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Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen! |
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#1
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Vollständige Induktion
Hallo Zusammen,
Ich sitze grad an einer Aufgabe, die mich zum Verzweifeln bringt: "Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für jedes (n Element N) teilt 133 die Zahl 11^(n+1) +12^(2n−1)." Ich rechne also: IA: Für A1 ergibt sich A1= 1. IS: Ich bilde A(n+1) und erhalte: A(n+1) = [11^((n+1)+1) +12^(2(n+1)−1)] / 133 nach dem Ausklammern siehts dann wie folgt aus 133 A(n+1) = 11^(n+1)11 + 12^(2n−1)12² Ich will nun A(n) in Abhängigkeit von A(n+1) darstellen, um sagen zu können, dass A(n+1) ein ganzes Vielfaches von A(n) ist. Algebraisch krieg ich es jedoch nicht hin, die rechte Seite umzuformen, sodass A(n) dort steht. Ich frage mich, ob mein Anstaz überhaupt richtig ist. Würde mich über jede konstruktive Hilfe freuen. Grüße, George
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Der Besitz der Wahrheit ist nicht schrecklich, sondern langweilig, wie jeder Besitz... Friedrich Nietzsche |
#2
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AW: Vollständige Induktion
Hat sich doch von selbst gelöst. Aber danke für die guten Absichten Der Thread kann geschlossen/gelöscht werden.
Grüße, George
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Der Besitz der Wahrheit ist nicht schrecklich, sondern langweilig, wie jeder Besitz... Friedrich Nietzsche |
#3
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AW: Vollständige Induktion
Zitat:
was spricht dagegen, dass du deine Lösung vorstellst? M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#4
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AW: Vollständige Induktion
Zitat:
Dagegen spricht wohl Nichts. Hier meine Lösung: (i) Induktionsvoraussetzung: A(n)= [11^(n+1) +12^(2n−1)] / 133 mit A(n) ϵ N (ii) Induktionsanfang: A(1)= 1Damit ist A(n) ϵ N. Prüfe also jedes beliebige n. (iii) Induktionsschritt (n -> n+1): A(n+1)= [11^((n+1)+1) +12^(2(n+1)−1)] / 133 <=> 133⋅A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + 12²⋅12^(2n−1)] <=> 133⋅A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + (11+133)⋅12^(2n−1)] <=> 133⋅A(n+1)= [11⋅(11^(n+1) + 12^(2n−1))+133⋅12^(2n−1)] <=> A(n+1)/ 11= [11^(n+1) + 12^(2n−1)]/133 + 12^(2n−1)/11 <=> A(n+1)= 11⋅A(n) + 12^(2n-1)Wenn nun A(n) ϵ N gilt, dann muss aber auch A(n+1) ϵ N gelten mit n ϵ N. Damit ist die Induktionsvoraussetzung bewiesen. □ Viele Grüße, George
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Der Besitz der Wahrheit ist nicht schrecklich, sondern langweilig, wie jeder Besitz... Friedrich Nietzsche |
#5
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AW: Vollständige Induktion
Hi Georg
Respekt. Auf die Loesung waere ich nicht sofort gekommen. Koennte man den Weg noch einfacher darstellen ? A(n)= [11^(n+1) + 12^(2n−1)] A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + 12²⋅12^(2n−1)] A(n+1)= [11⋅11^(n+1) + (11+133)⋅12^(2n−1)] A(n+1)= [11⋅(11^(n+1) + 12^(2n−1))+133⋅12^(2n−1)] A(n+1)= 11⋅A(n)+133⋅12^(2n−1)] Aufgrund des Induktionsanfangs und der induktiven Vorgehensweise ist A(n) durch 133 teilbar. Das ist der Trick, nicht ? Haette ich nicht sofort gesehen. Und der zweite Summand ist aufgrund des Faktors 133 durch 133 teilbar. Ich meine dass du zwischendurch durch 11 teilt ist im Grunde nicht notwendig. Irgendwie erstaunlich, dass dies ueberhaupt so funktioniert. Alleine wegen 12^2=11+133 Gruesse Ge?ndert von richy (19.10.10 um 21:55 Uhr) |
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