muss f(x) stets groesser als g(x) sein. |
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Offtopic : ...
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Zitat:
Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen? Gruß, ÖLambert |
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Hallo richy,
ein letzter Blick auf diese Tabelle Zitat:
Ab der Differenz, deren Primfakultät aus 10^3 Primfaktoren besteht, gibt es offensichtlich eine lineare Abhängigkeit der Superhäufigkeit SH von log(Zahl der Primfaktoren). log(Zahl der Primfaktoren) ---- SH 3 ----------------------------- 12,1230 4 ----------------------------- 15,5972 5 ----------------------------- 18,9914 6 ----------------------------- 22,3329 Daraus folgt die Geradengleichung SH = 3,4033*log(Zahl der Primfaktoren) + 1,9131 Sollte sich diese Gleichung nicht unmittelbar aus dem Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) in verallgemeinerter Form ableiten lassen? Aber wie? Die Nichtlinearität bei < 10^3 dürfte von dem Fehler herrühren, daß ich die nicht zu SH beitragenden Faktoren 1*2 einbezogen habe, 8 statt 10, 98 statt 100 usw. Dein Beweis unterstützt ja nun diesen linearen Zusammenhang. Er besagt, daß mit jeder verzehnfachung der Zahl der Primfaktoren einer Differenz, deren SH um den konstanten Betrag 3,4033 zunimmt. In diesen Trippelschritten nähert sich SH offensichtlich abzählbar dem Unendlichen. Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen. Mir scheint, die Systematik bei der Häufigkeit der Differenzen, ist mit einer reinen Zufallsverteilung nicht vereinbar, sondern Ausdruck der Definition der Primzahlen. Würde man mit einem idealen Zufallsgenerator Zahlen abnehmender Dichte generieren, analog zu der von Primzahlen, dann müßte bei der Häufigkeitsbetrachtung der Differenzen Gleichverteilung herauskommen, wie ich es ursprünglich auch für die Primzahlen erwartet hatte. Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert? Als ich noch auf der Suche war, hatte ich Kontakt mit einem amerikanischen Medizin Studenten, der am selben Problem arbeitete. Ist es diese noch immer von Geheimnissen umwobene absolute Eigenständigkeit dieses Zahlenkonstrukts? Die in der Natur keinerlei Ausprägung findet? Mir zumindest nicht bekannt. Gruß, Timm |
AW: Polya und Primzahlen
@Lambert
Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...ndungsbeispiel @Timm Der Logarithmus beruht sicherlich auf dem Zusammenhang, das die Prinzahlen etwa einen x*ln(x) Verlauf haben. Das muesste man sich genauer ueberlegen. Die Funktion in das Produkt einsetzen. Aber Maple finde keine geschlossene Loesung. Wird nicht einfach sein. Zitat:
Zitat:
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Zitat:
ich kann unter dem Link keine physikalische Relevanz erkennen. Denn es war die physikalische Relevanz von divergenten Reihen gefragt. Ich hake nur deshalb nach, weil ich vor längerer Zeit etwas über eine Vermutung gelesen habe, dass zwischen bestimmten quantalen Vorgängen und Primzahlen ein Zusammenhang besteht. M.f.G. Eugen Bauhof |
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Das Beispiel mit den Baukloetzen ist ein konstruktives Beispiel. Wahrscheinlich nicht wie es Lambert erwartet hat, dass die Divergenz einer Reihe immer etwas destruktives ist. In dem Beispiel fuehrt die Divergenz der harmonischen Reihe dazu, dass der oberste Ausleger schliesslich unendlich lang werden kann, ohne dass die Konstruktion zusammenbricht. Auch unabhaengig von l0. Dazu muss man sich das Bild um 180 Grad gedreht vorstellen. Aber du hast Recht. Man kann darueber streiten ob das eine physikalische Anwendung ist. Der Gesamtschwerpunkt aus einzelnen Koerpern. Das waere der physikalische Teil. In der Physikvorlesung wurde das Beispiel unter dem Aspekt mal behandelt. |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
wo ich mit den Primzahlen hin will, hat Eugen oben angedeutet. Ich suche eine mengentheoretische Aussonderung aus der Menge der natürlichen Zahlen, die quantentheoretisch bedeutungsvoll sein könnte. Die Primzahlen scheinen mir wunderbare Kandidate dafür, nicht zuletzt auch, weil sie - saloppe Meinung - neben anderen Eigenschaften ein höchstes Maß an Individualität besitzen. Das scheint mir ausgesprochen wichtig, da es - falls sie ein physikalisches Äquivalent haben - den entsprechenden physikalischen Teilchen Stabilität und Unabhängigkeit verleiht. Gruß, Lambert |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
ein letztlich durch bloßes Abzählen entstandenes mathematisches Konstrukt mit Naturgesetzen verwoben wäre. Und das erscheint mir unvorstellbar. Welchen spekulativen Ansatz dazu sollte es geben? Gruß, Timm |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
Warum sollten, wenn ein Kind seine Bausteine abzählt, die "Primzahlbausteine" z.B. eine besondere Stabiliät haben. Unsinn. Gruß EMI |
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Zitat:
nicht durch Abzählen entsteht ein mit Naturgesetzen verwobenes Konstrukt sondern durch zwangshafte geeignete Aussonderung aus einem gravitär-wirksames Zahlenfeld, das sein physikalisches Äquivalent in einem strukturierten Vakuum besitzt. Gruß, Lambert |
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Hi Lambert,
tut mir leid, mit Zitat:
Gruß, Timm |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
habe ich. Ich wollte nur zum Ausdruck bringen, dass es nach meiner unbedeutenden Meinung 1) Ein geordnetes Vakuum gibt 2) die Ordnung des Vakuums das übliche Gravitionsfeld mit den Eigenschaften eines Zahlenfelds ist 3) dieses Feld, das gleichzeitig ein Volumenfeld bzw. Raumquantenfeld sein soll, bei der Inflation zum Zeitpunkt t=0 bis ca. 4 an ihren Rändern instabil geworden ist 4) die Ränder rundherum an der Aktualen Unendlichkeit jenes Feldes liegen 5) die Instabilität während des Volumeninflationprozesses (bei Inflationsgeschwindigkeit c) zu Aussonderung von Volumenteilen geführt hat, die ebensoviele Photonen sind. 6) danach (aus mir undeutlichen Gründen) aus Photonen ganz brav symmetrisch Elektronen und Positronen entstanden, die sich aus hier nicht geklärten Gründen raumlich trennten. 7) danach Material und den ganzen weiteren Zirkus gab Gruß, Lambert |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
ich möchte das mit Ausnahme der "Ränder" nicht kommentieren. Man geht heute von einem Friedmann-Lemaitre Universum aus. Dieses ist homogen und isotrop. Ich kenne kein ernst zu nehmendes kosmologisches Modell, das Ränder enthält, Gruß, Timm |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
Es gibt zwei Zikadenarten, die gemeinsam vorkommen und Lebenszyklen von 13, bzw. 17 Jahren haben. Erst im letzten Jahr entwickeln sie sich aus dem Puppenstadium zum ausgereiften Tier, kommen aus dem Boden und vermehren sich. Die Vermutung geht dahin, daß die Prim-Zikaden sich sich so maximal aus dem Weg gehen. Sie kommen sich nur alle 221 Jahre in die Quere. Alternativ wird ein für beide Zikadenarten giftiger Pilz diskutiert, der alle paar Jahre auftritt. Nachzulesen auf Seite 41 in "Die Musik der Primzahlen - Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik", von Marcus du Sautoy. Die Evolution machts möglich, was mit einem physikalischen Äquivalent allerdings nichts zu tun hat. |
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
interessant in diesem Zusammenhang finde ich auch die Tasache, dass uns z.B. die Fibonacci-Zahlen in der Natur auf Schritt und Tritt begegnen. So z.B. bei der Anzahl von Blütenblättern wie der Sonnenblume und selbst bei Kaninchenpopulationen. Aber da ist glaube ich richy der Experte. Gruss, Marco Polo |
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