Frage zu Tensoren

[ghostwhisperer]

Hi! Ich versuche ja immer auch die Mathematik hinter den Theorien zu verstehen.. Daher mal ne Verständnisfrage zu Tensoren 2ter Stufe:
Ich hab da (https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw) eine sehr einleuchtende Erklärung zum Spannungstensor der Elastomechanik gesehen. Der Herr erklärt, dass der allgemeine Zustand durch 9 Elemente repräsentiert wird: 3 Druck-Zug-Spannungen und 6 Schubspannungen in den nichtdiagonalen Elementen.
Allgemein sagt er, dass man für jede mögliche Fläche (bzw dessen Normale) jede mögliche Kraftrichtung betrachten muss, was gerade 9 mögliche Kombinationen ergibt.
Nun ist es aber so, dass dieser Spannungstensor auch im Energie-Impulstensor 1:1 vorkommt. Was mich zu der Frage führt:
Muss man auch den Einstein-Tensor genauso verstehen?
Würde bedeuten, dass zu jeder möglichen Richtung der Raumzeit, jede mögliche Richtung der Krümmung betrachtet werden muss ->16 Komponenten.

Ist diese Erklärung nun allgemeingültig? Btw: die Diagonalkomponenten wären dann sozusagen Streckungen und Stauchungen statt Krümmungen, natürlich lokal. Was glaub Sinn ergibt, denn so betrachtet man in etwa die RaumZeit in der SRT.

Ein Beispiel: Selbst wenn ein Körper im Raum keine Geschwindigkeit hat, so "bewegt" er sich immer noch durch die Zeit. Ist die "Zeitachse" aber gekrümmt, so bewegt er sich automatisch auch ein bisserl durch den Raum, zB in x-Richtung. Eine gekrümmte Geodäte in der RaumZeit ist aber identisch mit einer Beschleunigung im Raum. So ist das pure Vergehen der Zeit die "treibende Kraft" hinter der Gravitation. Eine reine Raumkrümmung wirkt hingegen ähnlich einem Magnetfeld. Sie ändert die Richtung eines bewegten Körpers,aber nicht dessen Geschwindigkeitsbetrag.

MFG Ghosti *** freue mich auf jede Antwort***!!!

[Marcus Ulpius]

Du scheinst Dir das selbst erarbeitet zu haben - Dafür erst einmal meinen Respekt, ghosti.
Dein weiterführendes Stichwort lautet "Schnittkrümmung".
Ich bin einmal gespannt was du daraus machen wirst.

Vielleicht kannst du dann auch die noch offene Frage hier beantworten: http://www.quanten.de/forum/showpost...33&postcount=9
- Sie gehört in diesen Zusammenhang.

wkr
Marcus

[Ich]

Muss man auch den Einstein-Tensor genauso verstehen?
Würde bedeuten, dass zu jeder möglichen Richtung der Raumzeit, jede mögliche Richtung der Krümmung betrachtet werden muss ->16 Komponenten.

Die Krümmung der Raumzeit wird durch den Riemann-Tensor beschrieben. Der ist allerdings vierte Stufe, hat aber nur 20 unabhängige Komponenten. Was er bedeutet, wird schön in diesem Paper beschrieben, das ich sowieso jedem ans Herz lege. Im Prinzip gibst du 3 Vektoren rein: einen "Testvektor" und zwei Richtungsvektoren, um die man den Testvektor verschiebt. Raus kommt auch ein Vektor, nämlich um wieviel sich der Testvektor beim Verschieben verdreht hat.

Die Einsteingleichungen sind dann zweite Stufe, auch dazu findest du schöne Erklärungen in dem Paper.

Selbst wenn ein Körper im Raum keine Geschwindigkeit hat, so "bewegt" er sich immer noch durch die Zeit. Ist die "Zeitachse" aber gekrümmt, so bewegt er sich automatisch auch ein bisserl durch den Raum, zB in x-Richtung. Eine gekrümmte Geodäte in der RaumZeit ist aber identisch mit einer Beschleunigung im Raum. So ist das pure Vergehen der Zeit die "treibende Kraft" hinter der Gravitation.

Das ist zwar alles gut und richtig, hat aber noch nichts mit Raumzeitkrümmung zu tun. Geodäten haben prinzipbedingt keine intrinsische Krümmung, so etwas wie "eine gekrümmte Geodäte in der RaumZeit" ist also vom gewählten Koordinatensystem abhängig. Insbesondere kann man immer ein Koordinatensystem wählen, in dem die Geodäte gerade ist.
Deine Vorstellung von krummen Geodäten beschreibt die Gravitationskraft (eigentlich Gravitationsbeschleunigung). Das tut sie richtig, die Gravitationsbeschleunigung ist aber eben koordinatenabhängig und kann z.B. auch in flacher Raumzeit vorhanden sein.

Raumzeitkrümmung äußert sich erst im Verhalten benachbarter Geodäten, die parallel beginnen. Wenn sich ihr relativer Abstand mit der Zeit (bzw. dem affinen Parameter) ändert, dann liegt Raumzeitkrümmung vor. Es handelt sich hierbei um Gezeiteneffekte, also quasi um die Ableitung der Gravitationsbeschleunigung nach dem Ort.

[Marcus Ulpius]

Ich möchte nur noch eines anmerken:

Zitat von ghostwhisperer

Btw: die Diagonalkomponenten wären dann sozusagen Streckungen und Stauchungen statt Krümmungen, natürlich lokal. Was glaub Sinn ergibt, denn so betrachtet man in etwa die RaumZeit in der SRT.

Bei der Raumzeit handelt es sich um nichts Materielles ("Anfassbares"): Nur Materielles kann gestaucht oder gestreckt werden.
(In diesem Sinne handelt es sich bei der Raumzeit auch um keinen Äther: Genau dann (und nur dann), wenn er als materiell verstanden wird).

-> Spreche vielleicht besser ganz allgemein von der Veränderung (= Verkleinerung/Vergrößerung) räumlicher/zeitlicher/raumzeitlicher Abstände
(statt von Stauchungen und Streckungen).

Mehr möchte ich nicht sagen.

Ich bin wirklich sehr gespannt darauf was Du aus dem Ganzen machen wirst - Meinen Respekt für Dein ganz offensichtlich in Eigenarbeit (bisher) Angeeignetes hast Du auf jeden Fall.

[ghostwhisperer]

Zitat von Marcus Ulpius

Ich möchte nur noch eines anmerken:

Bei der Raumzeit handelt es sich um nichts Materielles ("Anfassbares"): Nur Materielles kann gestaucht oder gestreckt werden.
(In diesem Sinne handelt es sich bei der Raumzeit auch um keinen Äther: Genau dann (und nur dann), wenn er als materiell verstanden wird).

-> Spreche vielleicht besser ganz allgemein von der Veränderung (= Verkleinerung/Vergrößerung) räumlicher/zeitlicher/raumzeitlicher Abstände
(statt von Stauchungen und Streckungen).

Mehr möchte ich nicht sagen.

Ich bin wirklich sehr gespannt darauf was Du aus dem Ganzen machen wirst - Meinen Respekt für Dein ganz offensichtlich in Eigenarbeit (bisher) Angeeignetes hast Du auf jeden Fall.

Hi ! Ich mein damit natürlich die zwar relative, aber dennoch quantitativ beschreibbare Abweichung des metrischen Tensors, insbesondere des reinen "zeitlichen" Aspekts (vom "Normwert" 1), also nur T00 und R00, mit dem das newtonsche G-Potential eindeutig beschrieben werden kann. Da hier die Zeit auf sich selbst abgebildet wird, und intrinsische Krümmung nicht vorkommt könnte man das analog einer Streckung/Stauchung auffassen. Aber dies ist letztlich relativ..
Nehmen wir mal die Schwarzschild-Lösung in Buchhalter-Koordinaten:
G00 = (t/t')^2 = 1-2*Phi / c^2
G00' = -2/c^2 * dPhi/dR = -2/c^2 *g (g = grav. Beschl.)
G00'' = -2/c^2 *d^2Phi/dR^2
Jetzt setze ich den Quellen-Ausdruck (Divergenz des Felds) ein: 4*pi*y*rho (Massedichte)
G00'' = -2/c^2 * 4*pi*y*rho = -8*pi*y/c^2 *rho = -8*pi*y*w/c^4
Der letzte Ausdruck ist eigentlich die Divergenz im Dreidimensionalen. Und ich bin mir auch darüber im klaren, dass ich die Krümmung des Raums Grr '' vernachlässigt hab.
Gemäss dieser (Zurück)Herleitung kann man das newt. Feld als Krümmung (2.Abl in radialer Richtung) der räumlichen "Verteilung" der Zeitdilatation auffassen.

Das mit der Streckung/Stauchung hab ich auch nur so genannt, weil rein mathematisch eine ähnliche Verallgemeinerung vorliegt, wie zwischen Normal-Spannung und Schubspannung.

MFG

[ghostwhisperer]

Zitat von Ich

Die Krümmung der Raumzeit wird durch den Riemann-Tensor beschrieben. Der ist allerdings vierte Stufe, hat aber nur 20 unabhängige Komponenten. Was er bedeutet, wird schön in diesem Paper beschrieben, das ich sowieso jedem ans Herz lege. Im Prinzip gibst du 3 Vektoren rein: einen "Testvektor" und zwei Richtungsvektoren, um die man den Testvektor verschiebt. Raus kommt auch ein Vektor, nämlich um wieviel sich der Testvektor beim Verschieben verdreht hat.

Du hast das so toll beschrieben, dass ich endlich verstehe, was Tensoren mit Stufe>2 bedeuten (können). Das war mir bis eben völlig unklar. THANKS

[ghostwhisperer]

Zitat von Ich

Das ist zwar alles gut und richtig, hat aber noch nichts mit Raumzeitkrümmung zu tun. Geodäten haben prinzipbedingt keine intrinsische Krümmung, so etwas wie "eine gekrümmte Geodäte in der RaumZeit" ist also vom gewählten Koordinatensystem abhängig. Insbesondere kann man immer ein Koordinatensystem wählen, in dem die Geodäte gerade ist.
Deine Vorstellung von krummen Geodäten beschreibt die Gravitationskraft (eigentlich Gravitationsbeschleunigung). Das tut sie richtig, die Gravitationsbeschleunigung ist aber eben koordinatenabhängig und kann z.B. auch in flacher Raumzeit vorhanden sein.

Raumzeitkrümmung äußert sich erst im Verhalten benachbarter Geodäten, die parallel beginnen. Wenn sich ihr relativer Abstand mit der Zeit (bzw. dem affinen Parameter) ändert, dann liegt Raumzeitkrümmung vor. Es handelt sich hierbei um Gezeiteneffekte, also quasi um die Ableitung der Gravitationsbeschleunigung nach dem Ort.

Schon klar. Ich kenn da zB ein Bild, das dies zweidimensional (T-R-Raum) veranschaulicht: ein ausgedehnter Körper bewegt sich da durch die Zeit. Die Zeitabstände sind aber über R nicht konstant, sondern laufen in Richtung eines Massezentrums zusammen. Die Bewegung des ersten Körpers wird nun ähnlich wie die Brechung von Licht durch verschiedene Brechungsindize beschrieben. Während ein Teil des Körpers den Zeitschritt vom Betrag zb 1 durchläuft, hat der Teil näher am Massezentrum nur einen Zeitschritt 0,9 erfahren. Und erleidet dadurch (der Körper ist starr aufgefasst) eine Verdrehung also Richtungsänderung in Richtung des Masse-Zentrums.

Ich weiss leider nicht mehr woher ich dieses vereinfachte Bild kenne, aber vor vielen Jahren war es für mich ne Erleuchtung.
(Jaja und was passiert mit idealen Punktteilchen?? Es ist eben nur ein Gleichnis..)

[ghostwhisperer]

Zitat von Marcus Ulpius

Ich bin wirklich sehr gespannt darauf was Du aus dem Ganzen machen wirst - Meinen Respekt für Dein ganz offensichtlich in Eigenarbeit (bisher) Angeeignetes hast Du auf jeden Fall.

Danke noch Und was ich mache? Ich versuche Ansätze sowohl zu Quantengravitation als auch zu Unifications ala Kaluza/Klein nachzuvollziehen. Ich hab da auch schon eigene Überlegungen zu mathematisch ausgearbeitet. Ich frage hier nach grundsätzlichen Tensor-Eigenschaften um zu prüfen, ob ich bis dato auch keine Fehler gemacht hab. Letztlich sind meine Formeln vermutlich keine richtigen math Beweise, sondern eher Vergleiche mit bekannten Lösungen, zB mit der Schwarzschild-Lösung und linearen Gravitationswellen.
Schon mal versucht Gravitationswellen zu quantisieren?
MFG the Ghost

[Marcus Ulpius]

Zitat von ghostwhisperer

Schon mal versucht Gravitationswellen zu quantisieren?

:-D Du bist ja der Schärfste, ghosti!
Willst Du nicht erst einmal die Gravitation quantisieren und dann das Ergebnis auf Gravitationswellen anwenden?

Was mich interessiert: Was hast Du eigentlich bezüglich der Gravitation als Quant im Sinn?

Zitat von ghostwhisperer

Jaja und was passiert mit idealen Punktteilchen??

Mal' ihm ein Gesicht auf - Dann siehst du es. ;-)

Zitat von Ich

Raumzeitkrümmung äußert sich erst im Verhalten benachbarter Geodäten, die parallel beginnen. Wenn sich ihr relativer Abstand mit der Zeit (bzw. dem affinen Parameter) ändert, dann liegt Raumzeitkrümmung vor. Es handelt sich hierbei um Gezeiteneffekte, also quasi um die Ableitung der Gravitationsbeschleunigung nach dem Ort.

Zwei Testpartikel zueinander ruhend auf einer raumartigen Hyperfläche von t=const. platziert - Dann die Zeit laufen lassen und ihren raumzeitlichen Abstand beobachten (wie von Ich schon beschrieben).
Frage: Wenn hinsichtlich ihrer Weltlinien das Parallelenaxiom gültig ist - Welche Krümmung liegt dann vor?

In der Physik wird sehr oft der Begriff Tensor als Abkürzung/Synonym für das eigentlich betrachte Tensorfeld (Ein Tensorfeld weist jedem Punkt im Raum einen Tensor zu) verwendet - Aber das ist dir vermutlich schon bekannt.

wkr
Marcus

[ghostwhisperer]

Zitat von Marcus Ulpius

In der Physik wird sehr oft der Begriff Tensor als Abkürzung/Synonym für das eigentlich betrachte Tensorfeld (Ein Tensorfeld weist jedem Punkt im Raum einen Tensor zu) verwendet - Aber das ist dir vermutlich schon bekannt.

Das schon. Letztlich sind es ja 10 nichtlineare gekoppelte Differentialgleichungen. Über die faktisch Punkt für Punkt integriert werden muss um letztlich die Raumzeit an sich zu erhalten. Im allgemeinsten Fall. Das die Herleitung zB der Schwarzschildlösung einfacher aussieht liegt ja nur an bestimmten Symmetrien.
Ich hab übrigens erstmals mehr über diese Mathematikform gelernt, als ich für meinen Brötchengeber einen Bildfilter auf Grundlage von Diffusions-Tensoren programmiert hab. Auch diese Art Lösung funktioniert nur mit zeitlicher und räumlicher Entwicklung. Dazu eine Frage!
Ich hab dabei gelernt, dass dieser spez Tensor die Eigenart hat einen hereinzugebenden Vektor zu strecken/stauchen, in Abhängigkeit der Richtung des Urvektors. Daraus kann man eine "Form" des Tensors ableiten, eine Ellipse. Gilt das auch für irgendeinen Tensor der ART??

Zitat von Marcus Ulpius

Was mich interessiert: Was hast Du eigentlich bezüglich der Gravitation als Quant im Sinn?

Aus verschiedenen Gründen denke ich, dass die Quantisierung der RZ in erster Linie zu vierdimensionalen Quanten führen müsste (daher bin ich nicht sicher wie gut oder schlecht die Loop-QGT letztlich sein wird): In stetigen Theorien sind die Quellenausdrücke immer räumliche Dichten von etwas. Wenn ich also ein raumzeitliches Integral über eine Energiedichte bilde, bekomme ich eine Wirkung. Da Wirkung nur in Quanten vorliegt.. der Schluss ist fast schon zwingend. Eine sekundäre Quantelung könnte anschließend daraus folgen, dass die Anwendung auf ein bestimmtes Koordinatensystem für bestimmte Unterräume des Gebildes wiederum ganzzahlige Werte ergeben muss. Das schränkt aber meiner Überlegung nach die Anzahl möglicher Lorentztransformationen bei kleinsten Skalen ein. Ich hab diese Sichtweise mal auf die Einsteingleichung angewandt. Wenn ich das Ergebnis mit bekannten Lösungen vergleiche, bekomme ich für schwarze Löcher quantisierte Ereignishorizonte, Massen und -im KerrFall- Drehimpulse.
Und das ohne die Planckfläche künstlich einfügen zu müssen, sie ergibt sich vielmehr aus dem math Ansatz.

Zitat von Marcus Ulpius

:-D Du bist ja der Schärfste, ghosti!
Willst Du nicht erst einmal die Gravitation quantisieren und dann das Ergebnis auf Gravitationswellen anwenden?

Würd ich gern, kann ich aber leider noch nicht.. Ich kann ein bisserl gleichsetzen und so aber leider nicht im Sinne von Struktur weiterentwickeln. Daher ein kleiner Happen aus meinem Dokument, wie ich stattdessen für lineare (!) Wellen vorgegangen bin. Guten Appetit
Zitat:
Es wird im Folgenden der Realteil der Wellenfunktion mit der Amplitude F0 betrachtet:
e(x,t) = F0 * e(i*(ω*t-k*x))
eR(x,t) = F0*cos (ω*t-k*x)
eR’(x,t) = -1*F0*(-k)*sin(ω*t-k*x)
eR’’(x,t) = -1*F0*k^2*cos(ω*t-k*x)
Mit eR’’ = R00
Durch Gleichsetzung der Krümmung der Wellenfunktion mit dem Ausdruck aus der ART
R00 = -8*π*γ/c^4 * w
ergibt sich eine orts- und zeitabhängige Energiedichte
w(x,t) =E/V= F0*k^2*c^4/(8*π*γ)*cos(ω*t-k*x) // Integral über x in den Grenzen 0 bis L
Die Energie-Dichte wird durch Integration über x zu einer Energie-Flächendichte
W(x,t)/A = F0*k*c^4/(8*π*γ)*sin(ω*t-k*x) // Betrag von x= 0 bis Lambda
W/A = 4* F0*k*c^4/(8*π*γ) = F0*k*c^4/(2*π*γ)
W/A = F0*c^4/(γ*λ) // Integral über Minimalfläche A
Dieser Ausdruck ist bereits proportional zum Kehrwert der Wellenlänge und damit prop. zur Frequenz!
Nun sind Dichtewerte aufgrund der Stetigkeit von Raum und Zeit als punktuell zu betrachten, d.h. sie haben die Ausdehnung oder auch Reichweite Null. Wird aber die Quantelung der Raumzeit vorausgesetzt, kann ein Dichte-Wert über eine Mindest-Ausdehnung wirken und über diese als konstant angenommen werden.
Die Energie-Flächendichte wird daher versuchsweise über eine Fläche integriert, welche eine Kreisfläche mit dem Radius vom Betrag einer Plancklänge darstellt:
A= A0*π = π* ħ*γ / c^3
W = F0*c^4 / (γ* λ) * π*ħ*γ/c^3
W = F0*π*ħ*c / λ
W = F0 * h/2 * c/ λ = ½ * F0 *h *f
Bis auf einen Amplituden-Faktor ½ F0 ist das Ergebnis identisch mit der Formel zur Energie-Quantelung aus der Quantenmechanik. F0 stellt die Amplitude dar. Da Gravitationswellen zwei zueinander senkrechte Schwingungen der Metrik darstellt, kann der Faktor ½ für gleiche Amplituden eliminiert werden.
Schwierigkeiten macht die Interpretation der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Bei dieser Herleitung wurde die Krümmung der Wellenfunktion mit der Krümmung der Raumzeit – die hier als Welle propagiert – identifiziert. Daraus scheint zu folgen, dass das Betragsquadrat der Wellengleichung, die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit dem Betragsquadrat der Metrik gleichgesetzt werden muss.
Weiterhin folgt die Gleichung zu linearen Gravitationswellen aus einer linearisierten Form der ART und berücksichtigt nicht die Selbstwechselwirkung der Gravitation.
Man könnte nun einwenden, dass das Ergebnis vorhersehbar war, da die Plancklänge aus einer Kombination von Quantenmechanik und ART folgt:
λ cq = ħ/ m*c = Rg = γ*m/c^2
Dennoch ist diese Herleitung die einzige, mit welcher die Energie-Frequenz-Relation eindeutig hergeleitet werden kann. Die Divergenz (Krümmung) aller anderen konservativen Felder führt zu Ladungs- bzw. Stromdichten und kann daher nicht zur Definition einer Energie herangezogen werden. Ihre eigenen Energiedichten hingegen sind proportional zur ersten Ableitung ihrer Potentiale:
z.B. w = ½ * ε0 * E^2 + ½ * 1/µ0 * B^2 = ε 0 * E^2
Mit E^2(x,t) = Em^2 * cos (ω*t-k*x)^2
muss über das Quadrat der Kosinus-Funktion integriert werden:
∫ cos(-k*x)^2 *dx = x/2 + sin(-2*k*x) / (-4*k)
Das Integral über eine Wellenlänge führt zu:
λ /2 + sin(4*π/ λ * λ) / (-4*k) = λ /2 + 0 = λ /2
W/A = ε 0 * Em^2 * λ /2
Auch nach dem Flächenintegral über A0 gibt es keinen Zusammenhang mit der Energie-Frequenz-Relation der Quantenmechanik. Die Energie nimmt mit der Wellenlänge zu statt ab!
Während der Entwicklung der ersten quantenmechanischen Formeln zur Schwarzkörperstrahlung wurde die Energie-Frequenz-Relation von Max Planck empirisch eingeführt.
Später zeigte es sich, dass sie für jede beliebige Form der Energie gilt, unabhängig von der Struktur oder ihrer Herkunft. Der folgende Welle-Teilchen-Dualismus verknüpft die Intensität einer Welle mit einer Partikel- hier Photonenstromdichte:
I = ε 0 * Em^2 * c = h*f* n = [J/m3*m/s] = [Watt/m2]
n = [1/m2/s] Anzahl der Photonen der Energie h*f welche pro Sekunde durch eine Fläche strömen.
Aus der heuristischen Herleitung der Schrödingerschen Wellengleichung folgt, dass der Ausdruck für die Energiedichte einer Partikeldichte proportional ist. Sie beschreibt eine Wahrscheinlichkeit dafür Photonen am entsprechenden Ort anzutreffen. Dies gilt auch für ein einzelnes Photon, was zu schwierigen philosophischen Implikationen führt.
In der Schrödinger-Gleichung und besser sichtbar in der Dirac-Gleichung taucht der Ausdruck für die (gravitative!) Energiedichte indirekt wieder auf. Die Energie eines quantenmechanischen, relativischen Systems genügt der Gleichung:
(i * ħ * d/dt Ψ(r,t))^2 = c^2 * ħ^2 * ΔΨ(r,t) + m^2*c^4 * Ψ(r,t)
Der Ausdruck c^2 * ħ^2 * ΔΨ(r,t) entspricht der kinetischen Energie (c*p)^2 eines Teilchens, berechnet sich aber im Prinzip aus der Divergenz (Krümmung) der Wellenfunktion, genau wie schon bei der Quantisierung von Gravitationswellen und der Ableitung der Energie-Frequenz-Relation angesetzt. Da diese Wellen keine Ruhmasse besitzen, kann die Energie über den reinen Impuls berechnet werden, genauso wie bei Photonen.
Paradoxerweise hat somit die Gravitation, entgegen aller Lehrmeinung, einen innigeren Zusammenhang zur Quantenmechanik als alle anderen Kräfte! Das Problem – mit den Verfahren der Standardtheorie der Elementarteilchen lässt sich die Gravitation nicht quantisieren – ist weniger physikalischer als vielmehr mathematischer Natur!

Meine vorläufige Interpretation: Jede Psi-Welle wird von einer phasengleichen Gravitationswelle begleitet. Die Lösung scheint verwendbar, da die auftretenden Energiedichten weit entfernt von der Planckdichte sind und die Raumzeit somit äusserst flach ist. Der lineare Fall scheint ausreichend.

Na hats geschmeckt? Ich hab noch mehr solcher Fälle. Es wär mir nur lieber noch ein paar Jahre in die Entwicklung zu stecken.

MFG ghost